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文檔簡介
微專題1多變量最值問題因式分解雙換元例1(1)已知0<a<1,0<b<1,且4(a+b)=4ab+3,則a+2b的最大值為()A.2 B.2eq\r(2)C.3-eq\r(2) D.3-2eq\r(2)(2)已知x2-3xy+2y2=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值為()A.eq\r(10)-6 B.eq\r(10)+6C.2eq\r(10)+6 D.2eq\r(10)-6變式1設實數x,y滿足eq\f(x2,4)-y2=1,則3x2-2xy的最小值是______________.構造二次不等式例2已知正數a,b滿足a+b+eq\f(1,a)+eq\f(4,b)=10,則a+b的最大值是_____________.變式2已知x,y>0,若x+4y+6=eq\f(4,x)+eq\f(1,y),則eq\f(4,x)+eq\f(1,y)的最小值是()A.8 B.7C.6 D.5構造齊次式例3已知實數a,b>0,若a+2b=1,則eq\f(3a,b)+eq\f(1,ab)的最小值為()A.12 B.2eq\r(3)C.6eq\r(3) D.8變式3(2024·天津期中)已知正實數a,b,c滿足a2-2ab+9b2-c=0,則eq\f(ab,c)的最大值為______________.柯西不等式1.柯西不等式的二維形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立.2.柯西不等式的一般情形:(aeq\o\al(2,1)+aeq\o\al(2,2)+…+aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)+beq\o\al(2,2)+…+beq\o\al(2,n))≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當且僅當ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.例4(1)已知x,y,z∈R,且2x+y-eq\r(5)z=2,則x2+y2+z2的最小值是_____________.(2)已知a,b,c均為正數,若a+b+c=1,則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)的最小值為()A.9 B.8C.3 D.eq\f(1,3)變式4已知a>1,b>eq\f(1,2),且2a+b=3,則eq\f(1,a-1)+eq\f(1,2b-1)的最小值為()A.1 B.eq\f(9,2)C.9 D.eq\f(1,2)權方和不等式1.二維形式的權方和不等式:若a,b,x,y>0,則eq\f(a2,x)+eq\f(b2,y)≥eq\f((a+b)2,x+y),當且僅當eq\f(a,x)=eq\f(b,y)時,等號成立.推廣1:eq\f(a2,x)+eq\f(b2,y)+eq\f(c2,z)≥eq\f((a+b+c)2,x+y+z),當eq\f(a,x)=eq\f(b,y)=eq\f(c,z)時,等號成立.推廣2:若ai>0,bi>0,則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))eq\f(aeq\o\al(2,i),bi)=eq\f(aeq\o\al(2,1),b1)+eq\f(aeq\o\al(2,2),b2)+…+eq\f(aeq\o\al(2,n),bn)≥eq\f((a1+a2+…+an)2,b1+b2+…+bn),當ai=λbi時,等號成立.2.一般形式的權方和不等式:若ai>0,bi>0,m>0,則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))eq\f(aeq\o\al(m+1,i),beq\o\al(m,i))=eq\f(aeq\o\al(m+1,1),beq\o\al(m,1))+eq\f(aeq\o\al(m+1,2),beq\o\al(m,2))+…+eq\f(aeq\o\al(m+1,n),beq\o\al(m,n))≥eq\f((a1+a2+…+an)m+1,(b1+b2+…+bn)m),當ai=λbi時,等號成立.例5若對任意的x>1,y>eq\f(1,2),eq\f(x2,a2(2y-1))+eq\f(4y2,a2(x-1))≥1恒成立,則實數a的最大值為_____________.變式5若a>1,b>1,則eq\f(a2,b-1)+eq\f(b2,a-1)的最小值為_____________.配套精練1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b+eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=5,則a+b的取值范圍是()A.[1,4] B.[2,+∞)C.(1,4) D.(4,+∞)2.權方和不等式作為基本不等式的一個變化,在求二元變量最值時有很廣泛的應用,其表述如下:設正數a,b,x,y,滿足eq\f(a2,x)+eq\f(b2,y)≥eq\f((a+b)2,x+y),當且僅當eq\f(a,x)=eq\f(b,y)時等號成立,則函數f(x)=eq\f(3,x)+eq\f(16,1-3x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,3)))的最小值為()A.16 B.25C.36 D.493.(2024·云南模擬)已知x>0,y>0,x+2y=3,則eq\f(x2+3y,xy)的最小值為()A.3-2eq\r(2) B.2eq\r(2)+1C.eq\r(2)-1 D.eq\r(2)+14.已知實數a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+4c2+4d2=5,則a的最大值為()A.1 B.2C.3 D.45.已知實數x>0,y>0,且x+eq\f(y,2)+eq\f(1,x)+eq\f(2,y)=5,則2x+y的最大值為()A.10 B.8C.4 D.26.(多選)若a,b是正實數,且a+2b=1,則eq\f(b,2a)+eq\f(1,2b)+eq\f(1,2ab)的值可能為()A.6 B.eq\f(31,5)C.eq\f(13,2) D.5eq\r(2)7.已知實數x,y滿足x(x+y)=2+2y2,則7x2-y2的最小值為______________.8.已知x>0,y>0,eq\f(x2,4)+y2=1,則eq\f(\r(2),2)x+eq\r(2)y的最大值是_____________.9.已知a,b,c為正實數,且滿足a+4b+9c=10,則eq\f(1,a+1)+eq\f(1,b+1)+eq\f(1,c+1)的最小值為_____________.10.為提高學生的數學核心素養和學習數學的興趣,某校在高一年級開設了《數學探究與發現》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上,學生甲運用平面向量的數量積知識證明了著名的柯西不等式(二維):已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則|a·b|2≤|a|2|b|2,即(x1x2+y1y2)2≤(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2)),當且僅當x1y2=x2y1時等號成立.學生乙從這個結論出發,作一個代數變換,得到了一個新不等式:(x1x2-y
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