復變函數(shù)與積分變換 課件 第五章留數(shù)及其應用3_第1頁
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第五章留數(shù)及其應用§3留數(shù)在計算定積分中的應用本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類型的實函數(shù)的定積分的計算.這類積分可以化為單位圓上的復變函數(shù)積分.在高等數(shù)學中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復變函數(shù)的方法求解該題.解：例1于是因此法則3解：例2于是因此法則1法則2提示：不失一般性，設根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO再由（1），得計算(1)取輔助函數(shù)R(z)并求有限值奇點;(2)應用留數(shù)基本定理;(3)最后得到留數(shù)之和乘以2πi.解：因為被積函數(shù)是偶函數(shù),

其位于上半平面的奇點是:（均為單極點）(1)取輔助函數(shù)并求有限值奇點;故(2)應用留數(shù)基本定理

問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進輔助半圓周，得到一個閉合路徑（半圓周加實軸）上的復變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無窮），并且可證明：根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO即：例４計算解：相當于：思考：0例５計算例６計算解：先考察積分xy-rrcr

Ｏ-hhch

在所示閉合路徑上應用留數(shù)定理，得（因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無奇點.）xy-rrcr

Ｏ-hhch

取極限，令：則下面考察最后一項：21

再注意到g(z)在原點臨近有界，所以至此，我們得到本講主要內(nèi)容：考察三種類型的實函數(shù)的

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