【標題】第五章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與表示

e課程］

通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

*G■知識?逐點夯實。必備知識系統(tǒng)梳理基獨重落實課前自修

J，--一,，，,

迎J?梳理

1.數(shù)列的概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的庫??個數(shù)

數(shù)列的通項數(shù)列｛4｝的第〃項an

通項公式數(shù)列｛m｝的第〃項與序號〃之間的關(guān)系式

前”項和數(shù)列｛a”｝中,S”=ai+a2~l------卜a”

提醒數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位優(yōu)序號.

2.數(shù)列的分類及性質(zhì)

（二一“八米14窮數(shù)列:項數(shù)有限；

1也頂出匆~［施藪列:項數(shù)無限

口,________4遞增數(shù)列：

V按項與項間遞減數(shù)列:

1——的大小關(guān)系——常數(shù)列：j=a..其中nCW;

［分類提動數(shù)列:。.與a.“大小關(guān)

_______系不定

3.數(shù)列的表示方法

列表法列出表格表示〃與a”的對應關(guān)系

圖象法把點（小而）畫在平面直角坐標系中

通項公式把數(shù)列的通項用公式表示

公式法

'掰推公式如果?個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用?個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通玳公式

基礎(chǔ)//自測

1.判斷正誤.（正確的畫“4”，錯誤的畫“X”）

（1）相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.（）

（2）I,I,L1,不能構(gòu)成一個數(shù)列.（）

<3）任何一個數(shù)列都有唯一的通項公式.（）

（4）如果數(shù)列｛a｝的前〃項和為8,則對任意〃￡N\都有a”“=S.+i—S".（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）Q

2.在數(shù)列｛/｝中，?i=l,a,,=\+—（M^2）,貝］|由=（）

口。?1

A-B-C-DU-

八203V53

Mrxc—II（-02_9-II（-l/_I_|I（-1）4_Q_|1（-I）5-2

解析：Dai—1+----2,03—1+-----?<74—1+----3,?5—1+----

ul口227.43

3.（多逸）已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（）

B“=f,□為奇數(shù),

A.a=(-1)E+]

nlo,□為偶數(shù)

C.%=2si-D.<?n=cos（,?—I）JI+1

解析；ABD對〃=1,2,3,4進行臉證，a“=2sin—不合題意，其他都可能.

4.在數(shù)列一I,0,；,???,—中，0.08是它的第項.

vO

解析：依題意得4>解得〃=10或"W（舍）?

答案：10

5.若Sr,為數(shù)列｛0，的前“項和，且Sn=-則L=_______.

匚+1os

解析：???當〃時，t/=S?-5n-i.A-=5X(5+1)=30.

n匚+1□+X

答案：30

常用//結(jié)論

=1,

I.若數(shù)歹|J｛屈｝的前〃項和為S”，則出=k-uz?

（□匚.□匚4,口>2,OtN.

2.在數(shù)列｛&｝中，若如最大，則若小最小，則上

（U口N」□+[?I』SU,+i-

呼應用

1.（多選）在數(shù)列｛小｝中，跖=（M+I）Q），則數(shù)列｛面中的最大項可以是（）

A.第6項B.第7項

C.笫8項D.第9項

（7期4）,所以I!即6OW7,所以最大項為第6

解析：AB由結(jié)論2可得(〃+l)Q>(〃+2)-Q且(”+1)

3皿2（0+!）>□,

項和第7項.故選A、B.

2.已知數(shù)列｛而｝的前“項和S”=2“2—3〃，則數(shù)列｛”“｝的通項公式*=.

解析：由結(jié)論1得m=Si=2—3=-I,當“22時，〃”=S”-S”-i=(27-3〃)一[2(〃-I)2—3(”-I)]=4〃-5,因為ai也適合上式，所

以〃"=4”-5.

答案：4/1—5

百a考點?分類突破新選考點典例研析技法重悟通-.......\課堂演練

J,

‘由a”與S”的關(guān)系求an

【例I】(1)已知數(shù)列｛a?｝滿足m+2a2+3G+…+M“=2",則a,i=；

(2)已知數(shù)列仿”)的前〃項和為S“，且S”=2小一1,則數(shù)列｛〃”)的通項公式由=.

n1

解析(1)當”=1時，由巴知，可得。i=21=2：,.,”|+2。2+3。4+…+〃。”=2",①，數(shù)。|+2。2+35+…+(/?—1)an-i=2(〃22),

-If2,□=1,

②，由①一②得〃⑶=2"—2"T=2"T(?>2),(心2).顯然當”=1時不滿足上式.，如二卜■>,.

(—,LN2.

(2)由數(shù)列山”｝的前〃項和為Snr且S”=2a”-1,可得Si=2ai—1,解得ai=l,又an=S,t~■S”-i=2a”-2.<ini(〃力2),即a”=2a”—?

(〃22),.?.數(shù)列｛”“｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，.?.a”=2"?(neNx).

(2,Q-1,

答案->2(2)2"T("EN")

I解題技法I

1.已知S”求公的3個步驟

(1)先利用?i=Si求出的：

(2)用〃一1替換S”中的”得到一個新的關(guān)系，利用G=S”-S*I(“22)即可求出當”22時的表達式：

(3)注意檢臉”=1時的表達式是否可以與〃N2時的表達式合并.

2.S”與〃”關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用“”=S”-S,i(〃22)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-I的關(guān)系式，再求解：

(2)利用5”一*」=%(〃N2)轉(zhuǎn)化為只含小，的關(guān)系式，再求解.

R訓練

I.已知數(shù)列｛點｝的前n項和5?=(一I)""?〃，則公+[6=,an=.

——

解析：a&ta6=S6—Sa=(6)—(—4)=—2當〃=1時，?I=SI=1；當”22時，an=Sn~Sn-\=(1)""?〃一(—1)”?(〃一])=(—

1)fl+,-[n+(n-l)]=(-1)"+,-(2n-l),又m也適合于此式，所以0=(-1)?+l-(2?-1).

答案:一2(-1)"+,-(2n-l)

2.設(shè)S。處數(shù)列｛<?”）的前〃項和，已知ai=l,an=-Sn-Sn-t（“22），則S”=.

解析：依題意得S”_1-S”=S“iS”（〃22）,整理得-L--L=],又_L=2_=i,則數(shù)列｛工｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，因此'=1+

口口Oo-I口|U1

（M-1）X1=W,即Sn=L

答案：！

由遞推關(guān)系求通項公式

[例2]分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式:

(1)ai=0,。”+1=。”+(2/j—1)("WN"):

n

(2)?|=Lan+\=2an(z?GN*)：

(3)0=1,a”+i=3a”+2(”EN').

解(1)un=m+(,u2~ui)H---F(“"—“”-1)=0+l+3H---F(2//—5)+(2〃—3)=(〃—I)

所以數(shù)列的通項公式為〃”=(〃-1)*12.3

（2）由于——=2",故==21—=22,—.——=2"

口1口2

將這I人等式一乘,得一=2i+2+“,+5F=2七\

□1

（二⑷

故an=2~2~,

口《”

所以數(shù)列的通項公式為“”=2F—.

（3）因為而+i=3a”+2,所以a-i+l=3（。”+1）,

所以T；=3,

所以數(shù)列｛/+1｝為等比數(shù)列，公比q=3,

又m+l=2,所以。”+1=23?，

所以該數(shù)列的通項公式為如=23”'-1.

I解題技法I

由數(shù)列遞推式求通項公式的常用方法

?9??????????????????????????/????????????????????1

（g遢）6彩如Oii=7"J?+m（P，析為常數(shù)?pf1,mW。）：

時,也迫裝空竺到.....................j

彩石，二EMRN/G汀可求Q海:由7

系加法求解

再90渺加等_弓5)(編i可求枳京,用半記

陽g_____________________J

提醒利用累積法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到二，漏掉口而導致錯誤：二是根據(jù)連乘求出出之后，不注意檢驗0

口|

是否成立.

身訓練

1.在數(shù)列｛%｝中，6/1=3,a“+i=a”+「+1'則通項公式。”=.

解析：??=—...當2時，a“一a"一i=」y-L““_2=J；—二，…，/一m=l—，以上各式相加得a”-ai=I-

□（11+1）□□+1D-l□11-2D-l2

一,?*?Cln=4——,41=3適合上式，?*?Cln=4——.

答案：4」

2.已知數(shù)列｛雨｝的首項是m=g,且雨川二不，則數(shù)列｛雨｝的通項公式為.

解析：由題意得——->當〃N2時，=-=Jx；X?X…X―Y(〃22)，所以—=J(〃22),因為ai=1,所以a”

=t(G2).因為a1=g滿足上式,所以「=(7).

答案：

投列的性質(zhì)

考向/數(shù)列的周期性

【例3】無窮數(shù)列｛%｝滿足:只要即=.(p,q￡N"),必有卬+1=的+”則稱｛潟為“和諧遞進數(shù)列”,若｛""｝為“和諧遞進數(shù)列”.S”為其

前“項和，且41=1，42=2,出=1,。6+。8=6,則47=：$2023=.

解析因為數(shù)列是”和諧掰班數(shù)列"，且"1=3=1,02=2,所以〃5=〃2=2,同理有=?7=?4=1.公=05=2,又〃6+公=6,所以

43=16=4,則數(shù)列｛aj：ai=\,ai=2,出=4,小=1,as=2,偏=4,ai=\,*=2,…，故數(shù)列｛。“)是以3為周期的數(shù)列，所以S20”=S674x3

+i=(1+2+4)X674+l=4719.

答案I4719

I解題技法I

解決數(shù)列周期性問題的方法

根據(jù)所給的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關(guān)項的值或者前"項的和.

考向2數(shù)列的單調(diào)性

【例4】EL知數(shù)列(m｝中，小=一一,若數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，則實數(shù)上的取值范圍為()

A.(3,+<o)B.(2?+oo)

C.(1,+oc)D.(0,+oo)

解析a”+La”=3；：：_q_=3；3+；,由數(shù)列｛“”｝為遞減數(shù)列知，對任意"WN",(/?+1—an=3~\\<0.所以k>3—3〃對任意AWN”恒成立，

所以k的取值范圍為(0,+8).

答案I)

I解題技法I

解決數(shù)列單調(diào)性問題的方法

(1)件差比枝法?根據(jù)小一1一%的"號判斷數(shù)列UJ是遞增數(shù)列，遞成數(shù)列還是常效列?

(2)作商比較法：根據(jù)7(G>0或.mVO)與1的大小關(guān)系進行判斷：

(3)函數(shù)去：結(jié)合相應的函數(shù)圖象直觀判斷.

考向3數(shù)列的最大(小)項

【例5】若數(shù)列｛點｝的前"項積5=1一]，則的最大值與最小值之和為<：)

A1O5

A「B-7

C.2D.g

2

解析由題意am…。《=1—%①.當〃=1時，”i=l—：=；.當〃22時，aiaz-Ot-i=l—(n—1)=齊力，②.由①+②,

方一

1+。(〃22).又m=,也滿足上式，所以。”=1+六(〃￡N").易知數(shù)列｛a,J在〃￡[1,4](“GN")上單調(diào)遞減，此時出Wa”Wm,即一

1效列｛““｝在：5,+oc)("EN")上單調(diào)遞減，此時lV“”Wa5，即lVo?W3,所以的最小值為o*=—1,最大值為“5=3,所以

g的最大值與最小值之和為-1+3=2,故選C.

答案C

I解題技法I

求數(shù)列最大項與最小項的常用方法

(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若能借以表達式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項，否則，利用作差法：

(2)利用以(G2)瑜定最大項，利用1口亍[小(心2)瑜定最小項.

(U口2Uj+I(U口S口匚十|

口訓練

1.已知數(shù)列｛&?｝的通項公式是德==，那么這個數(shù)列姑()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列

解析：Aan+i~an=^4~m=(3+1)(3+4)>C，>?,?an+i>an，故選A.

2.若數(shù)列｛&｝的前”現(xiàn)和&=/產(chǎn)一】。〃5END.則數(shù)列｛“小｝中數(shù)值蚊小的壩班()

A.第2項B.第3項C.第4項D.第5項

2

解析：B'."Sn=n—10/b...當“22時，a?=Sn—S*i=2”-11；當〃=1時，"i=Si=—9也適合上式..??”“=2”-11("WN*).記/(“)—nan

=n(2/i-H)=2"2-]1”，此函數(shù)圖象的對稱物為直線〃=?,但〃WN，.?.當〃=3時，f(〃)取最小值.，數(shù)列｛〃m｝中數(shù)值最小的項是第3

項.

3.已知數(shù)列｛〃”｝中，41=1,02=2,且““心，IS2=。"+。""+〃”.2,其中〃GN",則)[+。2+。3~1---hfl24=.

解析：當〃=1時，m42〃3=。1+。2+。3，可得。3=3,同理當”=2時，可得04=1,當〃=3時，可得45=2,以此類推可知數(shù)列的周期為3,所

以tn+a2+…+。24=8(ai+02+03)=8X6=48.

答案：48

■課時?過關(guān)檢測°關(guān)就能力分層施練素養(yǎng)支提升課后練習

4-7------------------------------------------------------------------------------

I.已知數(shù)列&,V5,2a,…，則26是該數(shù)列的()

A.第5項B.第6項

C.第7項D.第8項

解析：C由數(shù)列&，x/5,2a,…的前三項為日，瓜通可知，數(shù)列的通項公式為?=J2+3叵1)=75hT,由>/5而=2百，可得〃=7.故

選C

2.在數(shù)列｛oj中，m=2,2a”.1=2。”+〃，則。9=()

A.20B.30

C.36D.28

解析：A因為“1=2,2-=2a“十〃，所以—??=：,所以《9=(?9—as)+(d8—47)H---F(。2—<“)+<“，所以----F：+2=

1±比產(chǎn)+2=%9管+2=20.故選A.

3.已知數(shù)列⑷｝滿足：對任意〃J,“金葉，都有“處=小+川且“2=2,那么，20=()

A.240B.230

C.220D.2'°

解析：Di。M歡="八.州,S=2,得420=〃2〃18=。2〃2。16=…=]°=2叱故選D.

4.已知正項數(shù)列｛aJ中，Q+j工+…+/或=」/，則數(shù)列｛m｝的通項公式為()

A.Un=llB.?“=〃’

匚2

C.。兀=彳D.Qn=—

解析：B:阿+G+…+?=-iyLU，???C+G+…+網(wǎng)二二-^(〃22),兩式相減得壓(〃力2),.?.出

=n2(，e2),①.又當〃=1時，S7=?=l,〃|=1,適合①式，，a”=〃2,”eN*.故選B.

5.若數(shù)列｛溫滿足0=2,a”“=F—(“￡!<),則該數(shù)列的前2023項的乘積是<：)

】一口[

A.-2B.-1

C.3D.I

解析：C因為數(shù)列｛“”｝滿足m=2,???n='p--<//CN*).所以"2=*~1=罟=3,同理可得“s=“、=2,…，所以數(shù)列｛“M每

四項重復出現(xiàn),即5+4=。”,且的6。3s=1，而2023=505X4+3,所以該數(shù)列的前2023項的乘積是aisarai?…,0。口=15rlsx”[X02Xa3=

3.故選C.

6.(多選)若數(shù)列｛小｝滿足：對任意正整數(shù)"，[加+]—“,｝為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列(加｝為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列｛4｝(?€N*),其中是

“差遞減數(shù)列”的有()

A.Un=3nB."”=，「+1

C.??=-/□D.An=In--

□+1

解析：CD對于A,若a”=3〃，則—一0"=3(〃+1)—3〃=3,所以｛ar?+i—a”｝不為遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B,若則a“+i—

a=<//+1)2—M2=2M+1,所以｛〃”+】-為遞增數(shù)列，故B錯誤：對于C,若則『+|—〃”=>/□+1—后=~；_廠,所以｛a”+|—

nv+I+VU

“"｝為遞減數(shù)列，故C正確；對于D,若小=ln-1，則ae+|_4t=ln-^_|nF=ln(W-^)=ln(l+)’由函數(shù)產(chǎn)款(1+、二)在(°，

+oo)上單淵遞減，所以｛雨+1—跖｝為遞減數(shù)列，故D正確.

7.已知數(shù)列｛aj的前n項和S”=“2+2”+1,則cn=.

解析：當〃=1時，ai=51=1+2+1=4；當〃N2時，an=Sn-Sn-i=2?j+L經(jīng)檢驗。i=4不適合&=2〃+I,故&=｛*

答案.I4，=L

a米.l2：i+1,□22

8.根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式a”=.

16

解析：由的=1=5X1—4,02=6=5X2—4.ai=11=5X3—4.,,,?歸納a”=5〃-4.

答案：5〃一4

9.已知數(shù)列｛而｝的通項為(〃EN?)，則數(shù)列的最小項是第項.

解析：因為數(shù)列彷」的最小項必為a”V0,即廣=〈°，3/：-16<0,從而又因為“￡N",且數(shù)列｛溫的前5項遞減，所以“=5

3-163LJ-163

時內(nèi)的值最小.

答案：5

10.已知函數(shù)/(x)=三\設(shè)(〃￡N').

(1)求證:an<\\

(2)｛猴｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

解：(1)證明：an=f(/?)=—=1—-<1,

(2)因為如.|一如=7=1一」

=(iVh-1)=—!—>o,

V□+1>I□?0(□+1)

所以

所以｛心)是遞增數(shù)列.

FO綜合應用

11.已知數(shù)列｛<U,若如+1=如+□匚+2,則稱數(shù)列｛&｝為“凸數(shù)列”,已知數(shù)列｛6｝為“凸數(shù)列“，且/力=1,歷=-2,則彷”｝的前2

024項的和為()

A.0R1

C.-5D.-1

解析：Db,^2=bn+\-b,fb\=\,〃2=-2,*.by=ln—b\=—2—1=—3,兒=加一歷=-3—(-2)=—\,bs=板一氏=一\一(-3)=

2,岳=以一九=2—(-1)=3,岳='一以=3—2=1.，｛6｝是周期為6的周期數(shù)列，且8=1-2—3—1+2+3=0..*.S：3=S337x6+2=-l.

12.設(shè)數(shù)列以“｝的前“項和為S”，且S“eS6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列｛小｝的通項公式如=.

解析：V”WN‘，an+l>a?,則數(shù)列｛%｝是遞增的；V〃￡N*,S.2s6,即S?最小，只要前6項均為負數(shù)，第7項為非負數(shù)，或前5項為負數(shù)，第6

項為0即可.所以滿足條件的數(shù)列｛廝｝的一個通項公式5=/-6(nSN*).

答案：”一6(nEN-)(答案不唯一)

13.已知數(shù)列仿”｝的前〃項和為若*=〃&,且S2+S4+S6+…+5岫=1860,則a=.

解析：法一：因為Sn=M,所以當〃22時，an=Sn—Sn-1=na?—(n—1)an-i,得(n—1)On—(”-1)an-i,即a”=a”-i,所以數(shù)列｛“”｝是常

數(shù)列，所以Sn=nai,所以S2+S4+S6+…+S60=(2+4+6+…+60)"'ai=930ai=l860,解得ai=2.

法二：因為S”=〃a“，所以當“22時，Sn=n(工一$,“)，得(w-1)S-i,則有一=T，所以數(shù)列｛—｝是常數(shù)列，則一=—=?,所以

S,.=na\,則S2+S4+&+…+S?)=(2+4+6+“?+60)m=^^m=930m=l86Q,解得s=2.

答案：2

14.記S”為數(shù)列的前〃項和,兒為數(shù)列⑸｝的前〃項積,己知三+'=2.

(1)求數(shù)列仿,J的通項公式：

(2)求數(shù)列｛或｝的通項公式.

解：(1)將S”=——(〃22)代入三+'=2,得」+'=2(“22)，整理得兒一兒」=:(〃22).

00.1口口口口□口口口2

又當〃=1時，可得三+'=2,即三+上=2,得加=：,所以數(shù)列｛仇｝是以:為首項，：為公差的等差數(shù)列，

□l匚1口1口|222

所以兒=：一(W-I)x：=》+l.

(2)由(I)得及=1+1,將其代入工+」_=2,得S”=T,

當〃22時，fln=Sn-5n-i=-^--=-

又當〃=1時，ai=Si=g,不滿足上式,

fl

=1,

4

所以an—

L，匚2=

15.(2022?新病考I卷〉記S為數(shù)列｛0“｝的前〃項和，已知m=l.

(I)求｛a4的通項公式；

(2)證明：-+-+???+—<2.

01口2

解：(1)法一：因為0=1,所以」=1,

ul

又｛-｝是公差為g的等差數(shù)列，

所以一=1+(M-1)Xj=-^.

因為當〃22時，a”=S"一S”-i,

所以------=TSN2),所以(z;>2),

整理得——=—(”22),

□o-i

所以二——一￡乂？乂?..乂_!1乂*=壬

□]口？0gDQ.(120?20-!

所以S=<+?+?(G2),

6

又S=1也滿足上式，

所以S”=<+?(+2)(；*),

6?eN

則S”_|=<+D（〃22）,

6

所以“產(chǎn)｛+?（+2）_3^2

66

（”汕，

又m=l也滿足上式，

所以（nGN4）.

法二：因為川=1,所以」=1,

口|

又｛一｝是公差為1的等差數(shù)列，

所以三=1+（H-1）Xg=9,

所以Sn=~~~Un.

因為當〃22時，<bt=Sfi-SHI=-J-fbi——J-6//i1,

所以（〃22）,

所以一=三（〃22）,

D0.|口“

所以二XnX…XjX——=-X-X-X-X—X—=-^<（〃22）,

rIn20［u2D：;.|1230-2~-l2

所以服=-4^（〃力2）,

又a\=\也滿足上式，

所以〃”=W^（〃WN'）.

（2）證明：因為小=號!2,所以_￡=77b=2（1_」萬），

所以5+卜+…+_L=2［（1—B+（鼻）+…+（+」）+&47）］=2（1—T）V2.

第二節(jié)等差數(shù)列

叵底囁渝

1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.

2.探索并掌握等差數(shù)列的前“項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前”項和公式的關(guān)系.

3.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.

知識?逐點夯實…必備知識系統(tǒng)梳理基獨重落實-…一課前自修

迎夕梳理

L等差數(shù)列的有關(guān)概念

（I）定義：如果一個數(shù)列從第2頊起，每一項與它的前一項的差都等于國二仝常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

公差,通常用字母d表示，符號表示為小一小一=%“WN?且〃22,d為常數(shù)；

提醒在公差為"的等差數(shù)列｛.J中：①d>0o[aj為遞增數(shù)列；②d=0=｛a”｝為常盤列；③dVOo?｝為遞減數(shù)列.

（2）等差中項：數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充數(shù)條件是人=三一,其中人叫做a與七的等差中項.

提醒在等差數(shù)列｛m｝中，從第二項起，每一項都是它前后兩項的等差中項，即｛aj成等差數(shù)列+=（”22〉.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

（1）通項公式：an=ai+（n-1）d=nd+（如-d）=當4工0時，或是關(guān)于“的一次函數(shù)模型，即a“=p”+q,其中〃為公差：

a.=ai+（fi-l）d

1

（2）前〃項和公式：5=-^'*=，刈+」7勿=3〃2+（-「3〃=當￡/#0時，S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)模型，且沒有常數(shù)項，即S”=A〃2+/，〃.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

（1）通壩公式的推1、：dn=am+（.n—m）d（〃，〃?￡N"）；

（2）若｛a/為等差數(shù)列，且2+/=/〃+"（匕/,m,/JGNO,則at+a尸am+a?；

（3）若｛a/是等差數(shù)列，公差為d,則at，m+“，血+2,”，…（A，〃iWN‘）是公差為加d的等差數(shù)列：（4）數(shù)列S?m-Sm，S.—S》H,…也

是等差數(shù)列，公差為四.

基礎(chǔ)b自測

1.判斷正誤.（正確的畫“7”，錯誤的畫“X”）

《I）若個數(shù)列從第2項起每項與它的前項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.（）

（2）等差數(shù)列｛小｝的單調(diào)性是由公差”決定的.（）

（3）數(shù)列｛期｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意〃￡N*,都有2rtM=a”+小+2.<）

（4）等差數(shù)列的前〃項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).（）

答案：（1）X（2）?（3）4（4）X

2.在數(shù)列｛倔｝中，?i=—2,a"“一a”=2.則公=（）

A.-6B.6

C.-10D.10

解析:B?:「.數(shù)列｛〃｝是公差為2的等差數(shù)列.又。=一2..?.如=5+44=-2+2乂4=6.故選B.

3.在等差數(shù)列｛而｝中，若m+G=5,G+G=15,則公+。6=（）

A.10B.20

C.25D.30

解析：C等差數(shù)列｛a?｝中，每相鄰2項的和仍然構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,若m+s=5,/+小=15,則4=15—5=】（），因此仆+“6=

(4+⑥)+4=15+10=25.

4.（2022?仝國乙卷）記S”為等差數(shù)列｛洞的前〃項和.若2s3=353+6,則公差d=.

解析：因為2s3=3Sz+6,所以2（〃|+02+。3）=3<6?|+?2）+6.化簡得3d=6,得d=2.

答案：2

5.已知S,）為等差數(shù)列｛%?｝的前n項和，“2=2,&=14,則an=.

,□1+□=2,

解析：也題意得.,4x3_14解得則""=-1+(n-1)X3=3〃-4.

4'+力

答案：3〃一4

常用"結(jié)論

I.若麻)均為等差數(shù)列且其前〃項和分別為S",T,則一=二二.

n?口口2-1

2.若｛.“)是等差數(shù)列，則｛一｝也是等差數(shù)列，其首項與｛&｝的首項相同，公差是｛小｝的公差的g.

3,若等差數(shù)列｛〃”｝的項數(shù)為偶數(shù)2”，則S”=〃(ai+血)=?,?=/:(a|+。"+1)；S佻—St)=nd,—=-----.

°w0°+?

4,若等差數(shù)列｛〃”｝的項數(shù)為奇數(shù)2”-1,則S；bt-】=(2?—1)am—(中間項).

1un-'

身應用

1.已知等差數(shù)列MJ的前〃項和為S”，若山=一2023,且然一僦=1,則S2024=()

20242023

A.OB.1

C.2023D.2024

解析：A由結(jié)論2可得：｛—｝是等差數(shù)列，首項為一2023,公差為1,所以一=一2023+(〃-1)XI,所以溫=一2023+(2024-1)

Xl=0,所以S2O24=0.故選A.

2.在項數(shù)為2”的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75,各偶數(shù)項之和為90,末項與首項之差為27,則〃=.

解析：由結(jié)論3可得：S/—S*=〃d=9O-75=15,又?.?4%一防=27,「Jc二解得〃=5.

答案：5

3.已知數(shù)列｛〃｝,仿4都是等差數(shù)列，S”,7；分別是它們的前〃項和，并且_=存，則,=______.

3+8口7

解析：由結(jié)論1可得：==」2=券需=^=2.

U?U|33x13+847

答案：2

4.已知等差數(shù)列｛0｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319,所有偶數(shù)項之和為290,則該數(shù)列的中間項為.

解析：設(shè)項數(shù)為奇數(shù)2〃一1,由結(jié)論4可得：S*—S?="M=319—290=29.

答案：29

考點?分類突破州選考點典例研析技法支悟通課堂演練

禧O

.等差數(shù)列的基本里運算

1.已知等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S”,若“2=4,亂=22,如=28,則〃=()

A.3B.7

C.9D.10

解析：D因為54=ai+G+a3+oj=4a：!+2J=22,所以4=丑二？=3,ai=G—d=4—3=1,(/?—1)d=l+35—1)=3n~2,由

3〃-2=28,解得〃=10.

2.在等差數(shù)列｛.｝中，已知G=5,0m=7,m+3=10,則數(shù)列｛“”｝的前加項和為()

A.12B.22

C.23D.25

解析：B數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,因為“m=7,4m+3=IO,所以“m+3=am+3d=7+3d=IO,解得d=l,又G=5,所以ai=4,所

以而=4+(m-1)Xl=7,解得小=4,所以數(shù)列｛m｝的前〃j項和為54=＜產(chǎn)="衛(wèi)=22.故選B.

3.(多選)記S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，已知a=0,4=5,則下列選項正確的是()

A.。2+。3=0B.an=2n—5

C.Sn=n(n—4)D.d=~2

解析：ABC54=4X(4)=0,所以ai+ai=G+a3=O,A正確；a5=m+4d=5,Q.m+a4=〃i+s+3d=0,②.聯(lián)立①②得｛所以““

=-3+X2=2”-5,B正確，D錯誤；S“=-3”+-^X2=/-4〃，C正確，故選A、B、C.

4.在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例如，北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)形的石

板鋪成，如圖，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈，則第7圈的石

板數(shù)為，前9圈的石板總數(shù)為.

解析：由題可知從第I圈到第9圈石板數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛小｝,且首項出=9,公差d=9,則第7圈的石板數(shù)為G=9+6X9=63,前9圈的石板

總數(shù)為59=9X9+^X9=405.

答案：63405

I練后悟通I

等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略

(1)求公差”或項數(shù)〃：在求解時，一般要運用方程思想：

(2)求通麗：m和d是等差數(shù)列的兩個基本元素；

(3)求特定項：利用等差數(shù)列的通項公式或等息數(shù)列的性質(zhì)求解：

(4)求前”項和：利用等差數(shù)列的前“項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.

.等差數(shù)列的判定與證明

【例1】(2021?全國甲卷)已知數(shù)列｛〃”｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛小｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛小｝是等差數(shù)列；②數(shù)列(0)是等差數(shù)列;

③“2=3m.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解①(§)遍.

已知彷”)是等差數(shù)列，42=30.

設(shè)數(shù)列｛猴｝的公差為d,則ai=3a\=a\+d,得d=2al,

所以=ne?+1=n2a\.

因為數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，所以JTF=〃口,

所以—同=(〃+□同一〃口=口(常數(shù))，所以數(shù)列｛廠｝是等差數(shù)列.

①②—

已知｛。小是等差數(shù)列，｛JH)是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛“”｝的公差為力

2

則Sn=na?+■(/"</=\nd+(□「；)〃,

因為數(shù)列｛「｝是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛廠｝的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，則創(chuàng)一3=0,即4=2G,所以G=m+d=3m.

②③g.

已知數(shù)列｛、后一｝是等差數(shù)列，a2=3a\,所以Si=m,S2=?i+?2=4?I.

設(shè)數(shù)列｛J5］的公差為4d>0,則J二一J57=0百'-J57=d,得小=屋，所以(〃-1)d=〃"，所以&=〃2,凡

所以an=S”一Sni="法一(n—1)2d2=2d2n—d'(w>2)?是關(guān)于〃的一次函數(shù)，所以數(shù)列｛〃”｝是等差數(shù)列.

I解題技法I

判斷數(shù)列S，J是等差數(shù)列的常用方法

(1)定義;去：對任意〃￡N“，小+是同一常數(shù)：

(2)等差中項法：對■任意”