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文檔簡介
【標題】第五章數(shù)列
第一節(jié)數(shù)列的概念與表示
e課程]
通過日常生活和數(shù)學中的實例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).
*G■知識?逐點夯實。必備知識系統(tǒng)梳理基獨重落實課前自修
J,--一,,,,
迎J?梳理
1.數(shù)列的概念
概念含義
數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項數(shù)列中的庫??個數(shù)
數(shù)列的通項數(shù)列{4}的第〃項an
通項公式數(shù)列{m}的第〃項與序號〃之間的關(guān)系式
前”項和數(shù)列{a”}中,S”=ai+a2~l------卜a”
提醒數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù),而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位優(yōu)序號.
2.數(shù)列的分類及性質(zhì)
(二一“八米14窮數(shù)列:項數(shù)有限;
1也頂出匆~[施藪列:項數(shù)無限
口,________4遞增數(shù)列:
V按項與項間遞減數(shù)列:
1——的大小關(guān)系——常數(shù)列:j=a..其中nCW;
[分類提動數(shù)列:。.與a.“大小關(guān)
_______系不定
3.數(shù)列的表示方法
列表法列出表格表示〃與a”的對應關(guān)系
圖象法把點(小而)畫在平面直角坐標系中
通項公式把數(shù)列的通項用公式表示
公式法
'掰推公式如果?個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用?個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通玳公式
基礎(chǔ)//自測
1.判斷正誤.(正確的畫“4”,錯誤的畫“X”)
(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.()
(2)I,I,L1,不能構(gòu)成一個數(shù)列.()
<3)任何一個數(shù)列都有唯一的通項公式.()
(4)如果數(shù)列{a}的前〃項和為8,則對任意〃£N\都有a”“=S.+i—S".()
答案:(1)X(2)X(3)X(4)Q
2.在數(shù)列{/}中,?i=l,a,,=\+—(M^2),貝]|由=()
口。?1
A-B-C-DU-
八203V53
Mrxc—II(-02_9-II(-l/_I_|I(-1)4_Q_|1(-I)5-2
解析:Dai—1+----2,03—1+-----?<74—1+----3,?5—1+----
ul口227.43
3.(多逸)已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項可能是()
B“=f,□為奇數(shù),
A.a=(-1)E+]
nlo,□為偶數(shù)
C.%=2si-D.<?n=cos(,?—I)JI+1
解析;ABD對〃=1,2,3,4進行臉證,a“=2sin—不合題意,其他都可能.
4.在數(shù)列一I,0,;,???,—中,0.08是它的第項.
vO
解析:依題意得4>解得〃=10或"W(舍)?
答案:10
5.若Sr,為數(shù)列{0,的前“項和,且Sn=-則L=_______.
匚+1os
解析:???當〃時,t/=S?-5n-i.A-=5X(5+1)=30.
n匚+1□+X
答案:30
常用//結(jié)論
=1,
I.若數(shù)歹|J{屈}的前〃項和為S”,則出=k-uz?
(□匚.□匚4,口>2,OtN.
2.在數(shù)列{&}中,若如最大,則若小最小,則上
(U口N」□+[?I』SU,+i-
呼應用
1.(多選)在數(shù)列{小}中,跖=(M+I)Q),則數(shù)列{面中的最大項可以是()
A.第6項B.第7項
C.笫8項D.第9項
(7期4),所以I!即6OW7,所以最大項為第6
解析:AB由結(jié)論2可得(〃+l)Q>(〃+2)-Q且(”+1)
3皿2(0+!)>□,
項和第7項.故選A、B.
2.已知數(shù)列{而}的前“項和S”=2“2—3〃,則數(shù)列{”“}的通項公式*=.
解析:由結(jié)論1得m=Si=2—3=-I,當“22時,〃”=S”-S”-i=(27-3〃)一[2(〃-I)2—3(”-I)]=4〃-5,因為ai也適合上式,所
以〃"=4”-5.
答案:4/1—5
百a考點?分類突破新選考點典例研析技法重悟通-.......\課堂演練
J,
‘由a”與S”的關(guān)系求an
【例I】(1)已知數(shù)列{a?}滿足m+2a2+3G+…+M“=2",則a,i=;
(2)已知數(shù)列仿”)的前〃項和為S“,且S”=2小一1,則數(shù)列{〃”)的通項公式由=.
n1
解析(1)當”=1時,由巴知,可得。i=21=2:,.,”|+2。2+3。4+…+〃。”=2",①,數(shù)。|+2。2+35+…+(/?—1)an-i=2(〃22),
-If2,□=1,
②,由①一②得〃⑶=2"—2"T=2"T(?>2),(心2).顯然當”=1時不滿足上式.,如二卜■>,.
(—,LN2.
(2)由數(shù)列山”}的前〃項和為Snr且S”=2a”-1,可得Si=2ai—1,解得ai=l,又an=S,t~■S”-i=2a”-2.<ini(〃力2),即a”=2a”—?
(〃22),.?.數(shù)列{”“}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,.?.a”=2"?(neNx).
(2,Q-1,
答案->2(2)2"T("EN")
I解題技法I
1.已知S”求公的3個步驟
(1)先利用?i=Si求出的:
(2)用〃一1替換S”中的”得到一個新的關(guān)系,利用G=S”-S*I(“22)即可求出當”22時的表達式:
(3)注意檢臉”=1時的表達式是否可以與〃N2時的表達式合并.
2.S”與〃”關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.
(1)利用“”=S”-S,i(〃22)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-I的關(guān)系式,再求解:
(2)利用5”一*」=%(〃N2)轉(zhuǎn)化為只含小,的關(guān)系式,再求解.
R訓練
I.已知數(shù)列{點}的前n項和5?=(一I)""?〃,則公+[6=,an=.
——
解析:a&ta6=S6—Sa=(6)—(—4)=—2當〃=1時,?I=SI=1;當”22時,an=Sn~Sn-\=(1)""?〃一(—1)”?(〃一])=(—
1)fl+,-[n+(n-l)]=(-1)"+,-(2n-l),又m也適合于此式,所以0=(-1)?+l-(2?-1).
答案:一2(-1)"+,-(2n-l)
2.設(shè)S。處數(shù)列{<?”)的前〃項和,已知ai=l,an=-Sn-Sn-t(“22),則S”=.
解析:依題意得S”_1-S”=S“iS”(〃22),整理得-L--L=],又_L=2_=i,則數(shù)列{工}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,因此'=1+
口口Oo-I口|U1
(M-1)X1=W,即Sn=L
答案:!
由遞推關(guān)系求通項公式
[例2]分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式:
(1)ai=0,。”+1=。”+(2/j—1)("WN"):
n
(2)?|=Lan+\=2an(z?GN*):
(3)0=1,a”+i=3a”+2(”EN').
解(1)un=m+(,u2~ui)H---F(“"—“”-1)=0+l+3H---F(2//—5)+(2〃—3)=(〃—I)
所以數(shù)列的通項公式為〃”=(〃-1)*12.3
(2)由于——=2",故==21—=22,—.——=2"
口1口2
將這I人等式一乘,得一=2i+2+“,+5F=2七\
□1
(二⑷
故an=2~2~,
口《”
所以數(shù)列的通項公式為“”=2F—.
(3)因為而+i=3a”+2,所以a-i+l=3(。”+1),
所以T;=3,
所以數(shù)列{/+1}為等比數(shù)列,公比q=3,
又m+l=2,所以。”+1=23?,
所以該數(shù)列的通項公式為如=23”'-1.
I解題技法I
由數(shù)列遞推式求通項公式的常用方法
?9??????????????????????????/????????????????????1
(g遢)6彩如Oii=7"J?+m(P,析為常數(shù)?pf1,mW。):
時,也迫裝空竺到.....................j
彩石,二EMRN/G汀可求Q海:由7
系加法求解
再90渺加等_弓5)(編i可求枳京,用半記
陽g_____________________J
提醒利用累積法,易出現(xiàn)兩個方面的問題:一是在連乘的式子中只寫到二,漏掉口而導致錯誤:二是根據(jù)連乘求出出之后,不注意檢驗0
口|
是否成立.
身訓練
1.在數(shù)列{%}中,6/1=3,a“+i=a”+「+1'則通項公式。”=.
解析:??=—...當2時,a“一a"一i=」y-L““_2=J;—二,…,/一m=l—,以上各式相加得a”-ai=I-
□(11+1)□□+1D-l□11-2D-l2
一,?*?Cln=4——,41=3適合上式,?*?Cln=4——.
答案:4」
2.已知數(shù)列{雨}的首項是m=g,且雨川二不,則數(shù)列{雨}的通項公式為.
解析:由題意得——->當〃N2時,=-=Jx;X?X…X―Y(〃22),所以—=J(〃22),因為ai=1,所以a”
=t(G2).因為a1=g滿足上式,所以「=(7).
答案:
投列的性質(zhì)
考向/數(shù)列的周期性
【例3】無窮數(shù)列{%}滿足:只要即=.(p,q£N"),必有卬+1=的+”則稱{潟為“和諧遞進數(shù)列”,若{""}為“和諧遞進數(shù)列”.S”為其
前“項和,且41=1,42=2,出=1,。6+。8=6,則47=:$2023=.
解析因為數(shù)列是”和諧掰班數(shù)列",且"1=3=1,02=2,所以〃5=〃2=2,同理有=?7=?4=1.公=05=2,又〃6+公=6,所以
43=16=4,則數(shù)列{aj:ai=\,ai=2,出=4,小=1,as=2,偏=4,ai=\,*=2,…,故數(shù)列{。“)是以3為周期的數(shù)列,所以S20”=S674x3
+i=(1+2+4)X674+l=4719.
答案I4719
I解題技法I
解決數(shù)列周期性問題的方法
根據(jù)所給的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項,通過觀察歸納出數(shù)列的周期,進而求出有關(guān)項的值或者前"項的和.
考向2數(shù)列的單調(diào)性
【例4】EL知數(shù)列(m}中,小=一一,若數(shù)列{%}為遞減數(shù)列,則實數(shù)上的取值范圍為()
A.(3,+<o)B.(2?+oo)
C.(1,+oc)D.(0,+oo)
解析a”+La”=3;::_q_=3;3+;,由數(shù)列{“”}為遞減數(shù)列知,對任意"WN",(/?+1—an=3~\\<0.所以k>3—3〃對任意AWN”恒成立,
所以k的取值范圍為(0,+8).
答案I)
I解題技法I
解決數(shù)列單調(diào)性問題的方法
(1)件差比枝法?根據(jù)小一1一%的"號判斷數(shù)列UJ是遞增數(shù)列,遞成數(shù)列還是常效列?
(2)作商比較法:根據(jù)7(G>0或.mVO)與1的大小關(guān)系進行判斷:
(3)函數(shù)去:結(jié)合相應的函數(shù)圖象直觀判斷.
考向3數(shù)列的最大(小)項
【例5】若數(shù)列{點}的前"項積5=1一],則的最大值與最小值之和為<:)
A1O5
A「B-7
C.2D.g
2
解析由題意am…。《=1—%①.當〃=1時,”i=l—:=;.當〃22時,aiaz-Ot-i=l—(n—1)=齊力,②.由①+②,
方一
1+。(〃22).又m=,也滿足上式,所以。”=1+六(〃£N").易知數(shù)列{a,J在〃£[1,4](“GN")上單調(diào)遞減,此時出Wa”Wm,即一
1效列{““}在:5,+oc)("EN")上單調(diào)遞減,此時lV“”Wa5,即lVo?W3,所以的最小值為o*=—1,最大值為“5=3,所以
g的最大值與最小值之和為-1+3=2,故選C.
答案C
I解題技法I
求數(shù)列最大項與最小項的常用方法
(1)函數(shù)法:利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若能借以表達式觀察出單調(diào)性,直接確定最大(小)項,否則,利用作差法:
(2)利用以(G2)瑜定最大項,利用1口亍[小(心2)瑜定最小項.
(U口2Uj+I(U口S口匚十|
口訓練
1.已知數(shù)列{&?}的通項公式是德==,那么這個數(shù)列姑()
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列
解析:Aan+i~an=^4~m=(3+1)(3+4)>C,>?,?an+i>an,故選A.
2.若數(shù)列{&}的前”現(xiàn)和&=/產(chǎn)一】。〃5END.則數(shù)列{“小}中數(shù)值蚊小的壩班()
A.第2項B.第3項C.第4項D.第5項
2
解析:B'."Sn=n—10/b...當“22時,a?=Sn—S*i=2”-11;當〃=1時,"i=Si=—9也適合上式..??”“=2”-11("WN*).記/(“)—nan
=n(2/i-H)=2"2-]1”,此函數(shù)圖象的對稱物為直線〃=?,但〃WN,.?.當〃=3時,f(〃)取最小值.,數(shù)列{〃m}中數(shù)值最小的項是第3
項.
3.已知數(shù)列{〃”}中,41=1,02=2,且““心,IS2=。"+。""+〃”.2,其中〃GN",則)[+。2+。3~1---hfl24=.
解析:當〃=1時,m42〃3=。1+。2+。3,可得。3=3,同理當”=2時,可得04=1,當〃=3時,可得45=2,以此類推可知數(shù)列的周期為3,所
以tn+a2+…+。24=8(ai+02+03)=8X6=48.
答案:48
■課時?過關(guān)檢測°關(guān)就能力分層施練素養(yǎng)支提升課后練習
4-7------------------------------------------------------------------------------
I.已知數(shù)列&,V5,2a,…,則26是該數(shù)列的()
A.第5項B.第6項
C.第7項D.第8項
解析:C由數(shù)列&,x/5,2a,…的前三項為日,瓜通可知,數(shù)列的通項公式為?=J2+3叵1)=75hT,由>/5而=2百,可得〃=7.故
選C
2.在數(shù)列{oj中,m=2,2a”.1=2。”+〃,則。9=()
A.20B.30
C.36D.28
解析:A因為“1=2,2-=2a“十〃,所以—??=:,所以《9=(?9—as)+(d8—47)H---F(。2—<“)+<“,所以----F:+2=
1±比產(chǎn)+2=%9管+2=20.故選A.
3.已知數(shù)列⑷}滿足:對任意〃J,“金葉,都有“處=小+川且“2=2,那么,20=()
A.240B.230
C.220D.2'°
解析:Di。M歡="八.州,S=2,得420=〃2〃18=。2〃2。16=…=]°=2叱故選D.
4.已知正項數(shù)列{aJ中,Q+j工+…+/或=」/,則數(shù)列{m}的通項公式為()
A.Un=llB.?“=〃’
匚2
C.。兀=彳D.Qn=—
解析:B:阿+G+…+?=-iyLU,???C+G+…+網(wǎng)二二-^(〃22),兩式相減得壓(〃力2),.?.出
=n2(,e2),①.又當〃=1時,S7=?=l,〃|=1,適合①式,,a”=〃2,”eN*.故選B.
5.若數(shù)列{溫滿足0=2,a”“=F—(“£!<),則該數(shù)列的前2023項的乘積是<:)
】一口[
A.-2B.-1
C.3D.I
解析:C因為數(shù)列{“”}滿足m=2,???n='p--<//CN*).所以"2=*~1=罟=3,同理可得“s=“、=2,…,所以數(shù)列{“M每
四項重復出現(xiàn),即5+4=。”,且的6。3s=1,而2023=505X4+3,所以該數(shù)列的前2023項的乘積是aisarai?…,0。口=15rlsx”[X02Xa3=
3.故選C.
6.(多選)若數(shù)列{小}滿足:對任意正整數(shù)",[加+]—“,}為遞減數(shù)列,則稱數(shù)列(加}為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列{4}(?€N*),其中是
“差遞減數(shù)列”的有()
A.Un=3nB."”=,「+1
C.??=-/□D.An=In--
□+1
解析:CD對于A,若a”=3〃,則—一0"=3(〃+1)—3〃=3,所以{ar?+i—a”}不為遞減數(shù)列,故A錯誤;對于B,若則a“+i—
a=<//+1)2—M2=2M+1,所以{〃”+】-為遞增數(shù)列,故B錯誤:對于C,若則『+|—〃”=>/□+1—后=~;_廠,所以{a”+|—
nv+I+VU
“"}為遞減數(shù)列,故C正確;對于D,若小=ln-1,則ae+|_4t=ln-^_|nF=ln(W-^)=ln(l+)’由函數(shù)產(chǎn)款(1+、二)在(°,
+oo)上單淵遞減,所以{雨+1—跖}為遞減數(shù)列,故D正確.
7.已知數(shù)列{aj的前n項和S”=“2+2”+1,則cn=.
解析:當〃=1時,ai=51=1+2+1=4;當〃N2時,an=Sn-Sn-i=2?j+L經(jīng)檢驗。i=4不適合&=2〃+I,故&={*
答案.I4,=L
a米.l2:i+1,□22
8.根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù),寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式a”=.
16
解析:由的=1=5X1—4,02=6=5X2—4.ai=11=5X3—4.,,,?歸納a”=5〃-4.
答案:5〃一4
9.已知數(shù)列{而}的通項為(〃EN?),則數(shù)列的最小項是第項.
解析:因為數(shù)列彷」的最小項必為a”V0,即廣=〈°,3/:-16<0,從而又因為“£N",且數(shù)列{溫的前5項遞減,所以“=5
3-163LJ-163
時內(nèi)的值最小.
答案:5
10.已知函數(shù)/(x)=三\設(shè)(〃£N').
(1)求證:an<\\
(2){猴}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列?為什么?
解:(1)證明:an=f(/?)=—=1—-<1,
(2)因為如.|一如=7=1一」
=(iVh-1)=—!—>o,
V□+1>I□?0(□+1)
所以
所以{心)是遞增數(shù)列.
FO綜合應用
11.已知數(shù)列{<U,若如+1=如+□匚+2,則稱數(shù)列{&}為“凸數(shù)列”,已知數(shù)列{6}為“凸數(shù)列“,且/力=1,歷=-2,則彷”}的前2
024項的和為()
A.0R1
C.-5D.-1
解析:Db,^2=bn+\-b,fb\=\,〃2=-2,*.by=ln—b\=—2—1=—3,兒=加一歷=-3—(-2)=—\,bs=板一氏=一\一(-3)=
2,岳=以一九=2—(-1)=3,岳='一以=3—2=1.,{6}是周期為6的周期數(shù)列,且8=1-2—3—1+2+3=0..*.S:3=S337x6+2=-l.
12.設(shè)數(shù)列以“}的前“項和為S”,且S“eS6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列{小}的通項公式如=.
解析:V”WN‘,an+l>a?,則數(shù)列{%}是遞增的;V〃£N*,S.2s6,即S?最小,只要前6項均為負數(shù),第7項為非負數(shù),或前5項為負數(shù),第6
項為0即可.所以滿足條件的數(shù)列{廝}的一個通項公式5=/-6(nSN*).
答案:”一6(nEN-)(答案不唯一)
13.已知數(shù)列仿”}的前〃項和為若*=〃&,且S2+S4+S6+…+5岫=1860,則a=.
解析:法一:因為Sn=M,所以當〃22時,an=Sn—Sn-1=na?—(n—1)an-i,得(n—1)On—(”-1)an-i,即a”=a”-i,所以數(shù)列{“”}是常
數(shù)列,所以Sn=nai,所以S2+S4+S6+…+S60=(2+4+6+…+60)"'ai=930ai=l860,解得ai=2.
法二:因為S”=〃a“,所以當“22時,Sn=n(工一$,“),得(w-1)S-i,則有一=T,所以數(shù)列{—}是常數(shù)列,則一=—=?,所以
S,.=na\,則S2+S4+&+…+S?)=(2+4+6+“?+60)m=^^m=930m=l86Q,解得s=2.
答案:2
14.記S”為數(shù)列的前〃項和,兒為數(shù)列⑸}的前〃項積,己知三+'=2.
(1)求數(shù)列仿,J的通項公式:
(2)求數(shù)列{或}的通項公式.
解:(1)將S”=——(〃22)代入三+'=2,得」+'=2(“22),整理得兒一兒」=:(〃22).
00.1口口口口□口口口2
又當〃=1時,可得三+'=2,即三+上=2,得加=:,所以數(shù)列{仇}是以:為首項,:為公差的等差數(shù)列,
□l匚1口1口|222
所以兒=:一(W-I)x:=》+l.
(2)由(I)得及=1+1,將其代入工+」_=2,得S”=T,
當〃22時,fln=Sn-5n-i=-^--=-
又當〃=1時,ai=Si=g,不滿足上式,
fl
=1,
4
所以an—
L,匚2=
15.(2022?新病考I卷〉記S為數(shù)列{0“}的前〃項和,已知m=l.
(I)求{a4的通項公式;
(2)證明:-+-+???+—<2.
01口2
解:(1)法一:因為0=1,所以」=1,
ul
又{-}是公差為g的等差數(shù)列,
所以一=1+(M-1)Xj=-^.
因為當〃22時,a”=S"一S”-i,
所以------=TSN2),所以(z;>2),
整理得——=—(”22),
□o-i
所以二——一£乂?乂?..乂_!1乂*=壬
□]口?0gDQ.(120?20-!
所以S=<+?+?(G2),
6
又S=1也滿足上式,
所以S”=<+?(+2)(;*),
6?eN
則S”_|=<+D(〃22),
6
所以“產(chǎn){+?(+2)_3^2
66
(”汕,
又m=l也滿足上式,
所以(nGN4).
法二:因為川=1,所以」=1,
口|
又{一}是公差為1的等差數(shù)列,
所以三=1+(H-1)Xg=9,
所以Sn=~~~Un.
因為當〃22時,<bt=Sfi-SHI=-J-fbi——J-6//i1,
所以(〃22),
所以一=三(〃22),
D0.|口“
所以二XnX…XjX——=-X-X-X-X—X—=-^<(〃22),
rIn20[u2D:;.|1230-2~-l2
所以服=-4^(〃力2),
又a\=\也滿足上式,
所以〃”=W^(〃WN').
(2)證明:因為小=號!2,所以_£=77b=2(1_」萬),
所以5+卜+…+_L=2[(1—B+(鼻)+…+(+」)+&47)]=2(1—T)V2.
第二節(jié)等差數(shù)列
叵底囁渝
1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.
2.探索并掌握等差數(shù)列的前“項和公式,理解等差數(shù)列的通項公式與前”項和公式的關(guān)系.
3.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.
知識?逐點夯實…必備知識系統(tǒng)梳理基獨重落實-…一課前自修
迎夕梳理
L等差數(shù)列的有關(guān)概念
(I)定義:如果一個數(shù)列從第2頊起,每一項與它的前一項的差都等于國二仝常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的
公差,通常用字母d表示,符號表示為小一小一=%“WN?且〃22,d為常數(shù);
提醒在公差為"的等差數(shù)列{.J中:①d>0o[aj為遞增數(shù)列;②d=0={a”}為常盤列;③dVOo?}為遞減數(shù)列.
(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充數(shù)條件是人=三一,其中人叫做a與七的等差中項.
提醒在等差數(shù)列{m}中,從第二項起,每一項都是它前后兩項的等差中項,即{aj成等差數(shù)列+=(”22〉.
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式:an=ai+(n-1)d=nd+(如-d)=當4工0時,或是關(guān)于“的一次函數(shù)模型,即a“=p”+q,其中〃為公差:
a.=ai+(fi-l)d
1
(2)前〃項和公式:5=-^'*=,刈+」7勿=3〃2+(-「3〃=當£/#0時,S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)模型,且沒有常數(shù)項,即S”=A〃2+/,〃.
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通壩公式的推1、:dn=am+(.n—m)d(〃,〃?£N");
(2)若{a/為等差數(shù)列,且2+/=/〃+"(匕/,m,/JGNO,則at+a尸am+a?;
(3)若{a/是等差數(shù)列,公差為d,則at,m+“,血+2,”,…(A,〃iWN‘)是公差為加d的等差數(shù)列:(4)數(shù)列S?m-Sm,S.—S》H,…也
是等差數(shù)列,公差為四.
基礎(chǔ)b自測
1.判斷正誤.(正確的畫“7”,錯誤的畫“X”)
《I)若個數(shù)列從第2項起每項與它的前項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.()
(2)等差數(shù)列{小}的單調(diào)性是由公差”決定的.()
(3)數(shù)列{期}為等差數(shù)列的充要條件是對任意〃£N*,都有2rtM=a”+小+2.<)
(4)等差數(shù)列的前〃項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).()
答案:(1)X(2)?(3)4(4)X
2.在數(shù)列{倔}中,?i=—2,a"“一a”=2.則公=()
A.-6B.6
C.-10D.10
解析:B?:「.數(shù)列{〃}是公差為2的等差數(shù)列.又。=一2..?.如=5+44=-2+2乂4=6.故選B.
3.在等差數(shù)列{而}中,若m+G=5,G+G=15,則公+。6=()
A.10B.20
C.25D.30
解析:C等差數(shù)列{a?}中,每相鄰2項的和仍然構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,若m+s=5,/+小=15,則4=15—5=】(),因此仆+“6=
(4+⑥)+4=15+10=25.
4.(2022?仝國乙卷)記S”為等差數(shù)列{洞的前〃項和.若2s3=353+6,則公差d=.
解析:因為2s3=3Sz+6,所以2(〃|+02+。3)=3<6?|+?2)+6.化簡得3d=6,得d=2.
答案:2
5.已知S,)為等差數(shù)列{%?}的前n項和,“2=2,&=14,則an=.
,□1+□=2,
解析:也題意得.,4x3_14解得則""=-1+(n-1)X3=3〃-4.
4'+力
答案:3〃一4
常用"結(jié)論
I.若麻)均為等差數(shù)列且其前〃項和分別為S",T,則一=二二.
n?口口2-1
2.若{.“)是等差數(shù)列,則{一}也是等差數(shù)列,其首項與{&}的首項相同,公差是{小}的公差的g.
3,若等差數(shù)列{〃”}的項數(shù)為偶數(shù)2”,則S”=〃(ai+血)=?,?=/:(a|+。"+1);S佻—St)=nd,—=-----.
°w0°+?
4,若等差數(shù)列{〃”}的項數(shù)為奇數(shù)2”-1,則S;bt-】=(2?—1)am—(中間項).
1un-'
身應用
1.已知等差數(shù)列MJ的前〃項和為S”,若山=一2023,且然一僦=1,則S2024=()
20242023
A.OB.1
C.2023D.2024
解析:A由結(jié)論2可得:{—}是等差數(shù)列,首項為一2023,公差為1,所以一=一2023+(〃-1)XI,所以溫=一2023+(2024-1)
Xl=0,所以S2O24=0.故選A.
2.在項數(shù)為2”的等差數(shù)列中,各奇數(shù)項之和為75,各偶數(shù)項之和為90,末項與首項之差為27,則〃=.
解析:由結(jié)論3可得:S/—S*=〃d=9O-75=15,又?.?4%一防=27,「Jc二解得〃=5.
答案:5
3.已知數(shù)列{〃},仿4都是等差數(shù)列,S”,7;分別是它們的前〃項和,并且_=存,則,=______.
3+8口7
解析:由結(jié)論1可得:==」2=券需=^=2.
U?U|33x13+847
答案:2
4.已知等差數(shù)列{0}的項數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項之和為319,所有偶數(shù)項之和為290,則該數(shù)列的中間項為.
解析:設(shè)項數(shù)為奇數(shù)2〃一1,由結(jié)論4可得:S*—S?="M=319—290=29.
答案:29
考點?分類突破州選考點典例研析技法支悟通課堂演練
禧O
.等差數(shù)列的基本里運算
1.已知等差數(shù)列{m}的前〃項和為S”,若“2=4,亂=22,如=28,則〃=()
A.3B.7
C.9D.10
解析:D因為54=ai+G+a3+oj=4a:!+2J=22,所以4=丑二?=3,ai=G—d=4—3=1,(/?—1)d=l+35—1)=3n~2,由
3〃-2=28,解得〃=10.
2.在等差數(shù)列{.}中,已知G=5,0m=7,m+3=10,則數(shù)列{“”}的前加項和為()
A.12B.22
C.23D.25
解析:B數(shù)列{0}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,因為“m=7,4m+3=IO,所以“m+3=am+3d=7+3d=IO,解得d=l,又G=5,所以ai=4,所
以而=4+(m-1)Xl=7,解得小=4,所以數(shù)列{m}的前〃j項和為54=<產(chǎn)="衛(wèi)=22.故選B.
3.(多選)記S”為等差數(shù)列{〃“}的前〃項和,已知a=0,4=5,則下列選項正確的是()
A.。2+。3=0B.an=2n—5
C.Sn=n(n—4)D.d=~2
解析:ABC54=4X(4)=0,所以ai+ai=G+a3=O,A正確;a5=m+4d=5,Q.m+a4=〃i+s+3d=0,②.聯(lián)立①②得{所以““
=-3+X2=2”-5,B正確,D錯誤;S“=-3”+-^X2=/-4〃,C正確,故選A、B、C.
4.在我國古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例如,北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)形的石
板鋪成,如圖,最高一層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共9圈,則第7圈的石
板數(shù)為,前9圈的石板總數(shù)為.
解析:由題可知從第I圈到第9圈石板數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{小},且首項出=9,公差d=9,則第7圈的石板數(shù)為G=9+6X9=63,前9圈的石板
總數(shù)為59=9X9+^X9=405.
答案:63405
I練后悟通I
等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略
(1)求公差”或項數(shù)〃:在求解時,一般要運用方程思想:
(2)求通麗:m和d是等差數(shù)列的兩個基本元素;
(3)求特定項:利用等差數(shù)列的通項公式或等息數(shù)列的性質(zhì)求解:
(4)求前”項和:利用等差數(shù)列的前“項和公式直接求解或利用等差中項間接求解.
.等差數(shù)列的判定與證明
【例1】(2021?全國甲卷)已知數(shù)列{〃”}的各項均為正數(shù),記S”為{小}的前〃項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.
①數(shù)列{小}是等差數(shù)列;②數(shù)列(0)是等差數(shù)列;
③“2=3m.
注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.
解①(§)遍.
已知彷”)是等差數(shù)列,42=30.
設(shè)數(shù)列{猴}的公差為d,則ai=3a\=a\+d,得d=2al,
所以=ne?+1=n2a\.
因為數(shù)列{4}的各項均為正數(shù),所以JTF=〃口,
所以—同=(〃+□同一〃口=口(常數(shù)),所以數(shù)列{廠}是等差數(shù)列.
①②—
已知{。小是等差數(shù)列,{JH)是等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{“”}的公差為力
2
則Sn=na?+■(/"</=\nd+(□「;)〃,
因為數(shù)列{「}是等差數(shù)列,所以數(shù)列{廠}的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù),則創(chuàng)一3=0,即4=2G,所以G=m+d=3m.
②③g.
已知數(shù)列{、后一}是等差數(shù)列,a2=3a\,所以Si=m,S2=?i+?2=4?I.
設(shè)數(shù)列{J5]的公差為4d>0,則J二一J57=0百'-J57=d,得小=屋,所以(〃-1)d=〃",所以&=〃2,凡
所以an=S”一Sni="法一(n—1)2d2=2d2n—d'(w>2)?是關(guān)于〃的一次函數(shù),所以數(shù)列{〃”}是等差數(shù)列.
I解題技法I
判斷數(shù)列S,J是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義;去:對任意〃£N“,小+是同一常數(shù):
(2)等差中項法:對■任意”
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