高中數(shù)學(xué)講義專項(xiàng)復(fù)習(xí)（二）

目錄

第1講向量運(yùn)算法則+題型拓展+大招.....................................................4

版塊二經(jīng)典例題.....................................................................4

題型1平行四邊形法則及三角形法則..............................................4

題型2共線問題.................................................................5

題型3等和線問題...............................................................7

第2講向量數(shù)量積幾何意義+題型拓展+大招...............................................9

版塊二經(jīng)典例題.....................................................................9

題型1基本公式的套用...........................................................9

題型2建系坐標(biāo)運(yùn)算.............................................................9

題型3轉(zhuǎn)換基底................................................................10

題型4投影....................................................................10

題型5極化恒等式..............................................................11

第3講向量中的最值十三角形四心核心知識...............................................13

版塊二經(jīng)典例題....................................................................13

題型1面積問題................................................................13

題型2三角形四心..............................................................13

題型3模長問題轉(zhuǎn)化為軌圓問題求最值...........................................15

第4講等差等比數(shù)列知識清單+技巧大全.................................................16

版塊二經(jīng)典例題....................................................................16

題型I等差數(shù)列基本量的求解...................................................16

題型2等差數(shù)列的性質(zhì)..........................................................16

題型3等差數(shù)列前〃項(xiàng)和經(jīng)典結(jié)論...............................................16

題型3證明等差數(shù)列............................................................17

題型4等比數(shù)列的基本量及性質(zhì).................................................18

題型5等比數(shù)列的單調(diào)性........................................................19

題型6等比數(shù)列的證明..........................................................19

第5講數(shù)列求通項(xiàng)最全方法匯總+技巧大全...............................................20

版塊二經(jīng)典例題....................................................................20

題型1累加法..................................................................20

題型2累乘法..................................................................20

題型3隔項(xiàng)成等差、等比.......................................................20

題型4%和5”的關(guān)系式.........................................................21

題型5帶省略號................................................................22

題型5構(gòu)造數(shù)列................................................................22

第6講數(shù)列求和最全方法匯總+題型拓展+秒殺............................................25

版塊二經(jīng)典例題....................................................................25

題型I分組求和................................................................25

題型2等差絕對值求和..........................................................25

題型3錯(cuò)位相減................................................................25

題型4討論奇偶................................................................26

題型5裂項(xiàng)相消................................................................27

第7講數(shù)列綜合拓展+放縮+大題難題.....................................................29

版塊二經(jīng)典例題....................................................................29

第8講立體幾何（一）：幾何體性質(zhì)+三視圖+計(jì)算體積....................................32

版塊二經(jīng)典例題....................................................................32

第9講立體幾何（二）：線面關(guān)系判斷與證明+書寫規(guī)范...................................36

版塊二經(jīng)典例題....................................................................36

第10講立何幾何（三）：球體系列+最全秒殺技巧..........................................41

版塊二經(jīng)典例題....................................................................41

題型1正方體、長方體問題.....................................................41

題型2柱......................................................................41

題型3正棱錐..................................................................42

題型4找球心的萬能分析法.....................................................43

第II講立何幾何（四）：空間中的角+最值+（理）空間向量................................44

版塊二典型例題....................................................................44

題型1角......................................................................44

題型2最值問題................................................................45

題型3二面角解答題............................................................46

第12講解析幾何（一）：直線+圓知識清單+技巧.........................................48

版塊二經(jīng)典例題....................................................................48

題型1傾斜角和斜率之間的關(guān)系.................................................48

題型2直線的方程..............................................................48

題型3直線平行垂直的充要條件.................................................48

題型4對稱問題................................................................48

題型5直線與圓的，立置關(guān)系.....................................................49

2

題型6圓與圓的位置關(guān)系.......................................................50

第13講解析幾何（二）：圓錐曲線小題（1）.........................................51

版塊二經(jīng)典例題....................................................................51

題型1圓錐曲線的定義..........................................................51

題型2焦點(diǎn)三角形..............................................................52

題型3最值問題................................................................53

第14講解析幾何（三）：圓錐曲線小題.................................................54

版塊二經(jīng)典例題....................................................................54

題型1雙曲線經(jīng)典結(jié)論..........................................................54

題型2拋物線焦點(diǎn)弦經(jīng)典結(jié)論...................................................54

題型3中點(diǎn)弦..................................................................56

第15講解析幾何（四）：圓錐曲線初階大題解題技巧.....................................57

版塊二經(jīng)典例題....................................................................57

題型1硬解定理的記憶..........................................................57

題型2高考常考的三個(gè)點(diǎn).......................................................57

題型3簡單弦長問題............................................................58

第16講解析幾何（五）：圓錐曲線大題之弦長面積問題..................................60

版塊二經(jīng)典例題....................................................................60

題型1弦長公式................................................................60

題型2簡單面積問題............................................................61

3

第1講向量運(yùn)算法則+題型拓展+大招

版塊二經(jīng)典例題

題型1平行四邊形法則及三角形法則

例1【★?2014?全國卷I】已知A,B,。為圓。上的三點(diǎn)，若=則AB與4c的

夾角為.

例2[★]a,匕為非零向量，

①若|a+M=|a-H，則<%〃>=.

②若|a|=倒=|。一力|，則va,b>=.

③若同==|a+力],則va.)>=.

④若|a|=|/>|=|a-Z>|,則.

例3[**】已知。為八45。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|。8-0(?|=[08+0€-204，則445。一定是

().

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

例4【★★】在AA8C中，若4/=48?AC+B4?8C+CB.CA,則AA5C是().

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

例5(★★]已知△WC滿足41=284?。，則三角形一定為().

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

例6【★★】設(shè).，人是兩個(gè)非零向量().

A.若|〃+叫=同一|同,則aJ_b

B.若a_L),則|a+b|=|4T"

C.若|。+n=同-網(wǎng)，則存在實(shí)數(shù)2,使得》=及

D.若存在實(shí)數(shù)九使得b=則,+)|=同-例

例7[★★]已知向量awe,M=1,對任意fwR,恒有卜一e|2|a-e|,則().

A.akeB.a±(o-e)

C.e_L(。一e)D.(a+e)_L(a-e)

4

題型2共線問題

例11★】下列命題正確的是

（1）若向量。，方共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)2,使〃=勸：

（2）若°=勸，則向量4〃共線；

（3）若ab,hc,則〃c；

（4）若向量a,力不共線，則向量a/都是非零向量.

例2【★★】平面向量。泊共線的充要條件是（）.

A.?方方向相同B.a力兩向量中至少有一個(gè)為零向量

C.存在/IcR,使）=加D.存在不全為零的實(shí)數(shù)44,4。+45=0

例3【★★,2015,新課標(biāo)I】設(shè)向量。〃不平行，向量九z+b與a+4平行，則實(shí)數(shù)4

例《【★★】設(shè)色,6是不共線的向量，已知向量AB=2q+40，Cl3=ei+3e2,CD=2e,-e2,若A,

B,。三點(diǎn)共線，則Z的值為__________.

例§【★★】在△ABC中，已知。是A2邊上一點(diǎn)，若AO=2D3,CD=-CA+ACB,則2二（）.

3

2口1

A.

33

-1D.二

C.

33

例6【★★】在AABC中，AB=c,4?=力.若點(diǎn)/)滿足8Q=2QC,則40=().

9]5

A.-b+-cB.

3333

2.i、1,2

C.—bf—cD.—b+—c

3333

例7【★★?2015?全國卷1】設(shè)。為ZWQ所在平面內(nèi)一點(diǎn)，8C=3CO,則（）.

1414

A.4。=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

-41-41

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

例?2012?全國I理】AA8C中，AB邊的高為C￡>,若CB=a,CA=b,ah=0.=

時(shí)=2,則AO二().

11「22入

A.-a——btB.—a——b

3333

3344n

C.-a—bt—a—b

5555

例9【★★?2010?全國H】在△ABC中，點(diǎn)Q在AB上，8平分NAC5.若CR=a,CA=b,

5

a1=1,例=2,則CD=().

A.jB.-a+-b

3333

C.-a+-bD.-a+-b

5555

1..9

例10【★★】如圖,在△A3C中,AN=-NC,點(diǎn)P是BN上的一盤,若AP=〃?A5++AC,則實(shí)

39

數(shù)利的值為（)

A

B

1_

A.1B.

3

0ID.3

例11[★★?2008?廣東理】在平行四邊形A4C。中,AC與比）交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),

AE的延長線與CD交于點(diǎn)?若AC=a,BD=b,則A尸二（).

21

A.-a+-bB.-a+-b

4233

C.-a+-hD.-a+-b

2433

例12[★★?2018?全國卷I]在△ABC中，AD為次?邊上的中線，E為4）的中點(diǎn)，則=

).

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

例已知點(diǎn)G是BC的重心，過G作直線與AB,4。兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且

AM=xABtAN=yAC,則△-).

x+y

A.3B.

3

C.2D.

2

6

例14【★★】已知在ZMAC內(nèi)有一點(diǎn)尸，滿足PA+P8+PC=0,過點(diǎn)尸作直線/分別交A4,AC

于M,M若AN=nAC(m>0,n>0),則"?+/?的最小值為().

A.-B.-

33

C.2D.3

例15【★★】在△ABC中，點(diǎn)P滿足BP=2PC,過點(diǎn)尸的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn)

M,N,若八”=〃*8,A/V=HAC(W>0,/2>0),則mi筋的最小值為__________.

例16【★★】在邊長為1的正△A6C中，E,產(chǎn)分別為邊相，AC上的動點(diǎn)，且滿足=

AF=nAC,其中八〃c(D,l),m+n=\,M,N分別是EF,8c的中點(diǎn)，則“網(wǎng)的最小值為

題型3等和線問題

例11★★】給定兩個(gè)長度為1的平面向星OA和08,它們的夾角為120。.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)

為圓心的圓弧48上運(yùn)動.gOC=xOA+yOB,其中x,yeR,則x+)，的最大值是

例2【★★?2017?全國HI】在矩形ABCD中，AB=i,4)=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與切

相切的圓上.^AP=AAB+pAD,則〃的最大值為().

A.3B.2及

C.75D.2

例-2017?江蘇】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量。4,OB,OC的模分別為I,I,a,

04與OC的夾角為a,且tana=7,08與OC的夾角為45°.OC=mOA+nOB(m.eR),

則m+n=______.

7

C

B

例4【★★】平行四邊形ABCD中，N4")=60。，AB=\,AQ=應(yīng)，P為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且

AP=—,若=+則4+向/的最大值為___________.

2

8

第2講向量數(shù)量積幾何意義+題型拓展+大招

版塊二經(jīng)典例題

題型1基本公式的套用

例1【★?2018?全國卷II】已知向量“2滿足同=1,以力=一1，則。?(2ad)=().

A.4B.3

C.2D.0

例21★?2017?新課標(biāo)I】已知向量a〃的夾角為60。，同=2,同=1,則同+2村二

例31★?2011?新課標(biāo)理】知a⑦均為單位向量，其夾角為。，有下列四個(gè)命題

-2笈、

〃［：［a+母>1=。￡0,—:|a+">1o，e

.3）

■\

p3:|?-/>|>1<=>^e0.—，乃

3，

其中真命題的是（）.

A.PLB.R，IA

C?P?>〃3D.〃2，P-

例《【★★】如圖，已知平面四邊形48cL>,AB1.BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與/"）交

于點(diǎn)O,記/2=OBOC,h=OCOD,則（）.

A./.</,<L

c./3</,<12

題型2建系坐標(biāo)運(yùn)算

例I【★?2017?山東】已知3%是互相垂直的單位向量，若小/％與勺+&2的夾角為60°，則實(shí)

數(shù)A的值是.

9

例2【★★】已知。=(42),8=(-3,-6),且。與人的夾角為鈍角，則4的取值范圍.

例?2009?全國理】已知o."c是單位向量，且“力=0,則(。-。)傳-c)的最小值為：).

A.-2B.y/2-2

C.-1D.1-V?

例4【★★】在直角梯形A4CO中，AB1AI),DC//AB,AD=IX：=\,AB=2,E,F分別為

AB,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，40為半徑的圓弧OE上變動(如圖所示).若

=+其中24-〃的取值范圍是__________.

題型3轉(zhuǎn)換基底

例1【★】已知向量A8,4c的夾角為120°,且|陰=3,|AC|=2.若AP=%A8+/MC,且

AP1BC,則實(shí)數(shù)2的值為__________.

例2【**】尸為4403所在平面上一點(diǎn)，向量。4=°,08=6,且為線段AA的垂直平分線，

M為垂足，向量OQ=c，同=3,同=2,則c.(a-8)的值為().

A.5B.3

C.-D.-

22

例3【★★?2014?江蘇】在平行四邊形ABCD中，已知AB=S,AD=5,CP=3PD,

APBP=2,則48?AO的值是.

題型4投影

例在RtZVWC中，ZBC4=90°,AC=8C=6,M為斜邊AB的中點(diǎn)，N為斜邊A￡?上一點(diǎn)，

且MV=20,則CMCV的值為().

A.!8x/2B.16

C.24D.18

例如圖，A是半徑為5的圓。上的一個(gè)定點(diǎn)，單位向量A4在A處與圓。相切，點(diǎn)。是

圓。上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合，則的取值范圍是().

10

AB

A.(-5,5)B.[-5,5]

C.\D.[0,5]

例如圖，。為△ABC的外心，AB=4,AC=2,ZBAC為鈍角，M為邊8C的中點(diǎn)，則

AM-AO的值為.

例4【★★★】菱形八HC。的邊長為2,ZA=60。，M為QC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含

邊界)，則4VTAN的最大值為__________.

題型5極化恒等式

例1[★,2014,新課標(biāo)2]設(shè)向量”,方滿足心+力|=JF5,|?-ft|=6?則°.6二().

A.IB.2

C.3D.5

例21★-2012?浙江】在Z^ABC中，M是3C的中點(diǎn)，AM=3,3c=10,則

AB-AC=__________.

例3【★★?2016?江蘇】在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

BACA=4t3/。尸=-1,貝IJBECE的值是

11

E

葉--------5---------

例4【★★★?2018?天津】如組，在平面四邊形AAC。中，AB上BC,AD±CD,ZR4D=120°,

AB=AD=1.若點(diǎn)、E為邊CD上的動點(diǎn)、,則AE.8E的最小值為（）.

C

16

例5【★★?2017?全國II】已知AABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面A8C內(nèi)一點(diǎn)，則

EV（PB+PCj的最小值是（）.

A.-2

12

第3講向量中的最值+三角形四心核心知識

版塊二經(jīng)典例題

題型1面積問題

例1平面上。，A,8三點(diǎn)不共線，設(shè)OA=a,OB=8,則的面積等于（）.

A.J同2時(shí)一（e4B.Ja『時(shí)十（.?4

C.時(shí)一（“爐D.時(shí)+（°6）2

例2【★★?2013?北京文】已知點(diǎn)A。,-1）,3（3,0）,C（2,l）.若平面區(qū)域D由所有滿足

AP=AAB+〃AC（144W2,（）K〃S1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為_____.

例3【★★★】在平直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A,8滿足|。4卜|。8卜。4。8=2,則

點(diǎn)集

{P|OP=/IO4+〃O8,風(fēng)+|”41,44WR）所表示的區(qū)域的面積是（）.

A.2x/2B,28

C.4夜D.473

例4【★★】點(diǎn)。為△AfiC內(nèi)一點(diǎn)，且。4+08+00=0,則zMOB,△AOC,△HOC的面積之

比為.

例5【★★】設(shè)?為△ABC所在平面上點(diǎn)，且滿足3P八十4PC=〃*6（〃i>0）.若zMSP的面積為

8,則△/18c的面積為.

題型2三角形四心

例1【★★】0是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

OP=Q4+；l（A8+AC）,2e[0.+oo）,則P的凱跡一定通過AABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

例2【★★】0是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足

/\

OP=OA+A?平+_狂_,2e[0,+oo）,則尸的軌跡一定通過AABC的（）.

jAqsinBACjsinCj

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

13

例3（★★]己知A4BC和點(diǎn)朋滿足MA+MB+MC=O.若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=〃*M成立,

則m=（）.

A.2B.3

C.4D.5

ABAC4/?AC1

例M★★】已知非零向量AB與AC滿足?80=0,1―—=一，則/\43。為（）.

<M+HMri|閡[2

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.不確定

例5在四邊形A8CO中，AB=DC=（1,1）,冬+惡=石笛，則四邊形ABC。的面積

為

ARCABACB

例6【★★】若三個(gè)不共線的向量,0B,OC,滿足。i~|+|一7=OB-

1網(wǎng)WH'H

BCCA

OC=0,則。點(diǎn)是△ABC的）.

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

例7★★]已知O是△ABC所在平面上點(diǎn)，若

（OA+OB）-4B=（OB+OC）.BC=（OC4-OA）C4=0,則O是AABC的（）.

A.夕卜心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

例8【★★】已知M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，N是8c邊的中點(diǎn)，如果2AM?^。二卜^之一卜耳?則

直線MN一定通過ZVIBC的（）.

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

例9[**】已知。是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若Q40B=0B?0CAC=0CO4,則。是△ABC

的（）.

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

例1（）【★★】已知O是AABC所在平面上一點(diǎn)，滿足則

。是△43C的（）.

14

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

題型3模長問題轉(zhuǎn)化為軌圓問題求最值

例1【★★★】已知平面向量〃ec滿足同=例=|〃-同=|a+b-c|=l,則同的最大值為.

例？【★★?2009?全國I】設(shè)a,4c是單位向量，且°g=0,則(。-。)他-。)的最小值為().

A.-2B.V2-2

C.-1D.l-x/2

例3[***?2()11?全國理12】設(shè)向量4,方工滿足同=網(wǎng)=1,ab=(a-c,b-c)=60°,則同的

最大值為().

A.2B.石

C.V2D.I

例4【★★★】設(shè)a,4c均為單位向量，且a?力=0,(a-c)(/>-c)<0,則|a+力+c|的最大值為

().

A.V2-1B.1

C.x/2D.2

例5【★★★】已知同=例=2,|c|=l,(a-c>(b-c)=0,求卜-闿的取值范圍.

例6【★★★?2016?四川】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,滿足,《=,@=,4,

DA-DB=DBDC=DCDA=-2,動點(diǎn)P,M滿足?=1,PM=MC,則『的最大值是

例-2018?浙江】已知aho是平面向量，。是單位向量.若非零向量〃與。的夾角為工，

3

向量〃滿足力2-4人力+3=0,則|。-囚的最小值是().

A.73-1B.G+I

C.2D.2-73

15

第4講等差等比數(shù)列知識清單+技巧大全

版塊二經(jīng)典例題

題型1等差數(shù)列基本量的求解

例11★?2018?全國卷I】記"為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，^353=S2+S4,4=2,則%=

().

A.-12B.-10

C.10D.12

例？【★?2019?全國H】記S.為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.若〃產(chǎn)0,%=34，則率=().

題型2等差數(shù)列的性質(zhì)

例11★】在等差數(shù)列｛4｝中，已知/+4=1°，貝113%+%=.

例21★】在等差數(shù)列｛%｝中，若生+4+6+4<)+4?=120，則為一；%=-

例3【★】下面關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列｛3｝的四個(gè)命題

P.：數(shù)列｛/｝是遞增數(shù)列；

p2：數(shù)列｛〃&｝是遞增數(shù)列；

小：數(shù)列標(biāo))是遞增數(shù)列；

外：數(shù)列｛6+3〃力是遞增數(shù)列：

其中真命題為.

題型3等差數(shù)列前〃項(xiàng)和經(jīng)典結(jié)論

例11十-2。??江蘇】已知數(shù)列｛，“｝(〃wN')是等差數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)和.若生6+4=0,

S9=27,則&的值是.

例21★】等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S”,an*0(〃cN),對于任意〃“有%”+冊「其=0，

S2g=38,貝h〃=.

例3【★】設(shè)S"為等差數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和，58=4?3,%=-2,則為=.

例4【★】已知數(shù)列｛”.｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=/+2〃，則數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式為.

例5[★]已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S,="+2〃+l,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

16

例6【★★】設(shè)｛凡｝，也｝是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前〃項(xiàng)用為S”和7；,若寺=子篙，則;為

正整數(shù)的〃的個(gè)數(shù)是.

例7【★】等差數(shù)列｛〃"｝中，S”前〃項(xiàng)和，4=-11時(shí)，&=盤=2,則S”的值為.

1()8

例81十?2013?全國I】設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，5m_,=-2,Srt,=0,S”出=3,則

m=.

例9【十】已知｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”，若5,=6,$8=1。，則生=-

例1