第芋概率

§1隨機(jī)事件的概率

1.1頻率與概率

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和概率的穩(wěn)定性（重點）.2.正確理解概

率的含義，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系（重點）3會初步列舉出重復(fù)試驗的結(jié)果

（重、難點）.

I課前預(yù)習(xí)自；學(xué)習(xí)，積這基礎(chǔ)

預(yù)習(xí)教材PH9-123完成下列問題：

知識點1必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件

事件類型定義

在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的必然事件，

必然事件

簡稱必然事件

在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的不可能事

不可能事件

件，簡稱不可能事件

必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定

確定事件

事件

在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的

隨機(jī)事件

隨機(jī)事件，簡稱隨機(jī)事件

確定事件與隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，……

事件

表示

【預(yù)習(xí)評價】

隨機(jī)事件概念中的“在條件S下能否去掉？”

提示不能，事件是試驗的結(jié)果，而在不同條件下試驗的結(jié)果往往是不一樣的.

如常溫下水是液態(tài)的，能流動，若在零下10℃,就是不可能事件，在零上5℃,

就是必然事件.

知識點2隨機(jī)事件的頻率

1.隨機(jī)試驗

(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗的結(jié)果都明確可知，但不止一種；

(3)每次試驗總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一種，但在一次試驗之前卻不能確定這次試

驗會出現(xiàn)哪一種結(jié)果.

稱這樣的試驗是一種隨機(jī)試驗，簡稱試驗.

2.隨機(jī)事件的頻率

在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗中事

件A出現(xiàn)的次數(shù)以為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例啟A)=g為事件

?<,

A出現(xiàn)的頻率.

【預(yù)習(xí)評價】

兩位同學(xué)在相同的條件下，都拋擲一枚硬幣100次，得到正面向上的頻率一定相

同嗎？

提示不一定相同.

知識點3隨機(jī)事件的概率

對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率以A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定

在某個常數(shù).上，把這個常數(shù)記作P(A)，則P(A)稱為事件人的概率，簡稱為A的

概率.

【預(yù)習(xí)評價】

1.頻率就是概率，這種說法正確嗎？

提示這種說法不正確，頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨

機(jī)的；而概率是一個確定的值，通常通過大量的宣復(fù)的試驗，用隨機(jī)事件發(fā)生的

頻率作為它的概率的估計值.

2.(1)天氣預(yù)報中“明天北京降水的概率是60%,上海降水的概,率是70%”，有

沒有可能北京降雨了，上海沒有降雨？試從概率的角度加以分析.

(2)連續(xù)擲硬幣HX)次，結(jié)果1()()次全部是正面朝上，出現(xiàn)這樣的結(jié)果，你會怎

么想？原因何在？

提示(1)“降水的概率”說明了北京與上海降雨這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性.上

海降雨的可能性比北京大，并不能說北京降雨了，上海就一定降雨，完全有可能

北京降雨，而上海沒有降雨.

⑵出現(xiàn)這樣的情況，我們可以認(rèn)為該硬幣的質(zhì)地是不均勻的，如果拋硬幣試驗

中，該硬幣是質(zhì)地均勻的，則出現(xiàn)正面朝上和出現(xiàn)反面朝上的機(jī)率是一樣的，即

出現(xiàn)正面向上與出現(xiàn)反面向上的次數(shù)不會相差太大.

課堂互動題型剖析，互動探究

題型一必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件的判斷

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機(jī)事件：

(1)中國體操運(yùn)動員將在下一屆奧運(yùn)會上獲得全能冠軍；

(2)出租車司機(jī)小李駕車通過4個十字路口都將遇到綠燈；

(3)若，則x2+121；

⑷小紅書包里只有數(shù)學(xué)書、語文書、地理書、政治書，她隨意拿出一本，是漫

畫書.

解(1)(2)中的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件.

(3)中的事件一定會發(fā)生，所以是必然事件.

(4)小紅書包里沒有漫畫書，所以是不可能事件.

規(guī)律方法要判斷事件是何種事件，首先要看清條件，因為事件都是相對于一定

條件而言的，然后看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)分，還是一定不發(fā)生.一定發(fā)

生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.

【訓(xùn)練1】下列事件中的隨機(jī)事件為()

A.若a，b、c都是實數(shù)，則a(bc)=(ab)c

B.沒有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到60℃時水沸騰

解析A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律，對任意實數(shù)a,b,c是恒成立的，故A

是必然事件.在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不可

能事件.拋擲一枚硬幣時，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會是正面向上還是反面

向上，故C是隨機(jī)事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達(dá)到100℃,水才會

沸騰，當(dāng)溫度是60℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件.

答案c

題型二試驗與重復(fù)試驗的結(jié)果分析

[例2]下列隨機(jī)事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的所有結(jié)果.

⑴拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣；

（2）從集合A={”小中任取3個元素組成集合A的子集.

解（1）一次試驗是指“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次"，試驗的可能結(jié)果有4

個：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.

⑵一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集“，試

驗的結(jié)果共有4個：{〃，b,c）,{a,b,d],{a,c,d},{b,c,d].

規(guī)律方法1.準(zhǔn)確理解隨機(jī)試臉的條件、結(jié)果等有關(guān)定義，并能使用它們判斷一

些事件，指出試臉結(jié)果，這是求概率的基礎(chǔ).

2.在寫試驗結(jié)果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，根據(jù)

日常生活經(jīng)驗，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏.

【訓(xùn)練2】袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機(jī)試

驗的條件和結(jié)果.

（1）從中任取1球；（2）從中任取2球.

解⑴條件為：從袋中任取1球.結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種.

（2）條件為：從袋中任取2球.若記（紅，白）表示一次試驗中取出的是紅球與白球,

結(jié)果為：（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）6種.

互動

題型三頻率與概率的關(guān)系及求法

探究

【探究1】給出下列三個命題，其中正確的命題有個.

①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②

做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是京③隨機(jī)事

件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

3

解析①錯，不一定是10件次品；②錯，，是頻生而非概率；③錯，頻率不等于

概率，這是兩個不同的概念.

答案0

【探究2】我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧,

有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，

則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

解析因為樣品中米內(nèi)夾谷的比為黑，所以這批米內(nèi)夾谷為1534

169（石）.

答案B

[探究3]某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖所

示)，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)(/

鉛筆《可樂

會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，(\

下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)〃1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次

68111136345564701

數(shù)m

落在“鉛筆”區(qū)域的頻

率如

n

(1)計算并完成表格；

(2)請估計，當(dāng)〃很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近多少？

(3)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少?

解⑴

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)〃1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)機(jī)68111136345564701

落在“鉛筆”區(qū)域的頻率?0.680.740.680.690.7050.701

(2)當(dāng)〃很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近0.7.

⑶獲得鉛筆的概率約是().7.

規(guī)律方法1.頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)〃？與試驗總次數(shù)〃的比值，利用此公式可

求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)〃很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附

近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率.

2.解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概.

率.

I課堂反慎I自主反饋，檢測成效

課堂達(dá)標(biāo)

1.下列事件：①明天下雨；②3〉2；③某國發(fā)射航天飛機(jī)成功；④x￡R，f+2

<0；⑤某商船航行中遭遇海盜；⑥任給x￡R，_v+2=0.

其中隨機(jī)事件的個數(shù)為（）

A.lB.2

C.3D.4

解析①③⑤⑥是隨機(jī)事件，②是必然事件，④是不可能事件.

答案D

2.從6名男生、2名女生中任選3人，則下列事件中，必然事件是（）

A.3人都是男生B.至少有1名男生

C.3人都是女生D.至少有1名女生

解析由于女生只有2人，而現(xiàn)在選擇3人，故至少要有1名男生.

答案B

3.從裝有3個紅球、2個綠球的袋子中任取兩個小球，這兩個小球都是綠色的.

這一事件是事件（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）.

解析因為取到的兩個小球可能都是紅球，也可能是一個紅球和一個綠球或兩個

都是綠球，故”兩個小球都是綠色的”這一事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以

是隨機(jī)事件.

答案隨機(jī)

4.從100個同類產(chǎn)品（其中有2個次品）中任取3個.

①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤

至少一個次品；⑥至少一個正品.

其中必然事件是，不可能事件是，

隨機(jī)事件是.

解析從100個產(chǎn)品（其中2個次品）中任取3個可能結(jié)果是：“三個全是正品”，

“兩個正品一個次品”，“一個正品兩個次品”.

答案⑥④①②③⑤

5.為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)同齡兒童的智力，出了10個智力題，每個題10

分.然后作了統(tǒng)計，下表是統(tǒng)計結(jié)果.

貧困地區(qū):

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)162752104256402

得60分以上的頻率

發(fā)達(dá)地區(qū):

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得6（）分以上的人數(shù)172956111276440

得60分以上的頻率

⑴利用計算器計算兩地區(qū)參加測試的兒童中得60分以上的頻率;

（2）求兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率.

解（1）貧困地區(qū)：

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)162752104256402

得60分以上的頻率().5330.5400.5200.5200.5120.503

發(fā)達(dá)地區(qū):

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)172956111276440

得6（）分以上的頻率0.5670.5800.5600.5550.5520.550

（2）隨著測試人數(shù)增加，貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)得60分以上的頻率逐漸趨于（）.5和

0.55,故概率分別為0.5和0.55.

課堂小結(jié)

1.辨析隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件，在給定的條件下判

斷是一定發(fā)生（必然事件），還是不一定發(fā)生（隨機(jī)事件），還是一定不發(fā)生（不可能

事件）.

2.隨機(jī)事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗的情

況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算

事件發(fā)生的頻率去估算概率.

3.寫試驗結(jié)果時，要按順序?qū)懀貏e要注意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依

次”“順序”“放回”“不放回”等.

|課后作業(yè)強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏周提升

基礎(chǔ)過關(guān)

1.下列事件中，是隨機(jī)事件的有（）

①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛；

②若。為整數(shù)，則。+1為整數(shù)；

③發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)；

④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品.

A.1個B2個

C.3個D.4個

解析當(dāng)。為整數(shù)時，。+1一定為整數(shù)，是必然事件，其余3個均為隨機(jī)尋件.

答案C

2.下列事件中，不可能事件為（）

A.三角形內(nèi)角和為180。

B.三角形中大邊對大角，大角對大邊

C.銳角三角形中兩個內(nèi)角和小于90。

D.三角形中任意兩邊的和大于第三邊

解析若兩內(nèi)角的和小于90。，則第三個內(nèi)角必大于90。，故不是銳角三角形，

二.C為不可能事件，而A,B,D均為必然事件.

答案C

3.下列說法正確的是（）

A.一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是看

B.一個同學(xué)做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上

C.某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了1Q0元錢買彩票，一定會有47元

的回報

D.大量試驗后，可以用頻率近似估計概率

解析注意頻率與概率的區(qū)別及正確理解概率的含義是解題的關(guān)鍵.A的結(jié)果是

頻率，不是概率；B,C都沒有正確理解概率的含義，D正確.

答案D

4.已知隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件4出現(xiàn)了10次，那么大約進(jìn)行了

________次試驗.

解析設(shè)進(jìn)行了〃次試驗，則有手=0.02,得〃=500,故進(jìn)行了500次試驗.

答案500

5.某人撿到不規(guī)則形狀的五面體石塊，他在每個面上用數(shù)字1?5進(jìn)行了標(biāo)記，

投擲10（）次，記錄下落在桌面上的數(shù)字，得到如下頻數(shù)表：

落在桌面的數(shù)字12345

頻數(shù)3218151322

則落在桌面的數(shù)字不小于4的頻率為.

25

解析落在桌面的數(shù)字不小于4,即4,5的頻數(shù)共13+22=35.所以頻率為標(biāo)=

0.35.

答案（）.35

6.一個袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球.從中先后取出2個球，共有

多少種不同的結(jié)果？

解方法一從袋中先后取出2個球，如記（紅，白）表示從袋中先取出紅球，再

取出白球，則所有的結(jié)果為：

紅白黑

紅（紅，白）（紅，黃）（紅，黑）

一

白（白，紅）（白，黃）（白，黑）

黃（黃，紅）（黃，白）（黃，黑）

黑（黑，紅）（黑，白）（黑，黃）

共有12種不同的結(jié)果.

方法二如圖.

共有12種不同的結(jié)果.

7.某水產(chǎn)試驗廠實行某種魚的人工孵化，1000()個魚卵能孵出8513尾魚苗，根

據(jù)概率的統(tǒng)計定義解答下列問題：

(1)求這種魚卵的孵化概率(孵化率)；

(2)30000個魚卵大約能孵化多少尾魚苗？

(3)要孵化5000尾魚苗，大概得備多少個魚卵？

解(1)這種魚卵的孵化頻率為Q品C1Q5=。8513,它為近似的孵化概率.

85]3

(2)設(shè)能孵化工個，則而x加=正;疝，，x=25539,

即30000個魚卵大約能孵化25539尾魚苗.

⑶設(shè)需要備)，個魚卵，則罟=含得，

???)，"5873,即大概得準(zhǔn)備5873個魚卵.

能力提升

8.從一批電視機(jī)中隨機(jī)抽出10臺進(jìn)行檢驗，其中有.1臺次品，則關(guān)于這批電視

機(jī)，下列說法正確的是()

A.次品率小于10%B.次品率大于10%

C.次品率等于10%D.次品率接近10%

解析抽出的樣本中次品的頻率為需，即10%,圻以樣本中次品率大約為10%,

所以總體中次品率大約為10%.

答案D

9.在擲一枚硬幣的試驗中，共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49，則“正

面朝下”的次數(shù)為()

A.0.49B.49

C.0.51D.51

解析由題意知“正面朝上”的次數(shù)為0.49X100=49,故“正面朝下”的次數(shù)

為100—49=51.故選D.

答案D

10.從一堆蘋果中任取了20個，并得到它們的質(zhì)量（單位：克）數(shù)據(jù)分布如下表:

[90，[100，[110，[120，[130，[140，

分組

100)110)120)130)140)150]

頻數(shù)1231031

則這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的%.

解析計算出樣本中質(zhì)量不小于120克的蘋果的頻率，來估計這堆蘋果中質(zhì)量不

小于120克的蘋果所占的比例，實質(zhì)上也是用頻率估算概率.由題意知吟言=

0.7=70%.

答案70

11.容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖計

算樣本數(shù)據(jù)落在［6/0）內(nèi)的頻數(shù)為，估計數(shù)據(jù)落在［2,10）內(nèi)的概率約為

解析數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的頻數(shù)為200X0.08X4=64,數(shù)據(jù)落在［2,10）內(nèi)的頻率

為（0.02+0.08）X4=0.4,由頻率估計概率知，所求概率約為0.4.

答案640.4

12.做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗，用（1，），）表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)

的點數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點數(shù).寫出：

（1）這個試驗的所有結(jié)果；

⑵這個試驗的結(jié)果的個數(shù)；

（3）事件”出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”的所有結(jié)果；

（4）事件”出現(xiàn)的點數(shù)相同”的所有結(jié)果.

解（I）這個試驗的所有結(jié)果為

(1,1)，(1,2),(1,3),(1.4),(L5),(16),

(2,1),(2,2),(2,3),(24),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3.4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4.4),(4,