2026屆高二下期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷滿(mǎn)分150分,考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足,則等于A． B． C． D．2．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若,,則A．7 B．8 C．9 D．103．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最小值為A． B．e C． D．4．現(xiàn)有3名同學(xué)站成一排,再將甲、乙2名同學(xué)加入排列,保持原來(lái)3名同學(xué)順序不變,不同的方法共有A．12種 B．20種 C．6種 D．8種5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且,則A． B． C． D．6．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．7．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．8．記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值不可能為A．96 B．98 C．100 D．102二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分．9．已知無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則A．在數(shù)列中,最大 B．在數(shù)列中,最大C． D．當(dāng)時(shí),10．下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù),則A．當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí),是的極大值點(diǎn)C．存在,使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在,使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分．12．若,則________．13．記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則________．14．在風(fēng)水學(xué)中,單數(shù)被視為陽(yáng)數(shù),象征著積極向上和吉祥,而雙數(shù)被視為陰數(shù),寓意不佳．在實(shí)際應(yīng)用中,家庭中常見(jiàn)的樓梯臺(tái)數(shù)通常是9級(jí),而公共建筑中則多為11級(jí)．今李白在教學(xué)樓一二樓之間的樓梯（共11個(gè)臺(tái)階）上行走,他每次邁步有兩種方式：每步登上1個(gè)臺(tái)階或2個(gè)臺(tái)階．那么李白從樓梯底部登上第11個(gè)臺(tái)階的邁步方法有______種．四、解答題：本題共5小題,共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（15分）記,其中,數(shù)列滿(mǎn)足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列,并求;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中為常數(shù),且．（1）求的值,并求；（2）,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；（2）若,求的值；（3）設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù),,求的最小值．19．（17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求整數(shù)的最大值．

2026屆高二下期期末考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：（每小題5分,共40分）1．B; 2．A; 3．C; 4．B; 5．C; 6．C; 7．A; 8．D．二、選擇題：（每小題6分,共18分）9．AD; 10．ACD; 11．AD．三、填空題：（每小題5分,共15分）12．3或8; 13．; 14．144．1．解：因?yàn)?解得.2．解：∵為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,,∴,,成等比數(shù)列∴,,∴,∴.3．解：依題可知,在上恒成立,顯然,所以,設(shè),所以,所以在上單調(diào)遞增,,故,即,即的最小值為．4．解：原來(lái)名同學(xué)站成一排,有個(gè)空位可以插入甲同學(xué),所以甲同學(xué)有種不同的排法.當(dāng)甲同學(xué)插入后,此時(shí)包括原來(lái)名同學(xué)和甲同學(xué)一共有個(gè)人,這個(gè)人形成了個(gè)空位,所以乙同學(xué)有種不同的排法.故完成將甲、乙名同學(xué)加入排列這件事,分兩步：第一步甲同學(xué)有種排法,第二步乙同學(xué)有種排法,那么根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的方法共有（種）.5．解：數(shù)列中,由,得,整理得,則,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,于是,即,而滿(mǎn)足上式,因此,,,ABD錯(cuò)誤,C正確.6．解：,在上單調(diào)遞增.令,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以為奇函數(shù),則化為所以,解得,.7．解：函數(shù)與的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),所以,即有兩解,則有兩解,令,則,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；所以在處取得極小值,所以,所以,的取值范圍為.8．解：當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,則,即,所以,時(shí)取等,故D錯(cuò)誤；若,,且,,,此時(shí)；若,,且,,,此時(shí).9．解：由題知,無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,所以,所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列,所以在數(shù)列中,最大；當(dāng)時(shí),.10．解：,A正確；,B錯(cuò)誤；,C正確；,D正確.11．解：A選項(xiàng),,由于,故時(shí),故在上單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減,則在處取到極大值,在處取到極小值,由,,則,根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn),又,,則,則在上各有一個(gè)零點(diǎn),于是時(shí),有三個(gè)零點(diǎn),A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng),,時(shí),,單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,此時(shí)在處取到極小值,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng),假設(shè)存在這樣的,使得為的對(duì)稱(chēng)軸,即存在這樣的使得,即,等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為,于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在這樣的,使得為的對(duì)稱(chēng)軸,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng),方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn),若存在這樣的,使得為的對(duì)稱(chēng)中心,則,事實(shí)上,,于是,即,解得,即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心,D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心,對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),,,由,于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,由題意也是對(duì)稱(chēng)中心,故,即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心,D選項(xiàng)正確.12．解：因?yàn)?所以或,解得或,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.13．解：根據(jù),可得,兩式相減得,即,當(dāng)時(shí),,解得,所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以,故答案是.14．解：按李白的邁步方式,記從樓梯底部登上第個(gè)臺(tái)階的邁步方法數(shù)為,顯然,,當(dāng)時(shí),要登上第個(gè)臺(tái)階,可以分兩類(lèi)：第一類(lèi),從第個(gè)臺(tái)階一步邁上,有種；第二類(lèi),從第個(gè)臺(tái)階一步邁上,有種．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,．易得,,,,,,,,．四、解答題：（共77分）15．解：（1）,由題意得,解得.此時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以在時(shí)取得極大值.所以.（2）即求函數(shù)在區(qū)間上的值域.由（1）可知,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又因?yàn)?,,,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4,最小值為0.所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．解：（1）證明：因?yàn)?所以,則,所以,．因?yàn)?,所以,當(dāng)時(shí),,所以,,代入,得,兩邊同時(shí)除以并整理得,（）,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,所以,,即,所以,,即．（2）由（1）得,,所以,,所以,,即．17．解：（1）由已知,,,所以,則,所以,,（）,且也成立,所以．（2）由（1）可知,,則,則,,兩式作差得,,則,由知,數(shù)列為遞增數(shù)列,因,則,即,又,都有恒成立,則,則實(shí)數(shù)的最小值為.18．解：（1）當(dāng)時(shí),,,所以,所以切線的斜率為,又因?yàn)?所以曲線在處的切線方程為,即.（2）因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?與不符；當(dāng)時(shí),由得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以,所以,設(shè),則,由,可得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以有唯一解,且.（3）由（2）知當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)且時(shí),,則.取（）,所以,所以,,,所以.所以,所以,于是對(duì)于任意正整數(shù),,只需,又因?yàn)?所以,則的最小值為.19．解：（1）當(dāng)時(shí),則,可知的定義域?yàn)?且,令,解得；令,解得；可知的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是；所以函數(shù)的最小值為.（2）由題意可知的定義域?yàn)?且,當(dāng)時(shí),恒成立,所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí),令解得,令,解得；令,解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時(shí),的單