高二橢圓數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列四個選項中，不屬于橢圓定義的是（）

A.到兩定點的距離之和為常數的點的軌跡

B.到兩定點的距離之差為常數的點的軌跡

C.到兩定點的距離之積為常數的點的軌跡

D.到兩定點的距離之比為常數的點的軌跡

2.橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若橢圓的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$a$和$b$的關系是（）

A.$a^2=4b^2$

B.$a^2=3b^2$

C.$a^2=2b^2$

D.$a^2=b^2$

3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點坐標為$(\pmc,0)$，則$c$的取值范圍是（）

A.$0<c<a$

B.$0<c<b$

C.$c>a$

D.$c>b$

4.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的長軸長度為$2a$，短軸長度為$2b$，則$a$和$b$的關系是（）

A.$a^2=b^2$

B.$a^2=4b^2$

C.$a^2=2b^2$

D.$a^2=\frac{1}{2}b^2$

5.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e$與$a$和$b$的關系是（）

A.$e=\frac{a}{b}$

B.$e=\frac{b}{a}$

C.$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

D.$e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$

6.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點坐標為$(\pmc,0)$，則$c$的值是（）

A.$c=\sqrt{a^2-b^2}$

B.$c=\sqrt{b^2-a^2}$

C.$c=a-b$

D.$c=a+b$

7.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的長軸長度為$2a$，短軸長度為$2b$，則$a$和$b$的關系是（）

A.$a^2=b^2$

B.$a^2=4b^2$

C.$a^2=2b^2$

D.$a^2=\frac{1}{2}b^2$

8.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e$與$a$和$b$的關系是（）

A.$e=\frac{a}{b}$

B.$e=\frac{b}{a}$

C.$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

D.$e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$

9.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點坐標為$(\pmc,0)$，則$c$的值是（）

A.$c=\sqrt{a^2-b^2}$

B.$c=\sqrt{b^2-a^2}$

C.$c=a-b$

D.$c=a+b$

10.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的長軸長度為$2a$，短軸長度為$2b$，則$a$和$b$的關系是（）

A.$a^2=b^2$

B.$a^2=4b^2$

C.$a^2=2b^2$

D.$a^2=\frac{1}{2}b^2$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關于橢圓的性質，正確的有（）

A.橢圓的長軸是橢圓的最長弦

B.橢圓的短軸是橢圓的最短弦

C.橢圓的焦距是兩個焦點之間的距離

D.橢圓的離心率是$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸

E.橢圓的焦點位于長軸上

2.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的參數$a$和$b$分別表示（）

A.半長軸

B.半短軸

C.焦距

D.離心率

E.焦點到中心的距離

3.下列方程中，表示橢圓的有（）

A.$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

B.$x^2+\frac{y^2}{4}=1$

C.$x^2-y^2=1$

D.$x^2+y^2=1$

E.$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$

4.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的圖像特點包括（）

A.長軸與$x$軸平行

B.短軸與$y$軸平行

C.中心位于原點

D.焦點位于長軸上

E.離心率$e$的取值范圍是$0<e<1$

5.橢圓的幾何性質包括（）

A.到兩焦點距離之和為常數

B.到兩焦點距離之差為常數

C.頂點位于長軸上

D.頂點位于短軸上

E.離心率$e$的取值與橢圓的形狀有關

三、填空題（每題4分，共20分）

1.橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分別表示_________和_________。

2.橢圓的離心率$e$的定義是$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是_________，$a$是_________。

3.當橢圓的離心率$e$等于$1$時，橢圓退化為_________。

4.橢圓的焦距$c$與半長軸$a$和半短軸$b$的關系是$c^2=a^2-b^2$，當$a>b$時，橢圓的焦點位于_________。

5.橢圓的頂點坐標可以通過將橢圓方程中的$x$或$y$替換為$0$或$\pma$來求得，例如，橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的頂點坐標是_________、_________、_________和_________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的半長軸$a$、半短軸$b$、焦距$c$和離心率$e$。

2.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的一個焦點坐標為$(3,0)$，求另一個焦點坐標。

3.求橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的長軸和短軸的長度。

4.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{1}{3}$，且$b^2=4$，求橢圓的方程。

5.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一個頂點坐標為$(0,-2)$，另一個頂點坐標為$(0,2)$，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，求橢圓的方程。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.B。橢圓的定義是到兩定點的距離之差為常數的點的軌跡。

2.C。離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$e=\frac{c}{a}$可知$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$c^2=a^2-b^2$得$a^2=2b^2$。

3.A。橢圓的焦點坐標為$(\pmc,0)$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸，所以$0<c<a$。

4.A。橢圓的長軸是橢圓的最長弦，短軸是橢圓的最短弦。

5.C。離心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸。

6.A。橢圓的焦點坐標為$(\pmc,0)$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸，所以$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

7.A。橢圓的長軸是橢圓的最長弦，短軸是橢圓的最短弦。

8.C。離心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸。

9.A。橢圓的焦點坐標為$(\pmc,0)$，其中$c$是焦距，$a$是半長軸，所以$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

10.A。橢圓的長軸是橢圓的最長弦，短軸是橢圓的最短弦。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.A、B、C、D、E。這些都是橢圓的基本性質。

2.A、B。$a$和$b$分別是橢圓的半長軸和半短軸。

3.A、B、E。這些方程都符合橢圓的定義。

4.A、B、C、D、E。這些都是橢圓的幾何性質。

5.A、B、C、E。這些是橢圓的幾何性質。

三、填空題答案及知識點詳解

1.半長軸、半短軸。

2.焦距、半長軸。

3.線段。

4.長軸上。

5.(0,-2)、(0,2)、(4,0)、(-4,0)。

四、計算題答案及知識點詳解

1.$a=4$，$b=3$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

2.由于橢圓的焦點關于中心對稱，另一個焦點坐標為$(-3,0)$。

3.長軸長度為$2a=2\times5=10$，短軸長度為$2b=2\times3=6$。

4.由$e=\frac{1}{3}$和$b^2=4$，得$c^2=a^2-b^2=\frac{a^2}{9}$，解得$a^2=13$，所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$。

5.由$e=\frac{1}{2}$和$b=2$，得$c^2=a^2-b^2=\frac{a^2}{4}$，解得$a^2=8$，所以橢