第十三章三角形13.3三角形的內角與外角13.3.1三角形的內角課時1三角形的內角和目錄1.學習目標4.知識點1 三角形的內角和6.課堂小結3.新課導入5.知識點2 三角形內角和定理的應用7.當堂小練CONTENTS2.知識回顧8.對接中考9.拓展與延伸1.學習和掌握三角形的內角和定理.2.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°，會將文字語言、符號語言相互轉化，發展幾何直觀.3.會運用三角形內角和定理進行角度的相關計算和證明，提高運算能力和推理能力.學習目標知識回顧三角形中線連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點的線段.角平分線高一個內角的平分線與這個角所對的邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段.從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段.新課導入小學的時候我們通過測量或者剪拼已經驗證過三角形的內角和等于180°，現在怎么通過推理去驗證這個結論呢？請大家在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起，得到一個平角.在這個操作中，你能發現證明的思路嗎？新課講解知識點1三角形的內角和（1）度量法.

在小學，我們是怎樣得到三角形內角和是180°？48072060060°＋48°＋72°＝180°（2）剪拼法.ABC新課講解通過度量或剪拼，我們已經知道三角形的內角和等于180°，這樣的方法獲得的結論可靠嗎？由于測量常常有誤差，這樣驗證三角形的內角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數個，我們不可能用上述方法一一驗證所有三角形的內角和等于180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個三角形的內角和等于180°.新課講解探究如圖，∠B，∠C分別拼湊在∠A的左右兩側，三個角合起來形成一個平角，出現一條過點A的直線l.想一想，直線l與△ABC的邊BC有什么關系？由這個圖，你能想出證明“三角形的內角和等于180°”的方法嗎？從位置關系和角度的大小關系可以看出，直線l與邊BC是平行關系.新課講解已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：過點A作直線l，使得l//BC.∵l//BC∴∠2=∠4.(兩直線平行，內錯角相等)同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義），∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.45231新課講解證明：延長BC到點D，過點C作CE//BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內錯角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.CBAED12已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.

新課講解1.三角形的內角和定理揭示了三角形三個內角之間的數量關系.2.三角形的三個內角中最多只有一個鈍角或一個直角，或者說至少有兩個銳角.3.三角形中最大的內角不小于60°.4.三角形內角和定理的證明主要是運用平行線的性質，將三個內角“轉移”集中成一個角或兩個角，再證明這個角或這兩個角的和是180°.5.為了幫助解答幾何圖形問題，在原圖基礎之上另外所作的具有較大價值的直線或線段被稱為輔助線.總結新課講解例1.如圖，在△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC交AC于點D，求∠BDC的度數.方法點撥：先求出∠ABC的度數，再由角平分線的定義求出∠CBD的度數，最后求出∠BDC

的度數.

新課講解例

總結新課講解練一練1.如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=45°，從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴∠ACD=60°.∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，∴∠BCD=45°.∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.┐ABDC新課講解練一練

B

新課講解三角形內角和定理的證明思路證明思路圖形利用“兩直線平行，內錯角相等”，將△ABC

的三個內角轉化為一個平角利用“兩直線平行，內錯角及同位角相等”，將△ABC

的三個內角轉化為一個平角利用“兩直線平行，內錯角相等”，將△ABC的三個內角轉化為兩平行線間的一組同旁內角新課講解知識點2三角形內角和定理的應用例

分析：A，B，C三島的連線構成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.50°40°30°解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.新課講解例

50°40°30°F方法二：如圖所示，過點C作CF∥BE，則CF∥AD.所以∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.因為∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，所以在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.新課講解例

A

新課講解練一練

新課講解

40°練一練課堂小結三角形的內角和定理三角形的內角和等于180°當堂小練

A當堂小練

當堂小練3.如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E，則∠BDE的度數是()A.30°B.40°C.50°D.60°B80°40°40°當堂小練4.如圖，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度數.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°.∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°=140°，∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°.CBAED當堂小練5.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-∠CED-∠C=180°-78°-60°=42°．ABDEC當堂小練6.如圖，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，求∠BAC的度數.

對接中考

D

拓展與延伸

如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數.分析：利用三角形內角和定理，將已知的角度與未知角之間聯系起來.利用等量代換將相等的角進行替換.ACBD1234解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠3=