專題13二次函數(shù)與實際問題（6大類型精準練+過關(guān)檢測）內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點一、二次函數(shù)的實際應用1.利用二次函數(shù)解實際問題的步驟(1)閱讀并理解題意；(2)找出問題中的變量與常量，并分析它們之間的關(guān)系，若有圖形，則要注意結(jié)合圖形進行分析；(3)設適當?shù)奈粗獢?shù)，用二次函數(shù)表示出變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；(4)根據(jù)題目中的條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解；(5)檢驗結(jié)果的合理性，必要時進行合理的取舍，2.二次函數(shù)的應用的常見類型（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【課前熱身】A．最大值為5萬元 B．最大值為7萬元C．最小值為5萬元 D．最大值為6萬元【答案】B故選：B．【答案】D故選：D．3．（2425九年級上·山東日照·階段練習）如圖，是拋物線形拱橋的剖面圖，拱頂離水面，水面寬．水位上升1米，則水面寬度變?yōu)椋?/p>

）【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的應用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意構(gòu)建平面直角坐標系，然后求出拋物線的解析式，進而求解即可．【詳解】解：由題意可得如圖所示平面直角坐標系：故選：B．A． B． C．8 D．【答案】C故選：C．5．（2425九年級上·全國·期中）某商品售價為每件60元，每周可賣出300件，為提高利潤，商家決定漲價銷售，經(jīng)過一段時間發(fā)現(xiàn)，每漲價5元，每周少賣50件，已知商品的進價為每件40元，當售價定為多少時利潤最大？求最大利潤．【答案】售價定為65元時利潤最大，最大利潤為6250元答：當售價定為65元時利潤最大，最大利潤為6250元．(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少?(2)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大?最大高度是多少?【答案】(1)4s；(2)小球飛行2秒時高度最大，最大高度是20m．（2）將函數(shù)解析式配方成頂點式可得最值；答：在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是4s．答：在飛行過程中，小球飛行2秒時高度最大，最大高度是20m．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，主要考查了二次函數(shù)的最值問題，以及利用二次函數(shù)圖象求不等式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(1)噴頭離地面的高度是多少？(2)水流噴出的最大高度是多少？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少，才能使噴出的水流不落在池外？【答案】(1)(2)【分析】（1）噴頭離地面的高度是二次函數(shù)與的交點，由此即可求解；（2）水流噴出的最大高度是二次函數(shù)的頂點坐標的縱坐標，由此即可求解；∴噴頭離地面的高度是米．∴水流噴出的最大高度是米．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)一實際問題的綜合應用，掌握二次函數(shù)圖像的特點是解題的關(guān)鍵．【類型1】二次函數(shù)的應用：投球問題②鉛球飛行至水平距離4米時，到達最大高度，最大高度為；③鉛球落地時的水平距離為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以分別計算出各個小題中的結(jié)論是否正確即可．∴這名男生鉛球推出的水平距離為，故③正確，符合題意；∴鉛球飛行至水平距離4米時，到達最大高度，最大高度為，故②正確，符合題意；故①錯誤，不符合題意；故選：C．【答案】又∵運動員出手點距離最高點的水平距離為，故答案為：．(1)求該拋物線的解析式；(2)試通過計算說明該石塊能否飛越防御墻．(2)能，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)值求函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．（2）解：石塊能飛越防御墻．理由如下：點與點的垂直距離也為．該石塊能飛越防御墻．(1)求沙包飛行軌跡拋物線的解析式（無需寫出自變量的取值范圍）；(2)為了擊中目標，應將布幔向前或后移動多少米？(2)前移動【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．應將布幔向前移動．(2)小剛在小明的右邊且與小明的距離在米之內(nèi)能在空中截住球【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，建立合適的平面直角坐標系是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；∴小剛在小明的右邊且與小明的距離在米之內(nèi)能在空中截住球．【類型2】二次函數(shù)的應用：銷售問題6．（2425九年級上·青海西寧·期中）某商家代銷一種產(chǎn)品，銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當每件產(chǎn)品下降1元時，日銷售量增加2件．已知每售出1件產(chǎn)品，該商家需支付廠家和其他費用共50元，設每件產(chǎn)品售價為（元），商家每天的利潤為（元），則與之間的函數(shù)解析式為（

）【答案】D∵每售出1件產(chǎn)品，該商家需支付廠家和其他費用共50元，故選：D．7．（2025·廣西南寧·一模）某專業(yè)戶計劃投資種植茶樹及果樹，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植茶樹的利潤（萬元）與投資量（萬元）成正比例關(guān)系，如圖所示：種植果樹的利潤（萬元）與投資量（萬元）成二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示如果這位專業(yè)戶投入種植茶樹及果樹資金共萬元，則他能獲取的最大總利潤是（

）A． B． C． D．【答案】D能獲取的最大總利潤是萬元，故選：D．(1)當每天的銷售量為件時，求銷售這種服裝的毛利潤；(2)如果商場銷售這種服裝想獲得最大利潤，那么每件服裝的銷售價應如何定價？并求出最大毛利潤．【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)的自變量的值，二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（2）設銷售利潤為，根據(jù)題意，列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可．9．（2425九年級下·遼寧鐵嶺·期中）某景區(qū)購進、兩種紀念品共300件，購進種紀念品的數(shù)量不少于50件，且不超過150件．①購進4件種紀念品和2件種紀念品需花費36元；購進2件種紀念品和3件種紀念品需花費22元．②種紀念品在購進50件的基礎(chǔ)上，每多購進5件，種紀念品的進貨價每個降低0.1元．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)：，兩種紀念品的總售價為元，購進種紀念品的件數(shù)為件，與之間存在一次函數(shù)的關(guān)系，如表：種件數(shù)02050100200總售價15001600175020002500(1)求與的函數(shù)關(guān)系；(2)設銷售，兩種商品所獲利總利潤為元，該景區(qū)將300件紀念品全部銷售后，總利潤能否達到1050元？如果能，請給出進貨方案；如果不能，請說明理由．(2)總利潤能達到1050元，購進A，B兩種紀念品各150件【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用、二次函數(shù)的應用，找到等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組解出A商品的進貨單價為8元，B商品的進貨單價為2元，求出總利潤為元，即可求解．（2）解：能達到，方案如下：設A商品的進貨單價為元，B商品的進貨單價為元，購進A，B兩種紀念品各150件，總利潤能達到1050元．10．（2025·黑龍江大慶·二模）某公司根據(jù)往年市場行情得知，某種商品從5月1日起的300天內(nèi)，該商品每件市場售價y（元）與上市時間t（天）的關(guān)系用圖1的折線表示；每件商品的成本Q（元）與時間t（天）的關(guān)系用圖2的一部分拋物線表示．(1)每件商品在第50天出售時的利潤是______元；(2)求圖1表示的商品售價y（元）與時間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若該公司從銷售第1天至第200天預計每天可以售出此種商品2000件，請你計算第1天至第200天該公司哪一天利潤最高，最高是多少元？【答案】(1)100(3)從開始銷售的第50天出售此種商品可獲得最大利潤20萬元【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的應用．故答案為：100；答：從5月1日開始的第50天出售此種商品可獲得最大利潤20萬元．【類型3】二次函數(shù)的應用：面積問題【答案】C故選：C．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列式．(1)設儲料場面積為，的長為，則的長為______，的長為______m，與的函數(shù)關(guān)系式______．(2)當取何值時，才能使儲料場的面積最大？【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是：（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．∵拋物線開口向下14．（2025·湖北宜昌·一模）九年級數(shù)學興趣小組在課余時間里，利用一面學校的墻(墻的最大可用長度為15米)，現(xiàn)用長為34米柵欄（安裝過程中不重疊、無損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設計了兩個寬1米的小門，供同學們進行勞動實踐．設矩形菜地垂直于墻的柵欄邊AB長為x米，面積為S平方米．(1)直接寫出S與x間的函數(shù)解析式（不要求寫x的取值范圍）；(2)圍成的菜地面積能達到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．(3)當x的值是多少時，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（3）解：∵墻的最大可用長度為15米，【類型4】二次函數(shù)的應用：拱橋問題15．（2425九年級上·廣東廣州·期中）如圖，是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬．若水面再上升，則水面的寬度是多少？（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過，縱軸y通過中點O且通過C點，當水面上升，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：故選：C．16．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即的長）為米．【答案】40【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用．以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得內(nèi)側(cè)拋物線的解析式，則可知點、的橫坐標，從而可得的長．【詳解】解：以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系：故答案為：40．17．（2425九年級上·陜西渭南·期中）如圖的一座拱橋，當水面寬為時，橋洞頂部離水面，已知橋洞的拱形是拋物線的一部分，以點A為坐標原點建立平面直角坐標系．(1)求拋物線的解析式；(2)若有一艘船準備從橋下穿過，船艙頂部為矩形，船比水面高出，當船的寬度小于多少米時，船能安全穿過橋洞．（船艙頂部矩形的寬所在的邊始終與平行）(2)6米【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；(1)求a的值和拋物線的對稱軸；(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，正確求出對應的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．即自動檢票通道的總寬度為．【類型5】二次函數(shù)的應用：噴水問題

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，水噴出的最遠水平距離即為拋物線與x軸兩個交點的橫坐標的差的絕對值，據(jù)此求解即可．故選：A．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：選圖中第一象限的拋物線，故選：．(1)求水流所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)為了給公園增添藝術(shù)氛圍，園林部門計劃在水流下方放置一些雕塑．①若雕塑的高度為，求與噴灌嘴的水平距離在多大范圍內(nèi)時，雕塑不會被水流直接噴到；【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．不會被水流直接噴到．(1)求水柱所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)出于安全考慮，在河道的壩邊處豎直向上安裝護欄，若護欄高度為1.2米，判斷水柱是否會噴射到護欄上，并說明理由．(2)不會噴射到護欄上，見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵；該拋物線經(jīng)過原點，（2）水柱不會噴射到護欄上理由如下：水柱不會噴射到護欄上【類型6】二次函數(shù)的應用：動點問題其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意和三角形的面積列出函數(shù)關(guān)系進而判斷①②，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷③故選：C．∵是上一點，【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，含直角三角形三邊關(guān)系，勾股定理，利用三角形面積公式列函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．(2)3秒【分析】本題考查的是一元二次方程的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用三角形的面積公式求解即可；【答案】(1)1(2)2或1.5【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理：（2）根據(jù)三角形的面積公式可得到關(guān)于t的方程，即可求解；一、單選題A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，求出為何值時取最大值即可求解．即飛機著陸后滑行20秒才能停下來．故選：C．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以分別計算出各個小題中的結(jié)論是否正確．∴這名男生鉛球推出的水平距離為，故①正確，符合題意；∴鉛球到達最高點時的高度為，故②錯誤，不符合題意；故③錯誤，不符合題意；故選：B．【答案】D∴籃圈中心到地面的距離為3.05米．故選：D．A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米【答案】D∵墻最大可用長度為米故選：D．A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)．根據(jù)題意分別求出y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系式，然后判定作答即可．∴y是t的一次函數(shù)，S是t的二次函數(shù)，故選：D．6．（2025·河南周口·一模）如圖，一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在位置l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬為．②若水面由位置l下降，水面寬度為；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是建立二次函數(shù)關(guān)系式；因此此題可根據(jù)題意得出二次函數(shù)關(guān)系式，進而問題可求解．綜上所述：正確的個數(shù)有①③兩個；故選B．7．（2025·天津濱海新·三模）某商店銷售一種進價為40元/千克的海鮮產(chǎn)品，據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，月銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分信息如下表：售價x（元/千克）50607080…銷售量y（千克）250240230220…②當售價為72元時，月銷售利潤為7296元；③當每月購進這種海鮮的總進價不超過5000元時，最大利潤可達到16900元；④銷售這種海鮮產(chǎn)品，每月最高可獲得利潤16900元；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C設月銷售利潤為元，∴正確的有3個，故選：C。B．水平方向上的長度為【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．故選：D．二、填空題【答案】6．故答案為：6．【答案】故答案為：15．【答案】20故答案為：．【答案】52本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值，最大利潤問題，熟練掌握一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，且距離對稱軸遠的函數(shù)值越小，故答案為：52．三、解答題(1)請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當x為多少時，矩形的面積最大？最大為多少？【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，解不等式組，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．∵墻的長度不超過44，∴函數(shù)的開口向下，故在對稱軸處取得最大值，(1)求拋物線的解析式：(3)能【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（2）照明燈M，N的水平距離為10m，且位于同一高度，點M的橫坐標為，點N的