專題01特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬、遛馬、造橋模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過(guò)橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型拓展 5模型運(yùn)用 6模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） 6模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） 9模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型） 11模型4.將軍遛馬、造橋（過(guò)橋）模型 14 21“將軍飲馬”一詞具有雙重歷史來(lái)源：一是源自真實(shí)歷史事件的典故，二是數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的命名來(lái)源。傳說(shuō)古羅馬將軍向數(shù)學(xué)家海倫（Heron）提出一個(gè)幾何問(wèn)題：從軍營(yíng)A出發(fā)，到河邊飲馬后再去軍營(yíng)B，如何規(guī)劃最短路徑？海倫通過(guò)軸對(duì)稱原理給出了解決方案。因問(wèn)題場(chǎng)景與“將軍河邊飲馬”的意象相似，后人借用了霍去病的歷史典故命名此數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)代教育中作為“最短路徑問(wèn)題”的經(jīng)典案例，廣泛用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。【答案】1）將軍飲馬模型條件：如圖（1）（2），A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值。模型（1）：點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）：點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長(zhǎng)度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長(zhǎng)度。條件：如圖（3）（4），A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|APBP|的最大值。模型（3）：點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：模型（4）：點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：圖（3）圖（4）模型（3）：如圖（3），延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’AP’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PAPB|=AB，故|PAPB|≤AB，即|APBP|的最大值即為：線段AB的長(zhǎng)度。模型（4）：如圖（4），作點(diǎn)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PB’。當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’AP’B|=|P’AP’B’|＜AB’，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PAPB|=|PAPB’|=AB’，故|PAPB|≤AB’，即|APBP|的最大值即為：線段AB’的長(zhǎng)度。條件：如圖（5）（6）（7），A，B為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。模型（5）兩個(gè)點(diǎn)在直線外側(cè)；模型（6）內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)；模型（7）兩個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)圖（5）圖（6）圖（7）圖（8）模型（5）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）如圖（5），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長(zhǎng)度。模型（6）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）如圖（6），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長(zhǎng)度。模型（7）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（7），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長(zhǎng)度。條件：如圖（8）A為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使三角形APQ的周長(zhǎng)（AP+PQ+QA）最小。模型（8）：如圖（8），作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對(duì)稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長(zhǎng)度。2）將軍遛馬與過(guò)橋模型模型（1）：將軍遛馬模型：已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定，在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)（圖1）；點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)（圖2）；圖1圖2圖3將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖11，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖12，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，根據(jù)對(duì)稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。模型（2）：將軍造橋（過(guò)橋）模型已知，如圖2，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。將軍造橋（過(guò)橋）模型：如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，∵M(jìn)N為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）【答案】6【答案】B∴動(dòng)點(diǎn)在與平行且與距離是3的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，∴則的長(zhǎng)就是所求的最短距離，【答案】

【答案】【詳解】解∶作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，如下圖：

則得長(zhǎng)度即為所求．由題可知會(huì)落在上，、是邊的三等分點(diǎn)，模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）【答案】

【答案】【詳解】解：如圖，以為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，模型4.將軍遛馬、造橋（過(guò)橋）模型【答案】CA．1 B． C． D．2【答案】C【答案】

【答案】

例7（2324八年級(jí)下·廣東深圳·期末）【綜合實(shí)踐活動(dòng)】【問(wèn)題背景】如圖，，表示兩個(gè)村莊，要在，一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)抽水站，使得它到兩個(gè)村莊的距離和最短，抽水站應(yīng)該修建在什么位置？【數(shù)學(xué)建模】小坤發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題可以用軸對(duì)稱知識(shí)解決，他先將實(shí)際問(wèn)題抽象成如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：畫(huà)圖：如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的位置即為所求．證明：和關(guān)于直線對(duì)稱直線垂直平分【詳解】，①，；解：【問(wèn)題拓展】橋修建在如圖所示的位置才能使得到的路線最短；A． B．2 C．4 D．8【答案】A【詳解】解：如圖，連接，，，2．（2024·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【答案】A【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．，4．（2425·福建廈門(mén)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接GF，

交AC于點(diǎn)P，由對(duì)稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長(zhǎng)即為PB+PQ的最小值，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】DA．6 B．3 C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接、．

【答案】8

【答案】18【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，并延長(zhǎng)交于，【答案】【詳解】解：如圖，過(guò)D作的平行線，過(guò)A作的平行線，