高中數列遞增題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=2n+1\)，該數列是（）A.遞減數列B.遞增數列C.常數列D.擺動數列2.已知數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=n^2-5n\)，則\(a_3\)的值為（）A.-6B.-4C.-2D.03.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=3\)，\(a_1=1\)，則\(a_5\)為（）A.10B.11C.12D.134.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=\frac{n}{n+1}\)，則\(a_{n+1}\)是（）A.\(\frac{n+1}{n+2}\)B.\(\frac{n}{n+2}\)C.\(\frac{n+1}{n+1}\)D.\(\frac{n+2}{n+1}\)5.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=3^n\)，則\(a_2\)與\(a_1\)的比值為（）A.3B.6C.9D.126.若數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，\(a_1=2\)，則\(a_4\)等于（）A.16B.8C.4D.27.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=-n^2+6n\)，則\(a_n\)的最大值是（）A.9B.8C.7D.68.已知數列\(\{a_n\}\)，\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a_2\)的值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{6}\)C.\(\frac{1}{12}\)D.\(\frac{1}{20}\)9.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_{n+1}=a_n+2\)且\(a_1=1\)，那么\(a_6\)是（）A.11B.10C.9D.810.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=\log_2(n+1)\)，則\(a_3\)為（）A.1B.2C.3D.4二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下數列中是遞增數列的有（）A.\(a_n=3n\)B.\(a_n=-2n+1\)C.\(a_n=n^2\)D.\(a_n=(\frac{1}{2})^n\)2.對于數列\(\{a_n\}\)，若\(a_{n+1}-a_n>0\)恒成立，則（）A.數列\(\{a_n\}\)單調遞增B.數列\(\{a_n\}\)可能有最大值C.數列\(\{a_n\}\)無最大值D.\(a_{n+1}>a_n\)3.已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_n=n^2-3n\)，則（）A.\(a_1=-2\)B.\(a_2=-2\)C.\(a_3=0\)D.\(a_4=4\)4.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=2^n+1\)，以下說法正確的是（）A.數列是遞增數列B.\(a_1=3\)C.\(a_{n+1}=2^{n+1}+1\)D.\(a_2=5\)5.下列通項公式表示遞增數列的是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=-n^2\)C.\(a_n=2^n\)D.\(a_n=\frac{n}{n+1}\)6.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=a_n+n\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=7\)D.\(a_5=11\)7.若數列\(\{a_n\}\)遞增且\(a_n=an^2+bn+c\)，則（）A.\(a>0\)B.\(a=0\)時，\(b>0\)C.\(a<0\)不可能D.\(a\)可以任意取值8.數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=\sin\frac{n\pi}{2}\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=0\)C.\(a_3=-1\)D.\(a_4=0\)9.已知數列\(\{a_n\}\)，\(a_n=\frac{n-1}{n}\)，則（）A.\(a_1=0\)B.\(a_2=\frac{1}{2}\)C.數列遞增D.\(a_{n+1}=\frac{n}{n+1}\)10.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=3a_n\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=3\)B.\(a_3=9\)C.數列是遞增數列D.\(a_n=3^{n-1}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_{n+1}\geqa_n\)，則數列\(\{a_n\}\)是遞增數列。（）2.數列\(a_n=5\)是遞增數列。（）3.通項公式\(a_n=-n\)的數列是遞減數列。（）4.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=-1\)，則數列遞減。（）5.若數列\(\{a_n\}\)遞增，則\(a_{n+1}-a_n>0\)。（）6.數列\(a_n=n^2-2n\)在\(n\geq2\)時遞增。（）7.數列\(\{a_n\}\)中\(a_n=\frac{1}{n}\)是遞增數列。（）8.通項公式\(a_n=3^n\)的數列遞增速度比\(a_n=2^n\)快。（）9.數列\(a_n=n+\frac{1}{n}\)是遞增數列。（）10.若數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=a_n\)，則數列是常數列。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=2n-3\)，判斷該數列是否遞增，并說明理由。答案：遞增。因為\(a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-3]-(2n-3)=2>0\)，所以\(a_{n+1}>a_n\)，數列遞增。2.數列\(\{a_n\}\)中\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：由\(a_{n+1}-a_n=2\)可知數列\(\{a_n\}\)是首項\(a_1=1\)，公差\(d=2\)的等差數列，根據等差數列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=n^2-4n\)，求\(a_n\)的最小值。答案：對\(a_n=n^2-4n\)進行配方得\(a_n=(n-2)^2-4\)，因為\(n\inN^\)，所以當\(n=2\)時，\(a_n\)取得最小值\(-4\)。4.已知數列\(\{a_n\}\)遞增，且\(a_n=an^2+bn\)，\(a_1=3\)，\(a_2=8\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：由\(a_1=3\)得\(a+b=3\)；由\(a_2=8\)得\(4a+2b=8\)。聯立方程組\(\begin{cases}a+b=3\\4a+2b=8\end{cases}\)，解得\(a=1\)，\(b=2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=\frac{n}{n+a}\)（\(a\)為常數），討論\(a\)的取值對數列單調性的影響。答案：\(a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+1+a}-\frac{n}{n+a}=\frac{a}{(n+a)(n+1+a)}\)。當\(a>0\)時，\(a_{n+1}-a_n>0\)，數列遞增；當\(a=0\)時，\(a_{n+1}-a_n=0\)，數列是常數列；當\(a<0\)時，\(a_{n+1}-a_n<0\)，數列遞減。2.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}\)，\(a_1=2\)，討論數列的周期性及單調性。答案：\(a_1=2\)，\(a_2=-1\)，\(a_3=\frac{1}{2}\)，\(a_4=2\)，所以數列周期為3。\(a_1>a_2\)，\(a_2<a_3\)，\(a_3<a_4\)，數列不單調。3.已知數列\(\{a_n\}\)遞增，\(a_n=\log_a(n+1)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），討論\(a\)的取值范圍。答案：因為數列遞增，所以\(a_{n+1}-a_n=\log_a(n+2)-\log_a(n+1)=\log_a\frac{n+2}{n+1}>0\)。當\(a>1\)時，\(\log_a\frac{n+2}{n+1}>0\)恒成立；當\(0<a<1\)時，\(\log_a\frac{n+2}{n+1}<0\)，不滿足遞增。所以\(a>1\)。4.數列\(\{a_n\}\)中\(a_n=n+\frac{1}{n}\)，討論數列在\(n\geq1\)時的單調性并說明理由。答案：\(a_{n+1}-a_n=(n+1)+\frac{1}{n+1}-(n+\frac{1}{n})=1-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)-1}{n(n+1)}\)。當\(n\geq1\)時，\(n(n+1)-1>0\)，即\(a_{n+1}-a_n>0