第11講重難點專題拓展：實際問題與二次函數（2知識點+7大核心考點+過關測）內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01：列二次函數解應用題列二次函數解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數后，表示量與量的關系的代數式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數關系)．(2)設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確．(3)列函數表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數．(4)按題目要求，結合二次函數的性質解答相應的問題.(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．要點歸納：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.知識點02：建立二次函數模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當地建立直角坐標系；(2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題．要點歸納：利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.【題型1增長率問題】【變式12】（2324九年級上·上海奉賢·期中）印刷廠10月份印刷一暢銷小說書5萬冊，因購買此書人數激增，印刷廠需加印，若設印書量每月的增長率為x，12月印書量y萬冊，寫出y關于x的函數解析式．【題型2銷售問題】【例2】（2024·上海·模擬預測）某商場以每件50元的價格購進一種商品，銷售中發現這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數，其圖象如圖所示(1)求每天的銷售數量m（件）與每件的銷售價格x（元）的函數表達式(2)每件商品的銷售價格在什么范圍內，每天的銷售利潤隨著銷售價格的提高而增加？電影票售價（元/張）6070售出電影票數量（張）154134(1)請求出與之間的函數關系式；(2)設該影院每天的利潤（利潤票房收入運營成本）為（單位：元），求與之間的函數關系式．(3)該影院計劃十一期間每天的利潤達到5700元，那么電影票價要定在每張多少元？【變式22】（2223九年級上·上海·單元測試）某商場購進一批單價為元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多利潤，商店決定提高銷售價格．經試驗發現，若按每件元的價格銷售時，每月能賣件，若按每件元的價格銷售時，每月能賣件，假定每月銷售件數（件）是單價（元）的一次函數．(1)試求與之間的函數關系式；(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的前提下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？（總利潤總收入總成本）【題型3投球問題】(1)第一次訓練時，籃球的水平距離與豎直高度的幾組數據如下：水平距離/m0123456豎直高度/m2.02.73.23.53.63.53.2①在平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并用平滑的曲線連接；②結合表中數據或所畫圖象，直接寫出籃球運行的最高點距離地面的豎直高度，并求與滿足的函數解析式；(2)第二次訓練時，小丁通過調整出手高度的方式將球投進．籃球出手后運行路線的形狀與第一次相同，達到最高點時，籃球的位置恰好在第一次的正上方，則小丁的出手高度是m【題型4噴水問題】【變式41】（2324九年級上·上海金山·期末）某學校有一噴水池，如果以噴水口（點）所在的鉛垂線為軸，相應的地面水平線為軸，1米為單位長度建立直角坐標系，噴出的拋物線形水柱在最高處（點）距離軸1米，水柱落地處（點）距離y軸4米，噴水口距離地面為2米，求拋物線形水柱的最高處距離地面的高度．【變式42】某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下表中記錄了d與h的五組數據：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根據上述信息，解決以下問題：(1)若水柱最高點距離湖面的高度為m米，則________；(2)現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調節水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調節到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（保留一位小數）．【題型5拱橋問題】【例5】（2023·上海靜安·一模）有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時，橋下水面寬20米，拱橋的最高點O距離水面為3米，如圖建立直角坐標平面，那么此拋物線的表達式為．【變式51】（2024·上海楊浦·一模）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面寬米，拱橋的最高點到水面的距離是米，如圖建立直角坐標平面，如果水面上升了米，那么此時水面的寬度是米．（結果保留根號）【變式52】（2223九年級上·上海靜安·期中）有一座拋物線形狀的拱橋，已知正常水位時，水面的寬度為20米，拱頂距水面5米，如圖是拱橋的截面圖，其中橋拱截線是一段拋物線，平面直角坐標系的原點是橋拱截線與水位正常的水面截線相交處的一點，軸在水面截線上；是警戒線，拱頂到的距離為1.8米．(1)求橋拱截線所在拋物線的表達式；(2)求達到警戒線位置時水面的寬度．【題型6圖形問題】【例6】（2023·上海寶山·一模）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關于x的函數解析式為．（不要求寫出定義域）(1)求出S關于x的函數關系式（結果保留），并寫出定義域；【題型7圖形運動問題】(2)點在線段上運動時，是否可以使得以、、為頂點的三角形為直角三角形，若可以，請求出的值：若不可以，請說明理由；(1)當點B為的中點時，求的長；【變式72】（2223九年級上·上海·階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點D，且BD＝8cm．點M從點A出發，沿AC的方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發，沿BA的方向勻速運動，速度為1cm/s，運動過程中始終保持PQAC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F，連接PM，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．(1)當t為何值時，△APM與△ACB相似？(2)設四邊形PQCM的面積為y，求y與t之間的函數關系式；(3)連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．一、單選題1．如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB寬為20米，拱橋的最高點O到水面AB的距離為4米．如果此時水位上升3米就達到警戒水位CD，那么CD寬為（）A．4米 B．10米 C．4米 D．12米二、填空題2．某廠七月份的產值是10萬元，設第三季度每個月產值的增長率相同，都為x（x＞0），九月份的產值為y萬元，那么y關于x的函數解析式為．（不要求寫定義域）4．（2324九年級上·上海·階段練習）已知菱形的周長為，其一個內角（銳角）的正切值為2，設其面積為，那么關于的函數關系式是．（不必寫出定義域）三、解答題5．某工廠設計了一款產品，成本為每件20元．投放市場進行試銷，經調查發現，該種產品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數的關系，其中20≤≤40．(1)根據表格求y關于x的函數解析式；銷售量y（件）……302010……銷售單價（元）……253035……(2)設銷售這種產品每天的利潤為W（元），求W關于銷售單價之間的函數解析式并求當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？(1)求出S關于的函數關系式（結果保留），并寫出定義域：7．（2122九年級下·上海·期中）某超市從廠家購進A、B兩種型號的水杯，兩次購進水杯的情況如表：進貨批次A型水杯（個）B型水杯（個）總費用（元）一1002008000二20030013000(1)求A、B兩種型號的水杯進價各是多少元？(2)在銷售過程中，A型水杯因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對B型水杯進行降價銷售，當銷售價為44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個，請問超市應將B型水杯降價多少元時，每天