10.2消元重難點目錄重難點目錄TOC\o"11"\h\u【重難點1】代入消元法解二元一次方程組 1【重難點2】加減消元法解二元一次方程組 3【重難點3】二元一次方程組的特殊解法 4【重難點4】二元一次方程組的同解問題 5【重難點5】二元一次方程組的錯解問題 6【小試牛刀】 8重難點概覽重難點概覽內(nèi)容索引·常考題型內(nèi)容常考題型重點01代入消元法解二元一次方程組選擇題、填空題、解答題重點02加減消元法解二元一次方程組選擇題、填空題、解答題難點01二元一次方程組的特殊解法選擇題、填空題難點02二元一次方程組的同解問題選擇題、填空題、解答題易錯點二元一次方程組的錯解問題選擇題、填空題、解答題重難點1重難點1重難點重難點【重難點1】代入消元法解二元一次方程組（1）代入消元法把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（2）代入法解二元一次方程組的一般步驟：①變形：從方程組中選一個未知數(shù)的系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②代入：將變形后的方程代入沒變形的方程，得到一個一元一次方程．③解方程：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值．④求值：將求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而得到方程組的解．典型例題典型例題例1：【典例1】（2025春?思明區(qū)校級期中）對于二元一次方程組y=x?1①x?2y=7②，將①式代入②式，消去A．x﹣2x﹣1＝7 B．x﹣2x﹣2＝7 C．x﹣2x+2＝7 D．x+2x+2＝7【典例2】（2024秋?沙坡頭區(qū)校級期末）二元一次方程組x+8y=105x+7y=9用代入消元法消去未知數(shù)x，得到關(guān)于y的一元一次方程可以是【典例3】（2025春?陸豐市校級期中）用代入消元法解方程組2x?y=?5①3x?2y=?7②方法點撥代入消元法（1）用代入法消元時，由方程組里的一個方程得出的關(guān)系式須代入到另一個方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程組的解了．（2）方程組中各項系數(shù)不全是整數(shù)時，應(yīng)先化簡，即應(yīng)用等式的性質(zhì)，化分?jǐn)?shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)．（3）當(dāng)求出一個未知數(shù)后，把它代入變形后的方程y=ax+b（或x=ay+b），求出另一個未知數(shù)的值比較簡單．（4）要想檢驗所求得的一對數(shù)值是否為原方程組的解，可以將這對數(shù)值代入原方程組的每個方程中，若各方程均成立，則這對數(shù)值就是原方程組的解，否則說明解題有誤．重難點2重難點2重難點重難點【重難點2】加減消元法解二元一次方程組（1）加減消元法當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形：先觀察系數(shù)特點，將同一個未知數(shù)的系數(shù)化為相等的數(shù)或相反數(shù)．②加減：用加減法消去系數(shù)互為相反數(shù)或系數(shù)相等的同一未知數(shù)，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值．④求值：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而得到方程組的解．典型例題典型例題例1：【典例4】（2025春?遷安市期中）用加減消元法解方程組3x?y=1①x+2y=12②時，如果想消掉xA．②×3﹣① B．②×3+① C．①×2﹣② D．①×2+②【典例5】（2023秋?鄆城縣期末）解二元一次方程組2x+3y=2①2x?y=5②時，小華用加減消元法消去未知數(shù)x，按照他的思路，用①﹣②得到的方程是【典例6】（2025春?周至縣期中）用加減消元法解方程組：x+12方法點撥加減消元法（1）當(dāng)兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，可將兩個方程相加消元；當(dāng)兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，可將兩個方程相減消元．（2）當(dāng)方程組中相同未知數(shù)的系數(shù)的絕對值既不相等，也沒有倍數(shù)關(guān)系時，則消去系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)較簡單，確定要消去這個未知數(shù)后，先要找出兩方程中該未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù)，再把這兩個方程中準(zhǔn)備消去的未知數(shù)的系數(shù)化成絕對值相等的數(shù)．重難點3重難點3重難點重難點【重難點3】二元一次方程組的特殊解法利用換元法解二元一次方程組的基本步驟：（1）找準(zhǔn)整體：利用方程組中式子的結(jié)構(gòu)找到相同的“整體”（須每一個方程都含有且與未知數(shù)相關(guān)）．（2）設(shè)新元：根據(jù)方程組的特點，將相同的“整體”設(shè)為新元．（3）換元：用新元代替原方程組中的“整體”，得到新的方程組．（4）求新元：解新方程組，得到新元的值．（5）求原方程組的解：將解出的新元代回“整體”中，解方程或方程組，求出原問題中的未知數(shù)．典型例題典型例題例1：【典例7】（2025春?寧海縣期中）方程組2x+ky=6x?2y=0有正整數(shù)解，則kA．3 B．2 C．1 D．不存在【典例8】（2025春?海州區(qū)校級期中）方程組x+ay=5y?x=1有正整數(shù)解，則正整數(shù)a＝【典例9】（2023春?蓬安縣校級期末）若k≥﹣5，則方程組?4x+y=kx?y=1的解中，正整數(shù)x的解為方法點撥根據(jù)方程組中各系數(shù)特點，可將方程組中的一個方程或方程的一部分看成一個整體，代入到另一個方程中，從而達(dá)到消去其中一個未知數(shù)的目的，求得方程組的解．重難點4重難點4重難點重難點【重難點4】二元一次方程組的同解問題1．已知方程組的解滿足另外一個方程求字母的值的方法方法一：把方程組中的字母看成已知數(shù)，先用含字母的式子把方程組的解表示出來，再代入另一個二元一次方程，得到關(guān)于字母的一元一次方程，解方程即可求出字母的值．方法二：由方程組中的兩個方程消去字母，得到一個關(guān)于x，y的二元一次方程，與另一個二元一次方程組成新的方程組，解新方程組求出x，y的值，進(jìn)而求得字母的值．2．已知兩個方程組同解，求字母的值的方法第一步：將不含字母的兩個方程聯(lián)立組成新的方程組，求出新方程組的解．第二步：將新方程組的解代入含字母的方程，得到關(guān)于字母的方程（組），即可求出字母的值．典型例題典型例題例1：【典例10】（2025春?高新區(qū)校級月考）如果方程組x+y=3x?my=2和x?y=1nx?y=2解的相同，則nm＝【典例11】（2024秋?定興縣月考）已知方程組3x+y=6bx+ay=2和方程組7x?2y=1（1）求這兩個方程組的相同解；（2）求a，b的值．【典例12】（2023春?東城區(qū)校級期末）當(dāng)y＝﹣3時，二元一次方程3x+5y＝﹣3和3y﹣2ax＝a+2（關(guān)于x，y的方程）有相同的解，求a的值．方法點撥將不含字母系數(shù)的兩個方程組合成新方程組→解新方程組→將新方程組的解代入其他兩個含字母系數(shù)的方程組成的方程組→求解．重難點5重難點5重難點重難點【重難點5】二元一次方程組的錯解問題挖掘錯解問題中的隱含條件方程組的解滿足方程組中的每個方程．因看錯一個方程而求得的原方程組的錯解，應(yīng)是另一個沒有看錯的方程的解．典型例題典型例題例1：【典例13】（2025?桑植縣三模）在解關(guān)于x，y的方程組ax+by=22cx+7y=8時，甲同學(xué)正確解得x=3y=2，乙同學(xué)把c看錯了，而得到x=?2y=6，那么a+b+c【典例14】（2025春?宜昌期中）解方程組ax+y=5bx?cy=?1時，將a看錯后得到x=2y=3，正確結(jié)果應(yīng)為x=1y=2，則a+b+c【典例15】（2025春?呂梁期中）在解方程組ax+3y=?2①，2x?by=7②時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而解得x=1，y=?1，乙看錯了方程組中的b，而解得（1）求出正確的a，b的值．（2）求出原方程組的正確解．方法點撥處理策略：避開看錯的式子，把解代入對應(yīng)的正確式子中．小試牛刀小試牛刀10.2消元解二元一次方程組一、選擇題（共10小題）1．（2025?紅橋區(qū)三模）二元一次方程組4x+3y=62x+y=4A．x=?3y=2 B．x=?2y=1 C．x=3y=?22．（2025春?仁壽縣期中）已知|x﹣2y﹣1|+（2x+y﹣7）2＝0，則3x﹣y的值是（）A．3 B．1 C．﹣6 D．83．（2025?淄川區(qū)二模）已知方程組2a+b=3a?2b=5，則2a+6bA．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．（2025春?沙坪壩區(qū)期中）已知（2x﹣y﹣5）2+|x+y﹣1|＝0，則yx的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2025春?賽罕區(qū)期中）利用加減消元法解方程組3x+5y=?10①5x?2y=6②A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×5+②×（﹣3） C．要消去y，可以將①×2﹣②×5 D．要消去x，可以將①×5+②×36．（2025春?灤南縣期中）下列是關(guān)于方程組6x?3y=8①4x+5y=10②方法一：由①×2﹣②×3可消去x．方法二：由①×3+②×5可消去y．下列判斷正確的是（）A．方法一對，方法二不對 B．方法一不對，方法二對 C．方法一對，方法二也對 D．方法一不對，方法二也不對7．（2024秋?金沙縣期末）已知a，b滿足方程組2a+b=9a+2b=3，則a+bA．1 B．2 C．3 D．48．（2025春?渝北區(qū)期中）數(shù)學(xué)課堂上，老師讓大家用加減消元法解方程組3x?4y=5①4x+5y=?2②A．要消去y，可以將①×4﹣②×5 B．要消去x，可以將①×4﹣②×3 C．要消去y，可以將①×4+②×5 D．要消去x，可以將①×5﹣②×39．（2025春?萬州區(qū)期中）用加減法解方程組2x+3y=1①3x?6y=5②時，消去yA．①×2﹣② B．①×3+②×2 C．①×2+② D．①×3﹣②×210．（2025春?番禺區(qū)校級期中）解方程組：5x+2y=7①12x+y=20②A．②×2﹣①，消x B．②×2+①，消x C．②×2﹣①，消y D．②×2+①，消y二、填空題（共10小題）11．（2025春?肇源縣月考）已知|x﹣y﹣6|+（x+y+8）2＝0，則x2﹣y2＝．12．（2025?臨平區(qū)二模）已知二元一次方程組a?2b=3a+b=?2，則2a﹣b的值為13．（2025春?仁壽縣期中）若方程組kx?y=14x+my=2有無數(shù)解，則k﹣m的值是14．（2025?鄲城縣二模）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=373x+2y=38的解為15．（2025?三門峽二模）已知方程組3x+y=9x+3y=5，則x﹣y的值為16．（2025?永春縣模擬）方程組2x+y=5y=3x的解是17．（2025春?西峽縣期中）已知|2x﹣3y+4|與（x﹣2y+5）2互為相反數(shù)，則（x﹣y）2025＝．18．（2025春?鹽都區(qū)月考）已知x、y滿足方程組3x+y=9x+3y=?1，則代數(shù)式x+y＝19．（2025春?臺江區(qū)校級期中）已知x、y滿足方程組2x+y=5x+2y=4，則y﹣x的值是20．（2025春?東山縣期中）已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，則（x+y）2025等于．三、解答題（共6小題）21．（2025春?巴彥縣月考）按要求解下列方程組：（1）用代入法解方程組：2x?y=7x+y=5（2）用加減法解方程組2x+3y=44x?9y=322．（2025春?確山縣期中）用指定的方法解下列方程組：（1）2x?5y=14①y=?x②（2）2x+3y=9①3x+5y=16②23．（2025?武漢三模）解方程組：（1）0.6x?0.4y=1.5①0.2x?0.4y=2.3②（2）4(x?y?1)=3(1?y)?5①x24．（2025春?安次區(qū)期中）解方程組x+5y=3①3x?5y=1②解法一：①+②，解得4x＝4．（）解法二：由②，得5y＝﹣3x+1．③把③代入①中，得x﹣3x﹣1＝3．（）（1）檢查兩位同學(xué)的解題過程是否正確？若解法正確，請在后面括號內(nèi)打上“√”，若