廣東20屆高三數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數中，在定義域內連續且可導的是（）

A.\(f(x)=|x|\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=e^x\)

2.已知函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)處取得極值，則\(a\)的取值范圍是（）

A.\(a>0\)

B.\(a<0\)

C.\(a\geq0\)

D.\(a\leq0\)

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2\)，則\(f(0)\)的值為（）

A.0

B.2

C.4

D.無法確定

4.下列各數中，屬于無理數的是（）

A.\(\sqrt{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(\sqrt{4}\)

D.\(\sqrt{9}\)

5.已知\(\sinA=\frac{1}{2}\)，則\(A\)的取值范圍是（）

A.\(0\leqA\leq\frac{\pi}{2}\)

B.\(\frac{\pi}{2}\leqA\leq\pi\)

C.\(0\leqA\leq\pi\)

D.\(\pi\leqA\leq2\pi\)

6.若\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\cosA\)的值為（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{3}\)

C.\(\frac{2}{3}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

7.已知\(\log_25=x\)，則\(\log_532\)的值為（）

A.\(\frac{5}{2}\)

B.\(\frac{2}{5}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{1}{5}\)

8.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)，則\(x\)的取值范圍是（）

A.\(x>1\)

B.\(x<1\)

C.\(x\geq1\)

D.\(x\leq1\)

9.下列不等式中，正確的是（）

A.\(2^3>3^2\)

B.\(2^3<3^2\)

C.\(2^3=3^2\)

D.無法確定

10.若\(\sinA+\cosA=\sqrt{2}\)，則\(\sin2A\)的值為（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{4}\)

C.\(\frac{3}{4}\)

D.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，哪些函數在定義域內具有奇偶性？（）

A.\(f(x)=x^3\)

B.\(f(x)=x^4\)

C.\(f(x)=|x|\)

D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

2.下列各數中，哪些是無理數？（）

A.\(\sqrt{2}\)

B.\(\pi\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\sqrt{4}\)

3.下列各函數中，哪些函數在\(x=0\)處取得極值？（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=-x^2\)

C.\(f(x)=x^3\)

D.\(f(x)=-x^3\)

4.下列各數中，哪些是三角函數的值域？（）

A.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)

B.\(\cos\frac{\pi}{2}=0\)

C.\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)

D.\(\csc\frac{\pi}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

5.下列各不等式中，哪些是正確的？（）

A.\(2^x>3^x\)當\(x<0\)

B.\(\log_2x>\log_3x\)當\(x>1\)

C.\(\sinx>\cosx\)當\(\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}\)

D.\(\frac{1}{x}>x\)當\(0<x<1\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)的對稱軸方程為_______。

2.已知\(\sinA+\cosA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\tanA\)的值為_______。

3.若\(\log_25=x\)，則\(\log_564\)的值為_______。

4.三角形\(\triangleABC\)中，若\(a=6\)，\(b=8\)，\(c=10\)，則\(\angleA\)的余弦值為_______。

5.設\(\lim_{x\to2}\frac{f(x)-3}{x-2}=4\)，則\(f(2)\)的值為_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x^2}

\]

2.已知函數\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求\(f(x)\)在\(x=2\)處的切線方程。

3.解下列三角方程：

\[

2\sin^2x+3\cosx-1=0

\]

4.已知\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求\(\triangleABC\)的面積。

5.計算下列定積分：

\[

\int_0^1(2x^2-3x+1)\,dx

\]

6.已知函數\(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\)，求\(f(x)\)的單調區間。

7.解下列微分方程：

\[

\frac{dy}{dx}=4xy^2

\]

8.已知\(\log_2x+\log_2(x+1)=3\)，求\(x\)的值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A（絕對值函數在定義域內連續且可導）

2.A（二次函數在對稱軸處取得極值，且二次項系數大于0）

3.B（極限值為函數值）

4.A（平方根是無理數）

5.C（正弦函數的取值范圍）

6.C（勾股定理及余弦函數的定義）

7.A（換底公式）

8.B（反比函數的極限）

9.B（指數函數的遞減性質）

10.D（二倍角公式及正弦函數的取值范圍）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.A、B、C（奇偶性定義）

2.A、B（無理數定義）

3.A、B、C、D（極值定義）

4.A、B、C、D（三角函數的值域）

5.A、B、C、D（不等式性質）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.\(x=-\frac{2a}\)（對稱軸公式）

2.\(\tanA=1\)（三角恒等變換）

3.\(\log_564=6\)（換底公式）

4.\(\cosA=\frac{1}{2}\)（余弦定理）

5.\(f(2)=11\)（極限定義）

四、計算題答案及知識點詳解：

1.\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{3\cos3x-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{3(1-\sin^23x)-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{3(1-(1-\frac{1}{2}x^2+O(x^4)))-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{3}{2}x^2}{2x}=\frac{3}{4}

\]

2.切線斜率為\(f'(2)=2\cdot2^2-2\cdot2+9=11\)，切線方程為\(y-f(2)=11(x-2)\)，即\(y=11x-19\)。

3.\[

2\sin^2x+3\cosx-1=0\Rightarrow2(1-\cos^2x)+3\cosx-1=0\Rightarrow2\cos^2x-3\cosx+1=0\Rightarrow(\cosx-1)(2\cosx-1)=0\Rightarrow\cosx=1\text{或}\cosx=\frac{1}{2}

\]

解得\(x=0\)或\(x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)或\(x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)，其中\(k\)為整數。

4.三角形\(\triangleABC\)的面積為\(\frac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\sinA=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\frac{3}{5}=\frac{21}{2}\)。

5.\[

\int_0^1(2x^2-3x+1)\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{6}

\]

6.\(f'(x)=2e^{2x}-3e^x\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)\)在\(x<\frac{1}{2}\)時單調遞減，在\(x>\frac{1}{2}\)時單調遞增。

7.\(\frac{dy}{dx}=4xy^2\Rightarrow\frac{dy}{y^2}=4x\,dx\Rightarrow-\frac{1}{y}=2x^2+C\Rightarrowy=-\frac{1}{2x^2+C}\)。

8.\[

\log_2x+\log_2(x+1)=3\Rightarrow\log_2(x(x+1))=3\Rightarrowx(x+1)=2^3\Rightarrowx^2+x-8=0\Rightarrow(x-2)(x+4)=0\Rightarrowx=2\text{或}x=-4

\]

知識點總結：

-極限、導數、積分：極限的運算、導數的求法、積分的計算。

-三角函數：三角函數的定義、性質、值域、三角恒等變換。

-解三角方程：利用三角恒等變換和代數方法解三角方程。

-解三角形的面積：利用正弦定理、余弦定理計算三角形的面積。

-無理數：無理數的定義、性質、運算。

-指數函數：指數函數的定義、性質、運算。

-對數函數