專題4整式乘除四大必考題型 4 1.已知(x3+mx+n)(x23x+4)的展開式中不含x3和x2項．（1）求m與n的值．（2）在（1）的條件下，求(m+n)(m2mn+n2)的值．2.若(x+4)(x22ax4b)的展開式中不含x的二次項和一次項．（1）求ba的值；3.（1）已知a、b滿足|a2+b28|+(ab1)2=0．①求ab的值；②先化簡，再求值：(2ab+1)(2ab1)(a+2b)(ab)．已知的積中不含x和x3項，求代數式4.甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：(2x+a)(3x+b)．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“a”，得到的結果為6x2+11x10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數，得到的結果為2x29x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計算這道乘法題的正確結果．5.小紅準備完成題目：計算(x2x1)(x22x+1)時，她發現第一個因式的一次項系數被一滴墨水遮擋住了．（1）她把被遮住的一次項系數猜成2，請你幫她完成計算：(x2+2x1)(x22x+1)；（2）老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的．”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？6.在學習多項式乘以多項式時，我們知道的結果是一個多項式，并且最高次項為常數項為4×5×(—6)=—120．那么一次項是什么呢？要解決這個問題，就是要確定一次項的系數．通過觀察，我們發現：一次項的系數就是即一次項為3x．請參考上面的方法，解決下列問題：（1）計算(x+1)(3x+2)(5x—3)所得多項式的一次項系數為；（2）如果計算(x2+x+5)(7x2—2x+a)(3x—1)所得多項式不含一次項，則常數a的值（3）如果(x+1)20242024202320222023x+a2024，則a2023的值是．1.當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，由圖1，可得（1）由圖2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：（3）利用圖3中的紙片（足夠多畫出一種拼圖，使該拼圖可用來驗證等式：2.[知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：（1）觀察圖②,請你寫出(a+b)2、(a—b)2、ab之間的等量關系是；（2）根據（1）中的等量關系解決如下問題：若求2的值；[知識遷移]類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．（3）根據圖③,寫出一個代數恒等式：；（4）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規律求的3.通過小學的學習，我們知道：周長一定的長方形中，正方形的面積最大．此結論可以利用圖形的割補加以說明．已知長方形的周長是12，設長方形的一邊長是x，則相鄰一邊長是(6x)．①當0<x<3時，如圖1，將此長方形進行如下割補．如圖2，長方形B的一邊長是x，相鄰一邊長是.如圖3，將長方形B割補到長方形A的右側，陰影部分是一個邊長為的正方形（以上兩空，均用含x的代數式表示通過上述割補，圖1中長方形的面積可以看成圖3中兩個正方形的面積之差，所以代數式x(6x)、9、(3x)2滿足的等量關系是；②當3<x<6時，類似上述過程進行割補；③當x=3時，該長方形即為正方形．綜上分析，周長是12的長方形的最大面積是；當2<x<6時，仿照上述割補過程，求代數式(6x)(4+2x)的最大值．4.有兩類正方形A，B，其邊長分別為a，b．現將B放在A的內部得圖1，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖2．若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為1和12，求：（1）正方形A，B的面積之和為．（2）小明想要拼一個兩邊長分別為(2a+b)和(a+3b)的長方形（不重不漏除用去若干個正方形A，B外，還需要以a，b為邊的長方形個．（3）三個正方形A和兩個正方形B如圖3擺放，求陰影部分的面積．5.教科書第一章《整式的乘除》中，我們學習了整式的幾種乘除運算，學會了研究運算的請解答下列問題：（2）若(2x2+1，nx1)②(5，x2)的代數式中不含x的一次項時，求n的值；（4）如圖1，小長方形長為a，寬為b，用5張圖1中的小長方形按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，其中AB=5，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分設左下角長方形的面積為S1，右上角長方形的面積為S2，當2S13S2=20，求(2a+b，6b)(b3，3a6b)的值.6.（1）通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式，甲圖是邊長為x的正方形，請用兩種不同的方法表示甲圖中陰影部分的面積(a，b為常數）①因式的積的形式②關于x的二次多項式的形式由①與②,可以得到一個等式：（2）由（1）的結果進行應用：若(am)(a2)=a2+na+6對a的任何值都成立，求m，n（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，乙圖表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據乙圖中圖形的變化關系，利用整式乘法寫出一個代數恒等式．7.問題再現：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1．這個圖形的面積可以表示成：(a+b)2或a2+2ab+b2，:(a+b)2=a2+2ab+b2這就驗證了兩數和的完全平方公式．（1）類比解決：如圖2，一個邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，將陰影部分拼成了一個長方形．則①的陰影面積表示為．則②的陰影面積表示為．由此可以得到的等式是．（2）嘗試解決：問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23=32？如圖3，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：3，而A、B、C、D恰好可以拼成一個(1+2)×(1+2)的大正方形．請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義求：13+23+33（要求寫出結論并構造圖形（3）問題拓廣：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3=.（直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）1.有一系列等式：2222…（1）根據你的觀察、歸納、發現的規律，寫出8×9×10×11+1的結果（2）試猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一個數的平方，并予以證明．2.觀察以下等式：3+1…（1）按以上等式的規律，填空：(a+b)()=a3+b3；（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中的等式成立；（3）利用（1）中的公式化簡：(x+y)(x2—xy3.觀察下列各式：(x1)÷(x1)=1；(x21)÷(x1)=x+1；(x31)÷(x1)=x2+x+1；(x41)÷(x1)=x3+x2+x+1；…(x81)÷(x1)=x7+x6+x5+…+x+1；（1）根據上面各式的規律填空：①(x20161)÷(x1)=②(xn1)÷(x1)=（2）利用②的結論求22016+22015+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．4.【核心概念】素材1：楊輝是我國南宋時期杰出的數學家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載了如圖1，源于北宋時期數學家賈憲的“開方作法本源圖”，我們把這個表叫做“楊輝三角”．素材2：我們知道，(a+b)1=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2．利用多項式的乘法運算，還可以得到：(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3．當a+b≠0時，將計算結果中多項式（以a降次排序）各項的系數排列成表，可得到如圖2:【任務規劃】（1）任務：請根據素材1和素材2直接寫出：①(a+b)4展開式中a3b的系數是；②(a+b)10展開式中所有項的系數和為；【項目成效】（2）成果展示：若(2x1)2025202520242023【拓展應用】（3）“楊輝三角”的應用很廣泛，例如“堆垛術”，圖3中的立體圖形是由若干形狀、大小相同的圓球擺放而成，從上至下每層小球的個數依次為：1，3，6，10…，記第n層的圓球5.我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，“楊輝三角”就是其中一例，如圖所示為這個“三角形”的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了(a+b)n(n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在“三角形”中，第三行的三個數1，2，1，恰好對應(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數．（1）根據上面的規律，寫出(a+b)4的展開式；（2）利用上面的規律計算：255×24+10×2310×22+5×21；（3）(a+b)n的展開式的系數和為；（4）運用：若今天是星期三，經過天后是星期．6.“楊輝三角”揭示了(a+b)n(n為非負數）展開式的各項系數的規律．在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，請仔細觀察“楊輝三角”中每個數字與上一行的左右兩個數字之和的關系：根據上述規律，完成下列各題：（1）將(a+b)5展開后，各項的系數和為．（2）將(a+b)n展開后，各項的系數和為．（3）(a+b)6=下圖是世界上著名的“萊布尼茨三角形”，類比“楊輝三角”，根據你發現的規律，回答下列（4）若(m,n)表示第m行，從左到右數第n個數，如(4,2)表示第四行第二個數是，則(6,2)表示的數是，(8,3)表示的數是．7.我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例這個三角形的構造法則為：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方（左右）兩數之和．事實上，這個三角形給出了(a+b)n(n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1、2、1，恰好對應(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1、3、3、1，恰好對應著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 展開式中各項的系數等等．（1）根據上面的規律，(a+b)4展開式的各項系數中最大的數為；（3）若(2x1)2018201820172016……+++8.觀察下列算式，嘗試問題解決：楊輝三角形是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示(a+b)n（此處n=0，1，2，3，4，5..)的計算結果中的各項系數：（1）請根據上題中的楊輝三角系數集”，仔細觀察下列各式中系數的規律，并填空：(a+b)1=a+b各項系數之和1+1=2=21(a+b)2=a2+2ab+b2各項系數之和1+2+1=4=22(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3各項系數之和1+3+3+1=①請補全下面展開式的系數：(a—b)6=a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4—6ab5+b6②請寫出(a+b)10各項系數之和：（3）你能在（2）的基礎上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值嗎？若能，請寫出過程．1.閱讀材料，解答問題：如果一個四位自然數，十位數字是千位數字的2倍與百位數字的差，個位數字是千位數字的2倍與百位數字的和，則我們稱這個四位數“亞運數”，例如，（1）填空：①21是“亞運數”（在橫線上填上兩個數字②最小的四位“亞運數”是；（2）若四位“亞運數”的后三位表示的數減去百位數字的3倍得到的結果除以7余3，這樣的數叫做“冠軍數”，求所有“冠軍數”；（3）已知一個大于1的正整數m可以分解成m=pq+n的形式(p≤q，n≤6，p，q，n均4有“冠軍數”的F(m)的最大值．2.【計算】小紅計算(x2y)2+(2xy)(2x+y)x(□x3y)2y2時，得到的結果是x2+y2xy，則“□”表示的數為．【發現】小紅對計算結果x2+y2xy很感興趣，她發現有些數A可以表示成A=x2+y2xy(x、y為自然數）的形式，她把這類數稱為“神秘數”．例如：3=22+122×1，19=52+325×3，327=192+17219×17…，所以3，19，327是“神秘數”．請寫出兩個10以內的“神秘數”【探究】小紅進一步研究，發現像19，327這樣的“神秘數”可以用兩個連續奇數按發現中給出的運算表達出來，她把這些“神秘數”稱為“雙奇神秘數”．試說明所有“雙奇神秘數”被4除【應用】若兩個“雙奇神秘數”的差是12，則這兩個“雙奇神秘數”是和．3.定義：L（A）是多項式A化簡后的項數，例如多項式A=x2+2x—3，則L（A）=3．一個多項式A乘多項式B化簡得到多項式C（即C=A×B)，如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，則稱B是A的“好多項式”，如果L（A）=L（C則稱B是A的“極好多項式”．（1）若A=x—2，B=x+3均是關于x的多項式，則B是不是A的“好多項式”？請判斷并說明理由；4.閱讀與理解：已知ax2+bx+c是關于x的多項式，記為P(x)．我們規定：P(x)的導出多項式為：2ax+b，記為Q(x)．例如：若P(x)=3x2—2x+1，則P(x)的導出多項式Q(x)=2.3x2=6x2．根據以上信息，回答問題：若則它的導出多項式Q(x)=；（2）設Q(x)是P(x)的導出多項式．①若P(x)=4x2+