專題12二次根式的混合運算內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）知識點02二次根式的分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.【題型1二次根式的混合運算】例題：（2425八年級下·天津靜海·期中）計算：【答案】(1)【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）利用二次根式的性質進行化簡，進行加減運算，再進行除法運算即可；（2）先化簡計算括號內，再進行乘除運算即可．【變式訓練】1．（2025八年級下·全國·專題練習）計算：【答案】(1)；【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握相關運算法則，正確的計算是解題的關鍵．（1）先算乘除，再化簡各數，最后合并同類二次根式即可；（2）先進行完全平方和平方差公式的計算，再合并同類二次根式即可．2．（2425八年級下·山東威海·期中）計算：【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握相關的運算法則．（1）先根據二次根式的除法法則計算，再合并同類項即可；（2）先化簡絕對值、將完全平方公式展開，再合并同類項，即可求解．3．（2425八年級下·四川南充·期中）計算：【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知二次根式的混合計算法則是解題的關鍵．（1）先利用平方差公式去括號，然后化簡二次根式和絕對值，再計算加減法即可得到答案；（2）先化簡二次根式，再計算二次根式乘除法，最后計算加法即可得到答案．．【題型2二次根式的分母有理化】例題：（2425八年級下·云南昆明·期中）觀察下列等式：(1)按照上述規律，第6個等式：______；第n個等式：______；【知識點】數字類規律探索、二次根式的混合運算、分母有理化【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關鍵．（1）利用前面4個等式的規律，找出序號數與被開方數的關系寫出第6個和第n個等式；（2）直接合并同類二次根式即可．…【變式訓練】1．（2425八年級下·全國·單元測試）觀察下列各式；(1)照此排列方式，請寫出第n式；【知識點】二次根式的加減運算、分母有理化【分析】本題考查的是分母有理化及二次根式的加減運算，根據題意找出規律是解答此題的關鍵．（1）根據題意得出第個式子即可；（2）根據（1）中的規律計算出式子的結果即可．2．（2425八年級下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：以上這種化簡的過程叫分母有理化．【知識點】分母有理化、二次根式的混合運算【分析】本題考查閱讀理解，涉及分母有理化等知識，讀懂材料，理解材料中分母有理化方法是解決問題的關鍵．（1）根據閱讀材料中的方法化簡即可得到答案；（2）由材料中的方法先化簡，再由二次根式加減運算求解即可得到答案．3．（2425八年級下·山東煙臺·期中）課本知識再現：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【知識點】分母有理化、二次根式的加減運算、利用二次根式的性質化簡、運用平方差公式進行運算【分析】本題主要考查了二次根式的性質、分母有理化、二次根式的混合運算等知識點，掌握相關性質和運算法則成為解題的關鍵．（1）根據二次根式的性質進行化簡即可解答；（2）根據題中介紹的方法進行分母有理化即可；（3）先通過分母有理化化簡，然后在運用二次根式的混合運算法則計算即可．4．（2425八年級下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：以上這種化簡的過程叫分母有理化．【知識點】分母有理化、二次根式的混合運算【分析】本題考查閱讀理解，涉及分母有理化等知識，讀懂材料，理解材料中分母有理化方法是解決問題的關鍵．（1）根據閱讀材料中的方法化簡即可得到答案；（2）由材料中的方法先化簡，再由二次根式加減運算求解即可得到答案．【題型3已知字母的值，化簡求值】(2)【知識點】通過對完全平方公式變形求值、二次根式的乘法、二次根式的加減運算、二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的混合運算、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）根據題意，利用合并同類二次根式的法則和平方差公式計算即可得解；（2）利用完全平方公式變形計算即可得解．【變式訓練】【答案】(1)(2)【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、已知字母的值，化簡求值【分析】本題主要考查了分式化簡求值，二次根式混合運算，平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．（1）根據平方差公式和二次根式混合運算法則進行計算即可；（2）先根據分式加減運算法則進行化簡，然后代入求值即可．．(2)【知識點】已知字母的值，化簡求值【知識點】二次根式的混合運算、已知字母的值，化簡求值【分析】本題考查了代數式求值，二次根式的混合運算，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據完全平方公式將原式變形，再代入求解即可；；【題型4已知條件式，化簡求值】【知識點】求一個數的平方根、運用完全平方公式進行運算、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．【變式訓練】【答案】【知識點】通過對完全平方公式變形求值、分母有理化、已知條件式，化簡求值【知識點】二次根式有意義的條件、二次根式的混合運算、已知條件式，化簡求值【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，先根據二次根式有意義的條件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代數式，依據二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得．請你根據上述分析過程，解決如下問題：【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查的是分母有理化，二次根式的混合運算，求解代數式的值；【題型5比較二次根式的大小】仔細研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(2)9【知識點】比較二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合運算【分析】此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．（1）根據閱讀材料中的方法將兩式化簡，即可做出比較；（2）原式變形后，計算即可得到結果．【變式訓練】仔細研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(2)9【知識點】比較二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合運算【分析】此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．（1）根據閱讀材料中的方法將兩式化簡，即可做出比較；（2）原式變形后，計算即可得到結果．2．（2425八年級下·重慶渝北·期中）閱讀下列材料，并回答問題．；…(3)44【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查了二次根式的運算，讀懂閱讀材料找到算式規律是解題的關鍵．（2）仿照材料方法計算即可；在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．解答下列問題：(3)【知識點】二次根式的加減運算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查二次根式的混合運算，分母有理化，解答本題的關鍵是明確二次根式的混合運算的計算方法．（1）根據題意可以得到所求式子的分母有理化因式，并將題目中的二次根式化簡；（2）根據分母有理化的方法可以化簡題目中的式子，再進行加減計算，即可求解；（3）先計算兩數的倒數，根據分母有理化，進而比較即可求解．故答案為：．(2)【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運算．熟練掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．（2）先將括號中的每一項分母有理化，進一步計算求解即可；故答案為：；【題型6二次根式的規律探究問題】例題：（2425八年級下·四川自貢·期中）探索下列等式規律，并解決下列問題：【規律發現】……【規律探索】（1）第5個等式：_______；（2）如果n為正整數，用含n的式子表示上述第n個等式為_______；【規律應用】（3）44【知識點】數字類規律探索、二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的混合運算，數字類規律探索，正確得出規律是解此題的關鍵．（1）根據所給的式子的形式進行求解即可；（2）分析所給的式子的形式即可得出規律；（3）利用（2）中的規律進行求解即可．【變式訓練】1．（2425八年級下·新疆喀什·階段練習）觀察下列等式：…(1)請寫出第④個等式；(2)9【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化【分析】本題考查了分母有理化，以及二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）根據所給算式的特點寫出第④個等式即可；（2）先分母有理化，再算加減即可．2．（2425八年級下·安徽蕪湖·期中）觀察以下等式：．．．．．．按照以上規律．解決下列問題：(1)寫出第4個等式：________；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明：(3)【知識點】數字類規律探索、二次根式的混合運算【分析】本題考查數字的變化規律，通過觀察所給的等式，找到等式的特點，得出一般規律是解題的關鍵．（1）根據題目中所給的5個等式，結合規律即可寫出答案；（2）找到等式的規律，寫出第個等式，通過化簡證明等式成立；（3）利用題中的規律進行計算即可．證明如下：3．（2425七年級上·山東淄博·期末）細心觀察下圖，認真分析下列各式，然后解答問題：…(1)請用含n（n為正整數）的等式表示上述規律；(2)(3)【知識點】數字類規律探索、二次根式的混合運算、用勾股定理解三角形【分析】本題考查的數字規律探索及二次根式的運算．解題的關鍵是觀察，觀察題中給出的結論，由此結論找出規律進行計算．（2）根據勾股定理，結合（1）中規律即可求出；（3）根據總結的規律計算，得到答案．……【題型7二次根式的新定義運算】(2)；【知識點】二次根式的混合運算、分母有理化【分析】本題考查了“美好數”的新定義，分母有理化，二次根式的運算，因式分解的應用，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）利用“美好數”的新定義，分母有理化解答即可求解；（）利用“美好數”的新定義，分母有理化解答即可求解；【詳解】（1）解：由“美好數”的新定義可得，；【變式訓練】1．（2025·河北·模擬預測）已知a、b互為倒數，請根據倒數的定義完成下列各題：【知識點】倒數、二次根式的混合運算、分母有理化【分析】本題考查了倒數的定義，分母有理化，二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）根據倒數的定義求解即可；（2）①先根據倒數的定義求解，再分母有理化即可；②根據倒數的定義列式求解即可．(1)4與_____是關于3的“實驗數”，與是關于3的“實驗數”，則是_____，表示的值的點落在數軸上的位置位于_____．(2)是；理由見解析【知識點】實數與數軸、新定義下的實數運算、二次根式的加減運算、二次根式的混合運算【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，二次根式的乘除運算和加減運算．掌握本題的關鍵是：①能理解題述1的“實驗數”的定義，并據此作出計算；②掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．（1）根據所給的例子，可得出實驗數的求法，由此即可計算4與是關于3的“實驗數”；∴與是關于的“實驗數”；∴表示的值的點落在數軸上的位置位于1和2之間，即位置④；，(3)見解析【知識點】運用完全平方公式進行運算、復合二次根式的化簡、二次根式的混合運算【分析】本題考查完整根式，完整平方根的理解；（1）利用完整根式，完整平方根的定義計算，即可解答；（2）利用完整根式，完整平方根的定義計算，即可解答；（3）利用完整根式，完整平方根的定義計算，即可解答；理由如下：∵，，，都是整數，∵，都是整數，一、單選題A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【答案】D【知識點】無理數的大小估算、二次根式的混合運算【分析】此題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先根據二次根式的混合運算法則化簡，然后利用無理數的估算求解即可．故選：D．【答案】C【知識點】已知字母的值，化簡求值【分析】本題主要考查了完全平方公式、代數式求值等知識點，根據分母有理化化簡成為解題的關鍵．故選C．A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較二次根式的大小、二次根式的混合運算、二次根式的加減運算【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，混合運算，二次根式的大小比較，先把選項中的運算符號代入進行計算，再比較大小即可．∴當算式的結果最大時，“口”表示的運算符號是；故選：D4．（2425八年級下·山東泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一張如圖所示的紙質卡片，卡片上分別寫有一個算式，這四張卡片中，算式的計算結果是有理數的有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查二次根式的混合運算，計算出甲、乙、丙、丁中式子的結果，即可得到有幾張卡片中式子的計算結果是有理數．【詳解】解：由圖可得，故選：B．【答案】D【知識點】運用完全平方公式進行運算、新定義下的實數運算、二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的混合運算，新定義，按照新定義，逐一判斷即可，能理解題意熟練計算解此題的關鍵．故與不一定是關于1的平衡數，故該說法符合題意，故選：D．二、填空題【答案】【知識點】二次根式的混合運算【分析】本題考查了二次根式的乘法和加減運算，同類二次根式的合并，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；首先利用二次根式乘法法則計算，然后合并同類二次根式即可解答．故答案為：．【知識點】二次根式的混合運算【答案】【知識點】運用平方差公式進行運算、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查了二次根式求值，利用平方差公式計算即可，掌握平方差公式的應用是解題的關鍵．故答案為：．【知識點】二次根式的混合運算、實數與數軸【知識點】分母有理化、二次根式的混合運算、新定義下的實數運算【分析】本題考查定義新運算，二次根式分母有理化，平方差公式等．（1）根據題意利用題中例子計算即可；故答案為：；三、解答題11．（遼寧省營口市、鞍山市部分學校20242025學年八年級下學期5月聯考數學試題）計算：【答案】(1)(2)4【知識點】利用二次根式的性質化簡、二次根式的混合運算【分析】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是關鍵．（1）化簡后合并同類二次根式即可；（2）先計算二次根式的乘除法，再計算加減法即可．12．（2425八年級下·河南三門峽·期中）計算【知識點】二次根式的除法、二次根式的混合運算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算和二次根式的除法計算，熟知二次根式的相關計算法則是解題的關鍵．（1）直接根據二次根式的除法計算法則求解即可；（2）先利用完全平方公式和二次根式乘法計算法則去括號，然后計算加減法即可得到答案．13．（2425八年級下·天津·期中）計算：(3)7【知識點】二次根式的混合運算、運用平方差公式進行運算【分析】本