第04講充分條件與必要條件本講義亮度：1構建知識體系明確學習目標，深入淺出，力求打扎實基礎；2例題經典力求熟練掌握各常考題型，提高分析能力；【題型一】判斷充分條件與必要條件【題型二】根據充分、必要條件求參數范圍【題型三】根據充要條件求參數【題型四】充要條件的證明3課后分層練習進一步鞏固所學內容.1.理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義；2.了解充分條件與判定定理、必要條件與性質定理的關系；3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題；4.能對充分條件進行證明.【題型一】判斷充分條件與必要條件相關知識點講解概念一般地，”若p，則q”為真命題，是指以p為已知條件通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果”若p，則q”和它的逆命題”若q，則p”均是真命題，②p是q的______條件(填寫是否充分、必要)完成此題型，可思考從左到右，若p?q則充分，若p?q則不充分；從右到左，若q?p則必要，若q?p則不必要.③從集合的角度理解－－小范圍推得出大范圍(1)命題p、q對應集合若A?B，則p?q，即p是q的充分條件；若A?B，則p?q，即p不是q的充分條件.注若A?B，則稱A為小范圍，B為大范圍.(2)結論若p是q的充分不必要條件，則A?B；②若p是q的必要不充分條件，則B?A；③若p是q的充分條件，則A?B；④若p是q的必要條件，則B?A.【典題1】（2025高二下·湖南株洲·學業考試）命題A：x是無理數，命題B：x2是無理數，則命題A是命題B的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】x是無理數，x2不一定是無理數，如x=2，x2=2；而故命題A是命題B的必要不充分條件.故選：B【典題2】（2425高一下·貴州貴陽·階段練習）已知集合A=1,4,m,B=1,m，則“m=4”是“A∪B=AA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】若A∪B=A，則B?A,分m=4與m=m討論，結合元素的互異性求出m，再根據充分條件與必要條件的定義即可判斷【詳解】若A∪B=A，則B?A.①若m=4，則m=2，則A=1,4,2,B=②若m=m，則m=0或m=1m=0時，A=1,4,0,B=1,0m=1時，與元素的互異性相矛盾，故舍去.綜上所述，若A∪B=A，m=0或m=4，所以“m=4”是“A∪B=A”的充分不必要條件.故選:A.變式練習1（2324高一上·甘肅白銀·期中）a=b是a2=bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由a2=b2等價于所以a=b是a2=故選：A.2（2425高一上·河南鄭州·階段練習）下列命題為真命題的是（

）A．“點P到圓心O的距離大于圓的半徑”是“點P在⊙O外”的必要不充分條件B．“兩個三角形的面積相等”是“這兩個三角形全等”的充分不必要條件C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等邊三角形”的充要條件D．“x，y為無理數”是“x+y為無理數”的既不充分也不必要條件【答案】D【知識點】充分條件的判定及性質、必要條件的判定及性質【分析】根據點和圓的位置關系可得選項A錯誤；舉例可說明選項B錯誤；根據等腰三角形和等邊三角形的關系可得選項C錯誤；舉例可說明選項D正確.【詳解】A.“點P到圓心O的距離大于圓的半徑”是“點P在⊙O外”的充要條件，選項A錯誤.B.若兩個直角三角形直角邊長分別為3,4和2,6，則兩個三角形的面積相等，但不能得到這兩個三角形全等，由“兩個三角形全等”可得“這兩個三角形的面積相等”，故“兩個三角形的面積相等”是“這兩個三角形全等”的必要不充分條件，選項B錯誤.C.由“等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等邊三角形”的必要不充分條件，選項C錯誤.D.若x=2,y=-2，則x，y若x+y=2為無理數，則x，y的值可能分別為2,0，不滿足x，故“x，y為無理數”是“x+y為無理數”的既不充分也不必要條件，選項D正確.故選：D.3（2025高三·全國·專題練習）已知集合A=1,a,B=1,2，則“a=2”是“A∩B=1,2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】由a=2，可得A=1,2，又B=1,2，所以由A∩B=1,2,A=1,a因此“a=2”是“A∩B=1,2”故選：A4（2324高一上·上海楊浦·開學考試）已知a,b∈R，若α:a2+b2=0,β:ab=0，則A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要【答案】A【知識點】必要條件的判定及性質、充分條件的判定及性質【分析】由充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】a2+b2=0時，有a=b=0，滿足ab=0ab=0時，有a=0或b=0，不能得到a2+b2=0，則所以α是β的充分非必要條件.故選：A【題型二】根據充分、必要條件求參數范圍【典題1】（2023·云南昆明·模擬預測）已知集合A=xx2-4=0，B=xax-2=0，若x∈A是A．-1,0,1 B．-1,1 C．1 D．-1【答案】A【分析】由題意，對集合B分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的a的值即可．【詳解】由題，A=-2,2，BA當B=?時，有a=0，符合題意；當B≠?時，有a≠0，此時B=2a，所以2a=2或綜上，實數a的所有可能的取值組成的集合為-1,0,1.故選：A.變式練習1（2324高一上·廣東佛山·階段練習）關于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數解的一個必要不充分條件的是（A．m<12 B．m≤14 C．【答案】A【分析】根據一元二次方程有解可得m≤14【詳解】關于x的一元二次方程x2則Δ=1-4m≥0，解得m≤結合選項可知m≤14的一個必要不充分條件的是故選：A.2（2324高一上·廣東佛山·階段練習）集合M=x-2<x<4，N=x-3<x<a，若x∈N的充分條件是x∈M，則實數A．-2,4 B．4,+∞ C．-3,4 D．【答案】B【分析】根據充分條件的定義可得M?N，結合集合間的關系即可求解.【詳解】由題意，因為“x∈N”的充分條件是“x∈M”，所以M?N，即(-2,4)?(-3,a)，解得a≥4，即實數a的取值范圍為[4,+∞故選：B3（2526高一上·全國·課后作業）已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0，且p是q的必要條件，則實數mA．0 B．2或-3 C．-12或13 D．0或【答案】D【詳解】解法1

x∣x2+x-6=0={2,-3}．因為p是q的必要條件，所以{x∣mx+1=0}{2,-3}．當{x∣mx+1=0}=?，即m=0時，符合題意；當{x∣mx+1=0}≠?時，由{x∣mx+1=0}{2,-3}，得-1m=2或-1m=-3，解得m=-1解法2（代入法）

x∣x2+x-6=0={2,-3}，當m=0時，{x∣mx+1=0}=?，符合題意；當m=-12時，4（2025·河南·模擬預測）已知集合A=x|3ax-2≤0，則使得“1∈A且2?A”成立的一個充分不必要條件是（

A．13<a<23 B．a<0 C．【答案】A【分析】當1∈A且2?A時求出a的取值范圍，然后根據充分不必要條件的定義可求出答案.【詳解】由題可知1∈A且2?A?3a-2≤06a-2>0，解得所以使得“1∈A且2?A”成立的一個充分不必要條件是集合a1因為只有選項A中的a13<a<故選：A【題型三】根據充要條件求參數相關知識點講解(1)充要條件的定義如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均為真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時p即是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.(2)充要條件的含義若p是q的充要條件，則q也是p的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同.(3)充要條件的等價說法：p是q的充要條件又常說成是p是q等價.(4)命題p、q對應集合A、B，若p是【典題1】（2324高一下·湖南·期末）已知集合M=1,2,3,N=x∈Z∣x-2≤a，若x∈M是x∈NA．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【知識點】根據充要條件求參數【分析】解絕對值不等式，根據x∈M是x∈N的充要條件，得到不等式，解得1≤a<2，得到答案.【詳解】x-2≤a?2-a≤x≤a+2由于x∈M是x∈N的充要條件，M=1,2,3所以0<2-a≤13≤2+a<4，解得1≤a<2故整數a=1.故選：D變式練習1．（2425高一上·廣東·期中）方程ax2+5x+4=0A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a<-1【答案】A【分析】根據一元二次方程根的情況，得到不等式組，求解即可.【詳解】由題知，25-16a>04a<0故選：A2．（2021高一上·江蘇連云港·階段練習）“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根”的充要條件是（A．a≤-2 B．a<-2C．a>2 D．a<-2或a>2【答案】B【分析】先求出一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根時a【詳解】解：∵一元二次方程x2設兩根分別為：x1故Δ=a解得：a<-2，故“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個不相等的正實根”的充要條件是故選：B.3（2223高一上·廣東東莞·階段練習）方程x2+kx+2=0與x2A．k=3 B．k=0 C．k=1 D．k=-3【答案】D【分析】先利用判別式求得k的取值范圍，然后結合充要條件的知識求得k的值.【詳解】方程x2+kx+2=0有實根，故解得k≤-22或k≥2方程x2+2x+k=0有實根，故解得k≤1.綜上所述，k≤-22，只有D選項符合若方程x2+kx+2=0與x2則x12+k由于k-2≠0，所以x1所以1+k+2=0,k=-3.當k=-3時，兩個方程分別為x2-3x+2=0、方程x2-3x+2=0的兩個根為方程x2+2x-3=0的兩個根為即方程x2+kx+2=0與x綜上所述，方程x2+kx+2=0與x2故選：D【題型四】充要條件的證明【典題1】（2025高三·全國·專題練習）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，求證：關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0【答案】證明見解析【知識點】充要條件的證明【分析】先證必要性，根據兩方程有公共根，探索a,b,c的關系，判斷三角形的形狀；再證充分性，根據A=90°得到a,b,c的關系，解兩個方程，可得它們有公共解.最后總結作答即可.【詳解】必要性：設方程x2+2ax+b2=0則m2+2am+b2=0，m2+2cm-b2將m=-a+c代入m2+2am+整理得a2=b充分性：當A=90°時，a2x2+2ax+b2=0所以方程x2+2ax+b2=0同理，由x2+2cx-b所以方程x2+2cx-b2=0顯然x1故關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0【典題2】．（2324高一上·重慶沙坪壩·期中）已知△ABC的三邊長為a,b,c，其中a=2.求證：△ABC為等邊三角形的充要條件是b2【答案】證明見解析【知識點】充要條件的證明【分析】根據題意，結合充分性和必要性的證明方法，結合多項式的化簡、運算，即可求解.【詳解】證明：充分性：當a=2時，多項式b2+c即a2+b則a-b2+b-c即a=b=c，△ABC為等邊三角形，即充分性成立；必要性：由△ABC為等邊三角形，且a=2，所以a=b=c=2，則b2+c2-2故△ABC為等邊三角形的充要條件是b2變式練習1（2425高一上·全國·課后作業）已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a3【答案】證明見解析【知識點】充要條件的證明【分析】先分清命題條件是a3+b3【詳解】①必要性：因為a+b=1.所以a+b-1=0.所以a3②充分性：因為a3所以a+b-1a2-ab+所以a≠0且b≠0.因為a2所以a+b-1=0，即a+b=1.綜上可得，當ab≠0時，a+b=1的充要條件是a32（2425高一上·廣東深圳·階段練習）已知m是實數，集合A=1,1m(1)若m=2，請寫出集合A的所有子集；(2)求證：“m=2”是“A∩B=0”【答案】(1)?，1，12，0，1,12，1,0，(2)證明見解析【知識點】求集合的子集（真子集）、充要條件的證明【分析】（1）結合子集的概念列出即可；（2）分別判斷充分性和必要性，結合集合的互異性判斷取值即可.【詳解】（1）若m=2，則A=1,12?，1，12，0，1,12，1,0，1（2）證明：若m=2，則A=1,12若A∩B=0，則0∈A，因為1m≠0解得m=1或m=2，當m=1時，1=1當m=2時，A=1,1所以“m=2”是“A∩B=0”的充要條件3（2425高一上·陜西咸陽·階段練習）已知A是R的非空真子集，如果對任意x,y∈A，都有x+y∈A,xy∈A，則稱A是封閉集．(1)判斷集合B=0(2)判斷“命題q：非空集合A1,A2是封閉集，則A1(3)若非空集合A是封閉集合，設全集為R，求證：A的補集不是封閉集．【答案】(1)B=0是封閉集；集合C=(2)命題q是真命題，理由見解析(3)證明見解析【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、充要條件的證明、集合新定義【分析】（1）根據封閉集的定義結合元素特征進行檢驗即可判斷；（2）先推充分性，由A1∩A2≠?可任取a,b∈A1（3）對非空集合A進行分類考慮，當A=R時，?RA=?，得證；當A≠R時，運用反證法思想，假設?RA【詳解】（1）B=0是封閉集，C=對于集合B=0，因0+0=0∈B,0×0=0∈B，故B=對于集合C=-1,0,1，因-1+故集合C=-1,0,1（2）命題q是真命題，理由如下：若A1∩A2≠?又集合A1是封閉集，則a+b∈A1因此a+b∈A1∩反之，若A1∩A2是封閉集，則故A1∩A2≠?（3）因非空集合A是封閉集合，當A=R時，?RA=?當A≠R時，假設?若0∈A，在?RA中任取一個x,x≠0，則否則-x∈?RA，此時x+因此(-x)2∈A,x2∈則當0∈A時，則?R同理當0∈?RA所以A的補集不是封閉集．【A組基礎題】1.（2025高一·全國·專題練習）“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．無法判斷 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，但菱形的對角線一定垂直.【詳解】“四邊形的對角線互相垂直”無法推出“四邊形是菱形”，反之，“四邊形是菱形”可以推出“四邊形的對角線互相垂直”，所以“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件．故選：B．2（2425高一上·遼寧·期中）“a=18”是“方程ax2+x+2=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】充分條件的判定及性質【分析】根據充分、必要性定義，根據條件間的推出關系判斷關系即可.【詳解】若a=18，對于ax當a=0時，方程有實數解x=-2，當a≠0時，則ax2+x+2=0有實數解，則Δ=1-4×a×2≥0,a≠0，可得所以“a=18”是“方程ax2故選：A3（2324高一上·貴州·階段練習）“x=1”是“x4-5x2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識點】必要條件的判定及性質、充分條件的判定及性質【分析】解x4-5【詳解】由x4-5x2+4=0，得x所以x=1時x4而x4-5x2+4=0時，故選：B4（2425高一上·廣東·期中）方程ax2+5x+4=0A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a<-1【答案】A【知識點】根據充要條件求參數【分析】根據一元二次方程根的情況，得到不等式組，求解即可.【詳解】由題知，25-16a>04a<0故選：A5（2425高一上·山東泰安·階段練習）已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．? D．m|2<m≤3【答案】A【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據充分不必要條件求參數【分析】分集合B是否為空集討論即可，當B≠?時，由集合間的包含關系求出；【詳解】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則B是A的真子集，當B=?時，m+1>2m-1，解得m<2；當B≠?時，m+1≥-22m-1≤5m+1≤2m-1，前兩個等號不能同時取得，解得綜上m的取值范圍是m|m≤3，故選：A.6（2425高一上·全國·課后作業）已知p:-4≤x-1≤6，q:-a+2≤x≤2+a，若p是q的充要條件，則實數a=．【答案】5【知識點】根據充要條件求參數【分析】根據充要條件列出等式求解即可.【詳解】因為p:-3≤x≤7，又q:-a+2≤x≤2+a，p是q的充要條件，所以-a+2=-3,2+a=7，解得實數a=5．故答案為：57（2024·河南·模擬預測）設函數y=a2x2+a2x+1，a∈R且【答案】證明見解析【知識點】充要條件的證明【分析】先求出函數的最小值，再分別證明充分性和必要性即可.【詳解】證明：因為a≠0，所以函數y=a2x所以ymin先證充分性：因為0<a≤2，且ymin再證必要性：因為對于?x∈R，a2x2+a2x+1≥0綜上可知，對于?x∈R，a2x28（2425高一上·江蘇南京·期中）已知集合A=a1,a2,??akk≥2，其中ai∈Zi=1,2,??k，由A中元素可構成兩個點集P和Q：P=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，Q=x,yx∈A,y∈A,x-y∈A，其中P中有m(1)已知集合J=0,2,4與集合K=-1,2,3和集合L=yy=x+2，判斷它們是否具有性質G，若有，則直接寫出其對應的集合(2)集合A具有性質G，若k=520，求：集合Q最多有幾個元素？(3)試判斷：集合A具有性質G是m=n的什么條件，并證明．【答案】(1)答案見解析(2)134940(3)充分不必要條件，證明見解析【知識點】列舉法表示集合、充要條件的證明、集合新定義【分析】（1）根據定義做出判斷，直接寫出集合P，Q.（2）利用定義，探討出k與n的關系式，再代入求值.（3）利用充分條件、必要條件的定義，結合集合P與Q集合個數的大小關系，推理得證.【詳解】（1）①集合0∈J，不符合定義，J不具有性質G；②集合K具有性質G，對應集合P=-1,3,3,-1③集合L不是整數集，所以不具有性質G．（2）依題意，集合A的元素構成有序數對(ai,aj由0?A，得(ai,ai)?Q，又當a∈A時，因此集合Q的元素個數不超過k2取A=1,2,?,520，則Q中元素的個數為134940所以Q中元素的個數最多為134940.（3）1）當集合A具有性質G時，①對于(a,b)∈P，由定義知：a∈A,b∈A,a+b∈A，又集合A具有性質G，則(a+b,a)∈Q，若(a,b),(c,d)是P中的不同元素，則a=c，b=d中至少有一個不成立，于是b=d，a+b=c+d中至少有一個不成立，因此(a+b,b),(c+d,d)也是Q中不同的元素，所以P的元素個數不多于Q的元素個數，即m≤n，②對于(a,b)∈Q，由定義知：a∈A,b∈A,a-b∈A，又集合A具有性質G，則(a-b,b)∈P，若(a,b),(c,d)是Q中的不同元素，則a=c，b=d中至少有一個不成立，于是b=d，a-b=c-d中至少有一個不成立，因此(a-b,b)和(c-d,d)也是P中不同的元素，即Q的元素個數不多于P的元素個數，即n≤m，由①②知m=n；2）集合A={-1,1,2,3}，則P={(-1,2),(2,-1),(-1,3),(3,-1),(1,1),(1,2),(2,1)}，Q={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,-1),(3,1),(2,-1)}，滿足m=n，而集合A不具有性質G，所以集合A具有性質G是m=n的充分不必要條件.【點睛】關鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結合相關的其它知識，分類討論，進行推理判斷解決.【B組提高題】1（2223高一上·廣東東莞·階段練習）方程x2+kx+2=0與x2A．k=3 B．k=0 C．k=1 D．k=-3【答案】D【知識點】根據充要條件求參數【分析】先利用判別式求得k的取值范圍，然后結合充要條件的知識求得k的值.【詳解】方程x2+kx+2=0有實根，故解得k≤-22或k≥2方程x2+2x+k=0有實根，故解得k≤1.綜上所述，k≤-22，只有D選項符合若方程x2+kx+2=0與x2則x12+k由于k-2≠0，所以x1所以1+k+2=0,k=-3.當k=-3時，兩個方程分別為x2-3x+2=0、方程x2-3x+2=0的兩個根為方程x2+2x-3=0的兩個根為即方程x2+kx+2=0與x綜上所述，方程x2+kx+2=0與x2故選：D2（2324高二下·江西南昌·階段練習）在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為k，即k=5n+kn∈A．2025∈B．-2∈C．ZD．整數a、b屬于同一“類”的充分不必要條件是“【答案】C【分析】求2025被5除的余數，判斷A，求-2被5除的余數，判斷B，根據新定義及集合相等的定義判斷C，結合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.【詳解】對于A，2025=405×5∈0，A對于B，-2=-1×5+3∈3，B對于C，每個整數除以5后的余數只有0,1,2,3,4，沒有其他余數，所以Z?0∪故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，C對于D，若a,b∈m則a=5n∴a-b=5若a-b∈0，則a-b=5p,p∈不妨設a∈t則a=5n所以b=5n3-p所以a,b除以5后余數相同，所以a,b屬于同一“類”所以整數a、b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈0”故選：C.3（2425高一上·山東淄博·期末）已知集合A?N*，若集合A中存在三個元素a,b,c，同時滿足:①a<b<c；②a+b>c；③a+b+c為偶數，則稱集合A具有性質P.已知集合Cn=1,2,3,?,2nn∈N*,n≥4，對于集合Cn的非空子集B，若Cn中存在三個互不相同的元素x,y,z，使得(1)若集合A=1,2,3,5，判斷集合A是否具有性質P(2)若集合B=3,4,d具有性質P，證明:集合B是集合C4的“期待子集(3)已知集合M是集合Cn的非空子集，證明:“集合M是集合Cn的‘期待子集’”是“集合M具有性質P”【答案】(1)A不具有性質P(2)證明見解析(3)證明見解析【知識點】充要條件的證明、集合新定義【分析】（1）根據給定的定義條件，進行判斷；（2）由性質P確