24.2解一元二次方程一、單選題【考點1】解一元二次方程★★配方法及其運用1．（2023·新疆·統考中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A．B． C． D．2．（2023·河北衡水·統考二模）某數學興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負責完成一個步驟，如圖所示，老師看后，發現有一位同學所負責的步驟是錯誤的，則這位同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是（

）A．B．C．D．4．（2010·江蘇泰州·中考真題）已知（m為任意實數），則P、Q的大小關系為（）A． B． C． D．不能確定【考點2】解一元二次方程★★公式法與因式分解解一元二次方程5．（2020·四川涼山·統考中考真題）一元二次方程的根是（

）A．B．C．，D．，6．（2021·貴州遵義·統考中考真題）在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝07．（2020·遼寧營口·中考真題）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解為（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝38．（2023·全國·九年級假期作業）若關于的一元二次方程有一個解為，則的值是（）A．1 B．3 C． D．4【考點3】一元二次方程定義★★根的判別式9．（2023·河南·統考中考真題）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根10．（2023·山東聊城·統考中考真題）若一元二次方程有實數解，則m的取值范圍是（

）A．B．C．且D．且11．（2023春·廣東深圳·八年級深圳外國語學校校考期末）若關于的一元二次方程有實數根，則可取的最大整數值為（）A．1 B．0 C． D．12．（2023春·浙江金華·八年級校聯考階段練習）已知關于x的方程有兩個實數解，求k的取值范圍（）A． B．且 C． D．且二、填空題【考點1】解一元二次方程★★配方法及其運用13．（2023·山東聊城·統考一模）將一元二次方程化成（a，b為常數）的形式，則ab＝．14．（2022·湖北荊州·統考中考真題）一元二次方程配方為，則k的值是．15．（2011·廣西崇左·中考真題）若為正實數，且，則=．16．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）若（為實數），則的最小值為．【考點2】解一元二次方程★★公式法與因式分解解一元二次方程17．（2020·江蘇揚州·中考真題）方程的根是．18．（2019·西藏·統考中考真題）一元二次方程的根是．19．（2021·江蘇宿遷·統考中考真題）方程的解是．20．（2020·貴州畢節·統考中考真題）關于的一元二次方程有一個根是，則的值是．【考點3】一元二次方程定義★★根的判別式21．（2013·甘肅蘭州·中考真題）若，且一元二次方程有實數根，則的取值范圍是．22．（2023·上海·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，那么a的取值范圍是．23．（2023·遼寧大連·校聯考二模）若關于x的一元二次方程恰有一個根小于0，則k的取值范圍是．24．（2023·遼寧遼陽·統考三模）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．

參考答案1．D【分析】方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方即計算即可．解：∵，∴，∴，∴，故選D．【點撥】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關鍵．2．D【分析】根據配方法解一元二次方程的步驟即可得出結果．解：∴解得：,丁同學是錯的，故選：D．【點撥】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．3．D【分析】先二次項化系數為1，將常數項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數的一半，即可求解．解：二次項化系數為1得：移項得：配方得：整理得：故選：D．【點撥】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．4．C解：Q-P=＞0，即，故選C.5．D【分析】首先移項，將方程右邊移到左邊，再提取公因式x，可得，再根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”，即可求得方程的解．解：，移項得：，因式分解得：，∴或，解得：，，故D正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題關鍵在于要根據方程的特點靈活選用合適的方法，本題運用的是因式分解法．6．B【分析】分別按照看錯的情況構建出一元二次方程，再舍去錯誤信息，從而可得正確答案.解：小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，所以此時方程為：即：小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，所以此時方程為：即：從而正確的方程是：故選：【點撥】本題考查的是根據一元二次方程的根構建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構建方程的方法是解題的關鍵.7．D【分析】利用因式分解法解方程．解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故選：D．【點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．8．C【分析】根據一元二次方程的解的定義，把代入一元二次方程可得到關于的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．解：把代入得，解得．故選：C．【點撥】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．9．A【分析】對于，當,方程有兩個不相等的實根，當,方程有兩個相等的實根，,方程沒有實根，根據原理作答即可．解：∵，∴，所以原方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．10．D【分析】由于關于的一元二次方程有實數根，根據一元二次方程根與系數的關系可知，且，據此列不等式求解即可．解：由題意得，，且，解得，，且.故選：D．【點撥】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根．11．C【分析】根據一元二次方程具有實數根，得到，求出k的取值范圍，再結合二次項系數不等于0，即可求出k的最大整數值．解：根據題意得：，且，解得：，則k可取的最大整數值為，故選：C．【點撥】本題主要考查了一元二次方程，熟練有實數根是以及二次項系數不等于0是解題的關鍵．12．D【分析】根據二次項系數非零及根的判別式以及二次根式有意義的條件，即可得出關于k的一元一次不等式組，然后求解即可解答．解：∵關于x的方程有兩個實數解，∴且，解得：且．故選：D．【點撥】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件等知識點，根據二次項系數非零及根的判別式，列出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．13．【分析】方程利用配方法整理后判斷即可求出a與b的值．解：方程，變形得：，配方得：，即，則，故，故答案為：．【點撥】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．14．１【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．解：∴故答案為：1．【點撥】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關鍵．15．【分析】由m-=3，得m2-3m-1=0，即(m-，因為m為正實數，可得出m的值，代入m2-，解答出即可；解：由m-=3得，得m2-3m-1=0，即(m-，∴m1=，因為m為正實數，∴m=；故答案為：3．16．【分析】運用配方法將變形為，然后根據非負數的性質求出的最小值即可．解：===∵為實數，∴∴的最小值為,故答案為：．【點撥】本題主要考查了配方法的應用，非負數的性質，解題時注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．17．【分析】兩邊開方，然后解關于的一元一次方程．解：由原方程，得．解得．故答案是：．【點撥】本題考查了解一元二次方程直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：；，同號且；；，同號且．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．18．．【分析】先計算判別式的值，然后利用求根公式解方程．解：，a=1，b=－1，c=－1，，，所以，故答案為．【點撥】本題考查了解一元二次方程，能夠根據方程特點靈活選用不同的解法是解題關鍵．19．，【分析】先把兩邊同時乘以，去分母后整理為，進而即可求得方程的解．解：，兩邊同時乘以，得，整理得：解得：，，經檢驗，，是原方程的解，故答案為：，．【點撥】本題考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟練掌握分式方程和一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．20．1【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根據一元二次方程成立滿足的條件進行取舍即可．解：∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；又0是該方程的一個根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．故答案為：1．【點撥】本題考查了一元二次方程的解．解此類題時，要擅于觀察已知的是哪些條件，從而有針對性的選擇解題方法．同時要注意一元二次方程成立必須滿足的條件，這是容易忽略的地方．21．且．【分析】首先根據非負數的定義求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判別式Δ＝b2﹣4ac≥0列出關于k的不等式，通過解該不等式即可求得k的取值范圍．解：∵，．∴一元二次方程為．∵一元二次方程有實數根，∴且．【點撥】本題綜合考查了非負數的性質、根的判別式．在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系．22．【分析】根據一元二次方程根的判別式可進行求解．解：∵關于x的一元二次方程沒有實數根，∴，解得：；故答案為：．【點撥】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關