福建省莆田市第二十五中學2015-2016學年高一上學期第二次月考數學試題一、選擇題要求：從每題給出的四個選項中，選出正確的一個。1.已知函數f(x)=x^3-3x，則f'(x)=_______。A.3x^2-3B.3x^2+3C.x^3-3D.x^3+32.下列函數中，y=2x+3是_______函數。A.倒數B.冪C.對數D.線性3.已知等差數列{an}，若a1=3，d=2，則第10項an=_______。4.已知等比數列{bn}，若b1=2，q=3，則第5項bn=_______。5.已知函數y=x^2-4x+4，則該函數的圖像是_______。A.頂點在y軸上的拋物線B.頂點在x軸上的拋物線C.頂點在原點上的拋物線D.頂點在第二象限的拋物線二、填空題要求：直接寫出答案。6.若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則a_______。7.若函數g(x)=x^3-3x的圖像與x軸的交點個數為_______。8.若等差數列{an}，若a1=5，d=-3，則第6項an=_______。9.若等比數列{bn}，若b1=4，q=1/2，則第4項bn=_______。10.若函數h(x)=(x-1)^2+2的圖像在x軸上的交點個數為_______。三、解答題要求：寫出解題過程，并給出最終答案。11.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求f'(x)。12.已知函數g(x)=3x^2-4x+1，求g(x)的圖像與x軸的交點。13.已知等差數列{an}，若a1=2，d=3，求第10項an。14.已知等比數列{bn}，若b1=5，q=2，求第6項bn。15.已知函數h(x)=x^2-4x+4，求h(x)的圖像與x軸的交點個數。四、解答題要求：根據題目要求，完成以下解答。16.已知函數f(x)=x^2+2x-3，求f(x)的圖像的頂點坐標。17.已知函數g(x)=2x^3-6x^2+3x+1，求g(x)的導數g'(x)。18.已知等差數列{an}，若a1=1，d=2，求前10項的和S10。19.已知等比數列{bn}，若b1=3，q=1/3，求前5項的和S5。20.已知函數h(x)=(x-2)^2+1，求h(x)的圖像的對稱軸方程。五、證明題要求：根據題目要求，完成以下證明。21.證明：若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則a>0。22.證明：若函數g(x)=x^3-3x的圖像與x軸的交點個數為1。23.證明：若等差數列{an}，若a1=5，d=-3，則第n項an=-3n+8。24.證明：若等比數列{bn}，若b1=4，q=1/2，則第n項bn=2^(2-n)。25.證明：若函數h(x)=x^2-4x+4的圖像在x軸上的交點個數為1。六、應用題要求：根據題目要求，完成以下應用題。26.已知某商品原價為x元，若降價10%，則售價為0.9x元。求售價與原價的關系式，并求出當原價為100元時的售價。27.已知一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，行駛了t小時后，汽車行駛的距離為d公里。求汽車行駛距離與時間的關系式，并求出當行駛了2小時時的距離。28.已知某班級有50名學生，其中男生人數是女生人數的2倍。求男生和女生的人數。29.已知某工廠生產一批產品，每件產品需要加工時間為5分鐘。若每天工作8小時，求一天內能加工多少件產品。30.已知某城市人口增長率為每年2%，若該城市現有人口為10萬人，求10年后該城市的人口數量。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.3x^2-3解析：根據導數的定義，對函數f(x)=x^3-3x求導得到f'(x)=3x^2-3。2.D.線性解析：線性函數的一般形式為y=mx+b，其中m和b為常數。因此，y=2x+3是線性函數。3.19解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3和d=2，得到第10項an=3+(10-1)*2=19。4.162解析：等比數列的通項公式為bn=b1*q^(n-1)，代入b1=2和q=3，得到第5項bn=2*3^(5-1)=162。5.A.頂點在y軸上的拋物線解析：函數y=x^2-4x+4可以寫成完全平方形式(y-4)=(x-2)^2，因此頂點在(2,4)，位于y軸上。二、填空題6.>0解析：函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，意味著a的值必須大于0。7.1解析：函數g(x)=x^3-3x的圖像與x軸的交點個數為1，因為該函數是一個三次函數，只有一個實根。8.-7解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=5和d=-3，得到第6項an=5+(6-1)*(-3)=-7。9.1解析：等比數列的通項公式為bn=b1*q^(n-1)，代入b1=4和q=1/2，得到第4項bn=4*(1/2)^(4-1)=1。10.1解析：函數h(x)=(x-1)^2+2的圖像是一個頂點在(1,2)的拋物線，且頂點在x軸上方，因此與x軸的交點個數為1。三、解答題11.f'(x)=6x^2-6x+1解析：對函數f(x)=2x^3-3x^2+x+1求導，得到f'(x)=6x^2-6x+1。12.交點：(1,0)和(1/3,0)解析：令g(x)=0，解方程3x^2-4x+1=0，得到x=1和x=1/3，因此交點為(1,0)和(1/3,0)。13.an=-3n+11解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2和d=3，得到第10項an=2+(10-1)*3=-3n+11。14.bn=2^(2-n)解析：等比數列的通項公式為bn=b1*q^(n-1)，代入b1=5和q=2，得到第6項bn=5*2^(6-1)=2^(2-n)。15.1解析：函數h(x)=x^2-4x+4可以寫成完全平方形式(y-4)=(x-2)^2，因此與x軸的交點個數為1。四、解答題16.頂點坐標：(2,-3)解析：函數f(x)=x^2+2x-3可以寫成完全平方形式(y+3)=(x+1)^2，因此頂點坐標為(-1,-3)。17.g'(x)=6x^2-12x+3解析：對函數g(x)=2x^3-6x^2+3x+1求導，得到g'(x)=6x^2-12x+3。18.S10=10*(a1+an)/2解析：等差數列前n項和的公式為S_n=n*(a1+an)/2，代入a1=1和d=2，得到S10=10*(1+(-3n+11))/2。19.S5=b1*(q^5-1)/(q-1)解析：等比數列前n項和的公式為S_n=b1*(q^n-1)/(q-1)，代入b1=3和q=1/3，得到S5=3*(1/3^5-1)/(1/3-1)。20.對稱軸方程：x=2解析：函數h(x)=(x-2)^2+1的圖像是一個頂點在(2,1)的拋物線，對稱軸是x=2。五、證明題21.證明：若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則a>0。解析：由二次函數的性質，當a>0時，函數的圖像開口向上。因此，若f(x)的圖像開口向上，則a必須大于0。22.證明：若函數g(x)=x^3-3x的圖像與x軸的交點個數為1。解析：函數g(x)=x^3-3x可以分解為g(x)=x(x^2-3)，因此g(x)的圖像與x軸的交點個數為1。23.證明：若等差數列{an}，若a1=5，d=-3，則第n項an=-3n+8。解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=5和d=-3，得到an=5-3(n-1)=-3n+8。24.證明：若等比數列{bn}，若b1=4，q=1/2，則第n項bn=2^(2-n)。解析：等比數列的通項公式為bn=b1*q^(n-1)，代入b1=4和q=1/2，得到bn=4*(1/2)^(n-1)=2^(2-n)。25.證明：若函數h(x)=x^2-4x+4的圖像在x軸上的交點個數為1。解析：函數h(x)=(x-2)^2+1是一個完全平方的二次函數，其頂點在x軸上方，因此與x軸的交點個數為1。六、應用題26.售價與原價的關系式：0.9x=100，解得x=100/0.9，當原價為100元時，售價為100/0.9=111.11元。解析：根據題意，售價是原價的90%，即0.9x，代入原價100元，解得售價。27.行駛距離與時間的關系式：d=60t，當t=2時，d=60*2=120公里。解析：根據題意，行駛距離d與時間t成正比，比例系數為速度60公里/小時，因此關系式為d=60t。28.男生人數：50/(1+2)*2=40人，女生人數：50-40=10人。解析：根據題意，男生人數是女生人數的2倍，設女生人數為n，則男生人數為2n，總人數為n+2n=3n，解得n=10，因此男生人數為40人