山東省濟南市2025屆高三下學期3月模擬考試數(shù)學試題1．已知集合A=xlog2x<1，A．?∞,1 B．0,1 C．?∞2．設(shè)復數(shù)z滿足1+z2?i=i（i為虛數(shù)單位），則A．2i B．?2i C．?2+2i D．?2?2i3．若直線l1：m?2x+3y+3=0與直線l2：2x+A．4 B．?4 C．1或?4 D．?1或44．若數(shù)列an各項均為正數(shù)，則“an為等比數(shù)列”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．拋物線y=xA．?1,32 B．?1,54 C．6．已知函數(shù)fx=eA．?∞,1 B．1,+∞ C．?7．已知圓臺的側(cè)面展開圖是半個圓環(huán)，側(cè)面積為4π，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為（）A．π B．2π C．4π D．8π8．已知0<α<β<πA．sinα?sinβ<α?β B．C．αsinβ<βcos9．為了驗證牛的毛色（黑色、紅色）和角（有角、無角）這兩對相對性狀是否相關(guān)，某學院進行了一次數(shù)據(jù)統(tǒng)計，并根據(jù)形成的2×2列聯(lián)表，計算得到χ2≈2.727，根據(jù)小概率值為附：P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A．若α=0.100，則認為“毛色”和“角”無關(guān)B．若α=0.100，則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過10%C．若α=0.010，則認為“毛色”和“角”無關(guān)D．若α=0.010，則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過1%10．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點，OA．OHB．OHC．△OHF2D．△HF11．已知遞增數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且滿足aA．a(chǎn)a1=3 B．a(chǎn)n>n 12．將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．函數(shù)fx=sin14．已知正四面體ABCD的棱長為22，動點P滿足PA215．某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為78，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為12.已知輸入的問題表達不清晰的概率為（1）求智能客服的回答被采納的概率；（2）在某次測試中輸入了3個問題（3個問題相互獨立），設(shè)X表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求X的分布列、期望及方差.16．如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，點P在線段BE上.（1）求證：平面ACP⊥平面ABF；（2）當直線AP與平面BCE所成角的正弦值為32114時，求17．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，O為坐標原點，過（1）求C的方程；（2）過P作直線x=1的垂線，垂足為N.（i）證明：直線QN過定點；（ii）求△OQN面積的最小值.18．已知a,b∈R，函數(shù)fx=e（1）當a=0時，求fx（2）若fx（i）當b=0時，求a的取值范圍；（ii）求證：a219．如圖，已知給定線段B1C1長為2，以B1C1為底邊作頂角為θ0°<θ≤90°的等腰三角形A1B1C1，取△A1B1C1的腰A1B1的三等分點B2，C2（B2靠近A1），以B（1）用θ表示出△A（2）當θ=60°時，證明：△A（3）若△AnBnC

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，

則B={x|x<1}故答案為：B.【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出集合A，再結(jié)合已知條件和交集的運算法則得出集合A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=i2?i故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件和復數(shù)的混合運算法則得出復數(shù).3．【答案】D【解析】【解答】解：若直線l1：m?2x+3y+3=0與直線l2則m?2m?1=3×2=6，

整理可得m2?3m?4=0，解得若m=4，直線l1：2x+3y+3=0與直線l2：若m=?1，直線l1：x?y?1=0與直線l2：綜上所述：m=4或m=?1.故答案為：D.【分析】根據(jù)直線一般方程的平行關(guān)系求出m的值，再代入檢驗得出滿足要求的m的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：在數(shù)列an中，an>0，數(shù)列an為等比數(shù)列，

令其公比為q(q>0)，

則an=a1q反之，lnan為等差數(shù)列，

令其公差為d，則lna因此數(shù)列an所以“an為等比數(shù)列”是“l(fā)n故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件和等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，再結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，從而找出正確的選項.5．【答案】B【解析】【解答】解：因為y=(x+1)2+1，又∵y=∴y=(x+1)2焦點為則y=(x+1)2+1故答案為：B．【分析】根據(jù)y=x2的焦點為0,16．【答案】A【解析】【解答】解：當x>0時，fx=1?ex，當x<0時，fx=e?x?1當x=0時，fx=0，所以易知fx為R則f2x所以，原不等式的解集為?∞故答案為：A.【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，從而得出不等式f2x7．【答案】B【解析】【解答】解：如圖：設(shè)展開圖小圓半徑和大圓半徑分別為r,R，則圓臺側(cè)面積S=π2R上底面半徑r1=πr圓臺上下底面面積之差的絕對值為πR故答案為：B.【分析】由圓臺的側(cè)面積公式建立等式，從而分別寫出上、下底面面積，作差后代入可得到圓臺上下底面面積之差的絕對值.8．【答案】D【解析】【解答】解：對于A，令fx=sinx?x,x∈0,所以fx在0,12所以sinα?α>對于B，令gx=tanx?x，所以gx在0,12π上單調(diào)遞增，對于C，因為0<α<β<π2，令α=π3,β=βcos因為26+2對于D，令mx=tanx?x當x∈π3,12當x∈π6,13π時，cos2x∈14,當x∈0,π6因為43>π3且區(qū)間對應(yīng)每一個值都使得1cos綜上所述，m'x>0在0,12π上恒成立，

則故答案為：D.

【分析】令fx=sinx?x,x∈0,π2，求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，則判斷出選項A；令gx=tanx?x9．【答案】B,C【解析】【解答】解：對于A、B，若α=0.100，因為2.706<2.727，

則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過10%，故A錯、B對；對于C、D，若α=0.010，因為6.635>2.727，

則認為“毛色”和“角”無關(guān)，故C對、D錯.故答案為：BC.

【分析】根據(jù)獨立性檢驗的判斷原則，從而逐項判斷找出正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：如圖所示：對于A，因為OH+對于B，由三角形中位線得OH=12PF1，因為當點P在第二三象限時，對于C，因為OH+HF當點P在上頂點時，θ最大，所以0<θ≤π3，則所以0<S△PF設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，又因為S△OH所以△OHF2內(nèi)切圓半徑的最大值為對于D，設(shè)△HF1F2的外接圓半徑為R，故答案為：ACD.

【分析】由橢圓的定義和中位線的性質(zhì)，則判斷出選項A；由橢圓的性質(zhì)，令點P在第二三象限時，從而判斷出選項B；由焦點三角形的面積公式結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)，則判斷出選項C；由正弦定理判斷出選項D，從而找出正確的選項.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，在原式中，令n=1，則aa對于B，若an≤n，∵an單調(diào)遞增，

則aan≤對于C，由an>n得aan>∵a1∈N?令n=2?a3=6，因為遞增數(shù)列a對于D，由a1=2,a2=3,a3∴a4=7,a5=8，

令n=6?a則當9≤n≤18時，an=n+9，a7則當27≤n≤54時，an=n+27,?,3當k=6時，36≤n≤2?3在原式中，令n=1296?a同理，由a16故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件代入n=1計算判斷出選項A；利用反證法判斷出選項B，通過不斷代入得到a3=6，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷選項C；通過代入，歸納總結(jié)得到當3k≤n≤2?312．【答案】30【解析】【解答】解：第一步選2個空給兩個1有C5第二步選剩下的3個空給兩個3有C3最后剩一個空排5即可，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有C5故答案為：30.【分析】先給兩個1找兩個位置，然后給兩個3找兩個位置，最后剩的一個位置排5，再結(jié)合分步乘法計數(shù)原理得出不同的排法種數(shù).13．【答案】?1【解析】【解答】解：當sinx≥0時，即當2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z時，

則f當sinx<0時，即當2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈Z則fx所以fx作出函數(shù)fx所以，當x=2kπ+π,k∈Z故答案為：?1.

【分析】根據(jù)已知條件，對sinx≥0和sinx<0分類討論，再作出分段函數(shù)fx14．【答案】2【解析】【解答】解：建系如圖：

設(shè)四個頂點為A(1,1,1),B(?1,?1,1),C(?1,1,?1),D(1,?1,?1)，每條棱長均為22，

設(shè)動點P(x,y,z)則PAPBPCPDPAPC因為PA所以z=0，即所有滿足條件的點P構(gòu)成的平面為z=0平面（xoy平面），

又因為A,B,C,D為正方體的頂點，且該正方體的中心為原點，由圖形的對稱性可得棱AC交于(0,1,0)，

棱AD交于(1,0,0)，棱BC交于(?1,0,0)，棱BD交于(0,?1,0)，截面四邊形的頂點為(0,1,0),(1,0,0),(?1,0,0),(0,?1,0)，在xoy平面上形成一個菱形，其對角線的長度為2，故面積為2.故答案為：2.

【分析】設(shè)四個頂點為A(1,1,1),B(?1,?1,1),C(?1,1,?1),D(1,?1,?1)，根據(jù)PA15．【答案】（1）解：設(shè)A=“智能客服的回答被采納”，B=“輸入的問題表達不清晰”，

依題意，得出P(B)=15,P(B)=45，P(A|B)=12（2）解：依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，則X～B(3,4P(X=0)=CP(X=2)=C所以X的分布列為：X0123P1124864數(shù)學期望E(X)=3×45=【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式得出智能客服的回答被采納的概率.（2）利用已知條件求出X的可能值，結(jié)合二項分布得出對應(yīng)的概率，從而列出隨機變量X的分布列，再由二項分布得出隨機變量X的數(shù)學期望和方差.（1）設(shè)A=“智能客服的回答被采納”，B=“輸入的問題表達不清晰”，依題意，P(B)=15,P(因此P(A)=P(B)P(A|B)+P(B所以智能客服的回答被采納的概率為45（2）依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，X～B(3,4P(X=0)=CP(X=2)=C所以X的分布列為：X0123P1124864數(shù)學期望E(X)=3×45=16．【答案】（1）證明：在正方形ADEF中，AF⊥AD，

因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以AF⊥平面ABCD，

又因為AC?平面ABCD，

所以AF⊥AC，過點A作AH⊥BC，

則BH=1，AH=3，CH=3，所以AC=23所以AB2+AC2=BC所以AC⊥平面ABF，

又因為AC?平面ACP，

所以平面ACP⊥平面ABF.（2）解：由（1）知AF,AB,AC兩兩互相垂直，

分別以AB,AC,AF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖：則A0,0,0,B2,0,0,C0,23,0,E?1,3,2，

設(shè)BPPE=λλ>0，則所以BC=?2,2設(shè)平面BCE的法向量為n=x,y,z，

則令y=1，得n=設(shè)直線AP與平面BCE所成角為θ，所以sin解得λ=12或λ=57，所以【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明（2）由（1）知AF,AB,AC兩兩互相垂直，從而建立空間直角坐標系，求出平面BCE的法向量n，設(shè)BPPE=λλ>0得出點P的坐標，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出λ（1）證明：由正方形ADEF有AF⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以AF⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以AF⊥AC，過點A作AH⊥BC，則BH=1，AH=3，CH=3，所以AC=2所以AB2+AC2所以AC⊥平面ABF，又AC?平面ACP，所以平面ACP⊥平面ABF；（2）由（1）知AF,AB,AC兩兩互相垂直，分別以AB,AC,AF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖：則有A0,0,0,B2,0,0,C0,23,0則有a?2,b,c=λ?1?a,3?b,2?c，解得所以BC=?2,2設(shè)平面BCE的法向量為n=x,y,z，則有令y=1，得n=設(shè)直線AP與平面BCE所成角為θ，所以sinθ=解得λ=12或所以BPPE=117．【答案】（1）解：由題意得出，ca=2且a2+當直線l⊥x軸時，PQ=22，

不妨令P(2所以a2=b2=2（2）（i）證：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2聯(lián)立雙曲線方程，并整理得(m2?1)y2所以y1由x2≠1，直線根據(jù)雙曲線的對稱性，直線NQ所過定點必在x軸上，令y=0，則y2因為x2=my又因為y1+y2y所以NQ過定點M(32,0).由（i）可知m2?1≠08(令t=m2?1∈[?1,0)，

因為1t∈(?∞,?1]，故綜上所述，S△OQN的最小值為3【解析】【分析】（1）由雙曲線的離心率公式和雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而得出a=b,c=2a，再結(jié)合已知條件，令（2）（i）設(shè)P(x1,y1),Q(x2,（ii）利用三角形面積公式、弦長公式結(jié)合0≤m2<1（1）由題設(shè)ca=2且a由l⊥x軸時，PQ=22，不妨令P(2所以a2=b（2）（i）設(shè)P(x1,y1),Q(x聯(lián)立雙曲線并整理得(m2?1)所以y1由x2≠1，直線根據(jù)雙曲線的對稱性，直線NQ所過定點必在x軸上，令y=0，則y2因為x2=my而y1+y所以NQ過定點M(3（ii）由S△OQN由（i），m2?1≠08(令t=m2?1∈[?1,0)由1t∈(?∞,?1]，故綜上，S△OQN的最小值為318．【答案】（1）解：當a=0時，f'當b≤1時，f'x≥0，函數(shù)fx單調(diào)遞增，當b>1時，x∈0,lnb，f'x<0，函數(shù)fx單調(diào)遞減；

x∈則函數(shù)fx的極小值是b?blnb（2）（i）解：當b=0時，

因為函數(shù)fx存在零點，故e若x=0，此時無解，

所以x>0，gx=ex①若a≤0,gx單調(diào)遞增，g②若a>0，令?(x)=2exx?a，由零點存在定理可知存在x0所以gx在0,x0故g(x)min=ex0?a（ii）證：因為函數(shù)fx存在零點，

所以fx=ex若x0=0，則1?a×0?b×0=0，該式不成立，故故ax0+ba2+b2表示原點與直線a2+b2≥當x0>0時，要證a2+b即證e2令gx=e2x?2令?x=e2x?2x?1，x>0，

故?'x即g'x>0,g故gx>g0=1，

則【解析】【分析】（1）利用a的值求導得出f'x=ex（i）先利用已知條件轉(zhuǎn)化得出ex=ax有解，再設(shè)g（ⅱ）先利用已知條件分析得a2+b2表示原點與直線ax0+b（1）a=0時，f'當b≤1時，f'x≥0當b>1時，x∈0,lnb，f'x<0，函數(shù)fx單調(diào)遞減，x∈函數(shù)fx的極小值是b?blnb（2）（?。┊攂=0時，因為函數(shù)fx存在零點，故e若x=0，此時無解，所以x>0，gx=e①若a≤0,gx單調(diào)遞增，g②若a>0，令?(x)=2exx?a，由零點存在定理可知存在x0所以gx在0,x0故g(x)min=ex（ⅱ）因為函數(shù)fx存在零