高中數(shù)學高考專題03圓錐曲線中的中點弦問題(解析版)一、選擇題1.在平面直角坐標系中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上存在點$P$，若$OP$的中點$M$在直線$y=2x$上，則$a$的取值范圍是：A.$0<a<1$；B.$1<a<\sqrt{2}$；C.$\sqrt{2}<a<2$；D.$a>2$。2.設橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左頂點為$A$，過$A$作直線$x=1$與橢圓交于$B$、$C$兩點，$AB$的中點為$M$，則$|OM|$的最小值是：A.$\frac{b^2}{a}$；B.$\frac{b^2}{a}+\sqrt{2}$；C.$\frac{b^2}{a}-\sqrt{2}$；D.$\frac{b^2}{a}$或$\frac{b^2}{a}-\sqrt{2}$。二、填空題3.在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，若點$P(x_0,y_0)$到橢圓兩焦點的距離之和等于$2a$，則$P$的軌跡方程是__________。4.在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$中，若$AB$是雙曲線的左支上的一條弦，且$AB$的中點$M$到雙曲線中心的距離為$c$，則$|AB|$的最小值是__________。三、解答題5.（1）已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左頂點為$A$，過$A$作直線$x=1$與橢圓交于$B$、$C$兩點，$AB$的中點為$M$，求$|OM|$的最大值和最小值。（2）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右頂點為$A$，過$A$作直線$x=1$與雙曲線交于$B$、$C$兩點，$AB$的中點為$M$，求$|OM|$的最大值和最小值。四、證明題要求：證明在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，若點$P(x_0,y_0)$在橢圓上，則$OP$的中點$M$的軌跡是橢圓的內(nèi)部或邊界。六、計算題要求：計算雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$上，滿足$x+y=1$的弦的中點到雙曲線中心的距離的最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析：由橢圓的定義知，點$P$到橢圓兩焦點的距離之和等于橢圓的長軸的長度，即$2a$。由于$OP$的中點$M$在直線$y=2x$上，所以$M$的坐標可以表示為$(\frac{x_0}{2},\frac{y_0}{2})$。將$M$的坐標代入直線方程得$\frac{y_0}{2}=2\cdot\frac{x_0}{2}$，即$y_0=x_0$。因此，$P$點的坐標滿足$y=x$。將$y=x$代入橢圓方程得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$。由于$a>b>0$，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{a^2}<1$，解得$1<a<\sqrt{2}$。2.答案：B解析：點$A$為橢圓的左頂點，坐標為$(-a,0)$。直線$x=1$與橢圓相交，設交點為$B(1,y_1)$和$C(1,y_2)$，其中$y_1>y_2$。點$M$為$AB$的中點，坐標為$(\frac{1-a}{2},\frac{y_1}{2})$。由于$M$在直線$x=1$上，所以$\frac{1-a}{2}=1$，解得$a=-1$。將$a=-1$代入橢圓方程得$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即$x^2+y^2=b^2$。點$M$到橢圓中心的距離為$c=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，所以$|OM|=1$。二、填空題3.答案：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$x^2+y^2=a^2$。解析：由于點$P$到橢圓兩焦點的距離之和等于$2a$，根據(jù)橢圓的定義，$P$的軌跡是橢圓。設橢圓的兩焦點為$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，點$P$到兩焦點的距離之和等于$2a$，即$PF_1+PF_2=2a$。由于$M$是$OP$的中點，所以$OM$是$PF_1$和$PF_2$的中位線，因此$OM=\frac{1}{2}(PF_1+PF_2)=a$。所以$P$的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。4.答案：$2\sqrt{2}c$。解析：由于$AB$的中點$M$到雙曲線中心的距離為$c$，且$AB$是雙曲線的左支上的一條弦，所以$AB$的長度等于$2\sqrt{a^2+b^2}$。由于$M$是$AB$的中點，所以$|OM|=c$，且$|OB|=|OA|=c$。根據(jù)勾股定理，$|AB|^2=|OB|^2+|OM|^2=2c^2$，所以$|AB|=2\sqrt{2}c$。三、解答題5.（1）解析：點$A$為橢圓的左頂點，坐標為$(-a,0)$。直線$x=1$與橢圓相交，設交點為$B(1,y_1)$和$C(1,y_2)$，其中$y_1>y_2$。點$M$為$AB$的中點，坐標為$(\frac{1-a}{2},\frac{y_1}{2})$。由于$M$在直線$x=1$上，所以$\frac{1-a}{2}=1$，解得$a=-1$。將$a=-1$代入橢圓方程得$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即$x^2+y^2=b^2$。點$M$到橢圓中心的距離為$c=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，所以$|OM|=1$。（2）解析：點$A$為雙曲線的右頂點，坐標為$(a,0)$。直線$x=1$與雙曲線相交，設交點為$B(1,y_1)$和$C(1,y_2)$，其中$y_1>y_2$。點$M$為$AB$的中點，坐標為$(\frac{1+a}{2},\frac{y_1}{2})$。由于$M$在直線$x=1$上，所以$\frac{1+a}{2}=1$，解得$a=-1$。將$a=-1$代入雙曲線方程得$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{b^2}=1$，即$x^2-y^2=b^2$。點$M$到雙曲線中心的距離為$c=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，所以$|OM|=1$。四、證明題解析：設點$P(x_0,y_0)$在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，且$OP$的中點為$M(x,y)$。由于$M$是$OP$的中點，所以$x=\frac{x_0}{2}$，$y=\frac{y_0}{2}$。將$x$和$y$代入橢圓方程得$\frac{(\frac{x_0}{2})^2}{a^2}+\frac{(\frac{y_0}{2})^2}{b^2}=1$，即$\frac{x_0^2}{4a^2}+\frac{y_0^2}{4b^2}=1$。由于點$P$在橢圓上，所以$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。因此，$M$的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即橢圓的內(nèi)部或邊界。六、計算題解析：設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上，滿足$x+y=1$的弦的中點為$M(x_0,y_0)$。由于$M$是弦的中點，所以$x_0=\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$。將$x_0$代入$x+y=1$得$y_0=\frac{1}{2}$。將$x_0$和$y_0$代入雙曲線方程得$\frac{(\frac{1}{2})^2}{a^2}-\frac{(\frac{1}{2})^2}{b^2}=1$，即$\frac{1}{4a^2}-\frac{1}{4b^2}=1$。由于$b^2=a^2+e^2a^2$，其中$