2025年高考數學一輪復習-一元函數的導數及其應用(基礎鞏固卷)【含答案】一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設函數\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(x)\)的零點為：A.\(x=0\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)D.\(x=3\)2.函數\(y=x^2-4x+3\)的圖像在區間\((0,2)\)內：A.單調遞增B.單調遞減C.有極大值D.有極小值二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.設函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4\)，則\(f'(1)=\)______。4.若函數\(f(x)=x^2+ax+b\)在\(x=1\)處取得極值，則\(a\)的值為______。三、解答題要求：解答下列各題。5.已知函數\(f(x)=\frac{1}{x}-\lnx\)（\(x>0\)），求：（1）函數\(f(x)\)的定義域；（2）求\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)；（3）求\(f(x)\)在\(x=1\)處的導數值\(f'(1)\)；（4）求\(f(x)\)在\(x=1\)處的極值。6.已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求：（1）函數\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)；（2）求\(f(x)\)的單調區間和極值點；（3）求\(f(x)\)的最大值和最小值。四、計算題要求：直接寫出計算結果，無需寫出中間步驟。7.已知函數\(f(x)=\sqrt{x}-2\lnx\)（\(x>0\)），求\(f'(x)\)的表達式。8.若函數\(f(x)=e^x-\frac{1}{x}\)在\(x=2\)處取得極值，求\(f'(2)\)的值。五、應用題要求：根據題目要求，寫出解題步驟和答案。9.已知函數\(f(x)=x^3-9x\)，求：（1）函數\(f(x)\)的導數\(f'(x)\)；（2）求\(f(x)\)的單調區間和極值點；（3）求\(f(x)\)的最大值和最小值。六、證明題要求：寫出證明過程，無需寫出結論。10.證明：若函數\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=a\)處取得極值，則\(f'(a)=0\)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=1\)。所以\(f'(x)\)的零點為\(x=-1\)。2.A解析：\(y'=2x-4\)，當\(x\in(0,2)\)時，\(y'>0\)，所以函數在區間\((0,2)\)內單調遞增。二、填空題3.2解析：\(f'(x)=6x^2-6x\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=6\times1^2-6\times1=0\)。4.-2解析：因為\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極值，所以\(f'(1)=0\)，即\(2\times1-2a=0\)，解得\(a=-2\)。三、解答題5.（1）定義域為\((0,+\infty)\)；（2）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\)；（3）\(f'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{1}=-2\)；（4）\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極小值，極小值為\(f(1)=1-\ln1=1\)。6.（1）\(f'(x)=3x^2-6x\)；（2）\(f'(x)\)在\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)上大于0，在\((0,2)\)上小于0，所以\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)上單調遞增，在\((0,2)\)上單調遞減，極值點為\(x=0\)和\(x=2\)；（3）\(f(0)=4\)，\(f(2)=4-12+4=-4\)，所以\(f(x)\)的最大值為4，最小值為-4。四、計算題7.\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x}\)解析：\(f(x)=\sqrt{x}-2\lnx\)，\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x}\)。8.\(f'(2)=e^2-\frac{1}{2}\)解析：\(f(x)=e^x-\frac{1}{x}\)，\(f'(x)=e^x+\frac{1}{x^2}\)，代入\(x=2\)得\(f'(2)=e^2-\frac{1}{2}\)。五、應用題9.（1）\(f'(x)=3x^2-9\)；（2）\(f'(x)\)在\((-\infty,-3)\)和\((3,+\infty)\)上大于0，在\((-3,3)\)上小于0，所以\(f(x)\)在\((-\infty,-3)\)和\((3,+\infty)\)上單調遞增，在\((-3,3)\)上單調遞減，極值點為\(x=-3\)和\(x=3\)；（3）\(f(-3)=-18\)，\(f(3)=-18\)，所以\(f(x)\)的最大值為-18，最小值為-18。六、證明題10.證明：已知\(f(x)=x^3-3x\)，\(f'(x)=3x^2-3\)，若\(f(x)\)在\(x