1第2講拋體運動投壺是古人宴會時禮節性的游戲。若將箭水平投出,不計箭所受空氣阻力,請思考:(1)投出的箭做什么性質的運動?通常如何來研究和處理該運動?(2)箭的下落時間和水平位移分別由哪些因素決定?**1.關于平拋運動,下列說法正確的是()[A]拋出點離地面越高,物體落地時間一定越長[B]初速度越大,物體在空中運動的時間越長[C]物體落地時的水平位移與物體的初速度無關[D]物體落地時的水平位移與物體拋出點的高度無關【答案】A2.2024年4月20日,在世界田聯鉆石聯賽廈門站女子鉛球比賽中,中國選手以19.72m的成績奪得冠軍。若把鉛球的運動簡化為如圖所示的模型:鉛球從離水平地面一定高度的O點被拋出,拋出時的速度大小為v0、方向與水平方向的夾角為θ,經過一段時間鉛球落地,落地時的速度方向與水平方向的夾角為α,不計空氣阻力,重力加速度大小為g。下列說法正確的是()[A]鉛球上升到最高點的速度為零[B]鉛球上升到最高點的加速度為零[C]鉛球落地時的速度大小為[D]鉛球落地時的速度大小為【答案】C2【答案】水平重力勻變速拋物線勻速自由落體gtv0tgt2x2+y2斜向上方重力勻變速拋物線v0cosθv0sinθ-gt3考點一對平拋運動的理解及應用(1)無人機在距離水平地面高度h處,以速度v0水平勻速飛行并釋放一包裹,不計空氣阻力,重力加速度為g。包裹在下落過程中速度的變化量有什么特點?提示:因為平拋運動的加速度為重力加速度g恒定不變,所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度變化量Δv=gΔt是相同的,方向恒為豎直向下,如圖所示。(2)如圖所示,包裹下落到空中的A點時,設其位移與水平方向的夾角為α,在A點速度偏向角為θ,試證明tanθ=2tanα。tanθ=vY=gttanα==X2vtanθ=vY=gttanα==X2v0(3)包裹在下落過程中某時刻恰好在空中的A點,此時瞬時速度的反向延長線通過水平位移的B點,如圖所示,試證明xB。tanθ=tanθ=2tanαtanθ=tanθ=2tanα41.平拋(或類平拋)運動所涉及物理量的計算物理量公式決定因素飛行時間取決于下落高度h和重力加速度g,與初速度v0無關水平射程x=v0t=由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同決定落地速度vt=與初速度v0、下落高度h和重力加速度g有關2.兩個重要推論(1)做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中(2)做平拋運動的物體在任意時刻任意位置處,速度方向與水平方向的夾角θ和位移方向與水平方向的夾角α的關系為:tanθ=2tanα。[例1]【對平拋運動規律的理解】關于平拋運動,下列說法正確的是()[A]速度方向不斷改變,不可能是勻變速運動[B]在任意相等時間內的速度變化量都相等[C]在任意相等時間內的位移都相等[D]加速度隨時間逐漸增大【答案】B【解析】平拋運動的加速度為重力加速度,恒定不變,所以是勻變速曲線運動,根據Δv=gt可知,在任意相等時間內的速度變化量都相等,故A、D錯誤,B正確;根據由于水平方向做勻速直線運動,豎直方向做自由落體運動,可知在任意相等時間內的水平分位移大小相等,豎直分位移大小不相等,則合位移大小不相等,故C錯誤。[例2]【平拋運動規律的應用】(2025·云南高考適應性考試)如圖所示,“套圈”活動中,某同學將相同套環分兩次從同一位置水平拋出,分別套中Ⅰ號、Ⅱ號物品。若套環可近似視為質點,不計空氣阻力,則()5[A]套中Ⅰ號物品,套環被拋出的速度較大[B]套中Ⅰ號物品,重力對套環做功較小[C]套中Ⅱ號物品,套環飛行時間較長[D]套中Ⅱ號物品,套環動能變化量較小【答案】D【解析】套環在空中做平拋運動,由gt2得t,可知下落高度越大,套環的飛行時間越長,故套中Ⅰ號物品時飛行時間較長,故C錯誤;由x=v0t知,套中Ⅱ號物品的套環拋出速度較大,故A錯誤;套環飛行過程中,重力做功的大小等于套環動能的變化量,即WG=ΔEk=mgh,故套中Ⅱ號物品時,套環下落的高度較小,重力對套環做功較小,套環的動能變化量較小,故B錯誤,D正確。考點二與斜面或圓弧面有關的平拋運動1.落點在斜面上的三種情境分析模型方法分解速度,構建速度三角形,找到斜面傾角θ與速度方向的關系分解速度,構建速度的矢量三角形分解位移,構建位移三角形,隱含條件:斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角運動時間由tan得tt=v0tanθg由tan得t2.落點在曲面上的三種情境分析模型6處理方法分解速度利用位移關系利用位移關系物理量分析得x=R+R·cosθ=v0ty=Rsingt2(x-R)2+y2=R2x=v0tygt2x2+y2=R2[例3]【從斜面上平拋又落到斜面上的平拋運動】跳臺滑雪是一項勇敢者的滑雪運動,運動員在滑雪道上獲得一定速度后從跳臺飛出,在空中飛一段距離后落地。如圖所示,運動員從跳臺A處沿水平方向以v0=20m/s的速度飛出,落在斜坡上的B處,斜坡與水平方向的夾角θ為37°,不計空氣阻力(取sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2),求:(1)運動員在空中飛行的時間;(2)運動員落在B處時的速度大小;(3)運動員在空中離坡面的最大距離。【答案】(1)3s(2)1013m/s(3)9m【解析】(1)運動員做平拋運動,設在空中飛行的時間為t,則有由題圖可知tan,聯立解得(2)運動員落在B處時有vx=v0,vy=gt,所以vB=vx2+vy2=1013m/s。7(3)取沿斜坡向下方向(x方向)與垂直于斜坡向上方向(y方向)分析運動員的運動,則在垂直于斜坡方向上,vy′=v0sinθ=12m/s,ay=-gcosθ=-8m/s2,當vy′=0時,運動員在空中離坡面的距離最大,則有靈活建立坐標系解決平拋問題(1)坐標系的建立是任意的,和斜面結合的平拋運動也可以沿斜面和垂直于斜面建立直角坐標系。(2)如求解[例3]第(3)問時,把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜面和垂直于斜面的兩個分量。沿斜面方向為初速度為v0cosθ、加速度為gsinθ的勻加速直線運動,垂直于斜面方向為初速度為v0sinθ、加速度為gcosθ的類豎直上拋運動。這樣僅用垂直于斜面方向的分運動即可求解離坡面的最大距離(垂直斜面分速度減為0時)。[變式](1)運動員在空中離坡面的最大距離處,運動特征有哪些?(2)若運動員從跳臺A處沿水平方向飛出的速度變為原來的一半,則運動員在空中飛行時間變為原來的多少倍?沿斜面飛行距離變為原來的多少倍?(3)初速度改變后,落在斜面上,速度方向與斜面夾角變化嗎?【答案】見解析【解析】(1)該時刻速度與斜面平行,該時刻是運動全過程的中間時刻。由第問知可知t∝v0,故在空中飛行時間變為原來的由可知l∝v02,故沿斜面飛行距離變為原來的(3)落在斜面上時,位移方向相同,由平拋運動的推論可知速度方向相同,故速度方向與斜面夾角不變。[例4]【從空中平拋落到斜面上的平拋運動】(2025·貴州貴陽開學考試)如圖所示,一架水平勻速飛行的飛機通過三次投放,使救援物資準確地落到山坡上間隔相等的A、B、C三處,物資離開飛機時速度與飛機相同,不計空氣阻力,則三批物資()8[A]在空中飛行的時間是相等的[B]落到山坡上時速度方向相同[C]落到山坡上的時間間隔相等[D]從飛機釋放的時間間隔相等【答案】C根據可知,物資在空中的飛行時間由高度決定,與飛機飛行速度無關,三批物資在空中飛行的時間是不相等的,故A錯誤;三批物資落到山坡上時豎直方向速度大小不同,水平速度相同,故合速度方向不同,故B錯誤;三批物資在豎直方向上的位移差相等,但由于物資在豎直方向做自由落體運動,豎直方向速度越來越快,所以三批物資從飛機釋放的時間間隔不相等,應有在空中飛行的時間之差tA-tB<tB-tC,故D錯誤;三批物資落到山坡上的水平位移差相等,物資在水平方向做勻速直線運動,所以落到山坡上的時間間隔相等,故C正確。[變式]若飛機水平勻速飛行的速度為v0,救援物資落到B點時速度垂直于斜坡(傾角為θ)。不計空氣阻力,重力加速度為g。求:(1)救援物資落到斜坡前瞬間的速度大小v;(2)救援物資釋放后在空中運動的位移大小l。【答案】【解析】(1)救援物資釋放做平拋運動,初速度為v0,垂直落到傾角為θ的斜坡上,可知末速度與豎直方向的夾角為θ,根據幾何關系有v0=vsinθ,則救援物資落到斜坡前瞬間的速度大小(2)設救援物資釋放后在空中運動的時間為t1,落到斜坡前瞬間的豎直分速度大小9豎直方向做自由落體運動,有vy=gt1,豎直方向的位移為h,有vy2=2gh,水平方向的位移x=v0t1,救援物資在空中運動的位移大小故[例5]【與圓弧面有關的平拋運動】如圖所示,科考隊員站在半徑為10m的半圓形隕石坑(直徑水平)邊,沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質點),石子在坑中的落點P與圓心O的連線與水平方向的夾角為37°,已知石子的拋出點在半圓形隕石坑左端的正上方,且到半圓形隕石坑左端的高度為1.2m。取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力,則石子拋出時的速度大小為()[A]9m/s[B]12m/s[C]15m/s[D]18m/s【答案】C【解析】由題意可知,石子豎直方向的位移為h=h1+Rsin37°,根據代入數據解得t=1.2s;石子水平方向的位移為x=R+Rcos37°,又x=v0t,得v0=15m/s。故C正確,A、B、D錯誤。[變式]在[例5]中,若科考隊員沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質點),改變其水平拋出石子的初速度,能否使石子落到坑中某點時的速度方向沿半圓形隕石坑的半徑方向?【答案】見解析【解析】假設石子落到坑中某點Q時的速度方向沿半徑方向,則Q點速度反向延長線必過圓心O,而根據平拋運動速度反向延長線過水平位移中點可得此時水平位移應為半圓形隕石坑的直徑,但水平位移不可能為半圓形隕石坑的直徑,故假設不成立,所以石子落入坑中某點的速度方向不可能沿半圓形隕石坑的半徑方向。考點三斜拋運動1.當斜拋物體落點位置與拋出點等高時射高(2)斜拋運動的飛行時間射程對于給定的v0,當θ=45°時,射程達到最大值2.逆向思維法處理斜拋問題對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動過程,可以逆向看成平拋運動;分析完整的斜上拋運動,還可根據對稱性求解有關問題。[例6]【對斜拋運動的理解】(2024·江蘇卷,4)噴泉a、b形成如圖所示的形狀,不計空氣阻力,則噴泉a、b的()[A]加速度相同[B]初速度相同[C]最高點的速度相同[D]在空中的時間相同【答案】A【解析】不計空氣阻力,在噴泉噴出的水在空中只受重力,加速度均為重力加速度,故A正確;設噴泉噴出的水豎直方向的分速度為vy,水平方向速度為vx,豎直方向,根據對稱性可知在空中運動的時間可知tb>ta,D錯誤;最高點的速度等于水平方向的分速度由于水平方向的位移大小關系未知,無法判斷最高點的速度大小關系,根據速度的合成可知無法判斷初速度的大小關系,B、C錯誤。[例7]【逆向思維法處理斜拋問題】(2024·重慶沙坪壩期中)壁球是杭州亞運會的項目之一,運動員需要面對墻壁不斷將球打在豎直墻壁上。如圖所示,如果運動員在同一水平高度上的A、B兩點分別擊球,不計空氣阻力,為使球能垂直打在墻上的同一點,則在A、B點擊球后瞬間球的速度大小分別為vA和vB,則兩者的大小關系正確的是()[A]vA>vB[B]vA=vB[C]vA<vB[D]無法確定【答案】C【解析】可用逆向思維法,讓壁球從碰壁處反向平拋,運動到同一水平面上A、B兩點,根據可知壁球運動到A、B兩點的時間相同,豎直速度相同。根據可知vOB>vOA,即合速度vA<vB,故選C。(滿分:60分)對點1.對平拋運動的理解及應用1.(4分)轅門射戟,最早出自《三國志·呂布傳》,是呂布為了阻止袁術擊滅劉備所使的計謀。呂布欲用弓箭射中距離自己一百五十步外方天畫戟中的小支,假設呂布水平射出箭,忽略空氣阻力,則()[A]箭在飛行過程中加速度一定改變[B]呂布拉弓時箭的位置一定要高于戟支的下邊緣[C]箭有可能水平射中戟支[D]質量大的箭可能慣性小【答案】B【解析】忽略空氣阻力,箭在飛行過程中只受重力作用,加速度為重力加速度,保持不變,故A錯誤;箭在空中做平拋運動,水平方向做勻速直線運動,豎直方向做自由落體運動,可知呂布拉弓時箭的位置一定要高于戟支的下邊緣,箭不可能水平射中,故B正確,C錯誤;質量大的箭慣性大,故D錯誤。2.(6分)(2024·黑龍江三模)(多選)飛鏢扎氣球是一種娛樂游戲項目,其示意圖如圖甲所示,靶面豎直固定,O點為鏢靶中心,OP水平、OQ豎直,靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置M點水平射出飛鏢,且M、O、Q三點在同一豎直平面,忽略空氣阻力。關于分別射中靶面O、P、Q三點的飛鏢,下列說法正確的是()[A]射中O點的飛鏢射出時的速度最小[B]射中P點的飛鏢射出時的速度最大[C]射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長[D]射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相等【答案】BCD【解析】飛鏢做平拋運動,由平拋運動的特點知解得飛鏢飛行時間飛鏢初速度P、Q三點豎直方向hO=hP<hQ,則tO=tP<tQ,飛鏢射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相等,射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長,且xO=xQ<xP,可得vQ<vO<vP,即射中Q點的飛鏢射出時的速度最小,射中P點的飛鏢射出時的速度最大,故B、C、D正確,A錯誤。3.(10分)(2025·四川高考適應性考試)某同學借助安裝在高處的籃球發球機練習原地豎直起跳接球。該同學站在水平地面上,與出球口水平距離l=2.5m,舉手時手掌距地面最大高度h0=2.0m。發球機出球口以速度v0=5m/s沿水平方向發球。從籃球發出到該同學起跳離地,耗時t0=0.2s。該同學跳至最高點伸直手臂恰能在頭頂正上方接住籃球。重力加速度g取10m/s2。求:(1)t0時間內籃球的位移大小;(2)出球口距地面的高度。【答案】(2)3.7m【解析】(1)在t0時間內,籃球水平方向做勻速直線運動,位移為x=v0t0=5×0.2m=1m,豎直方向做自由落體運動,位移為所以t0時間內籃球的位移為(2)從發出球到接住球經過的時間為所以該同學起跳離地到接住球經歷的時間為t1=t-t0=0.3s,該同學起跳后上升的高度為整個過程籃球下降的高度所以出球口距地面高度為H=h0+h1+h2=2.0m+0.45m+1.25m=3.7m。對點2.與斜面或圓弧面有關的平拋運動4.(4分)(2024·甘肅酒泉開學考試)某運動員從跳臺a處沿水平方向飛出,在斜坡b處著陸,測得ab間的距離為30m,斜坡與水平方向的夾角為30°,不計空氣阻力,g取10m/s2,則()[A]運動員沿斜坡的分運動為勻速直線運動[B]運動員在垂直斜坡方向一直在加速[C]運動員離斜坡最遠時在垂直斜坡的投影點為ab的中點[D]運動員從a到b的時間為3s【答案】D【解析】運動員做平拋運動,可將運動員的重力加速度g分解在沿斜坡方向與垂直斜坡方向上,同時將初速度分解在這兩個方向上,由于gx與v0x同向,運動員沿斜坡的分運動為勻加速直線運動;垂直斜坡方向上,由于gy與v0y方向相反,所以運動員在垂直斜坡方向先減速后加速;當運動員在垂直斜坡方向上的速度v0y減為0時,運動員離斜坡最遠,根據運動的對稱性,可知此時運動員所用時間為整個過程時間的一半,但由于運動員在平行斜坡方向上為勻加速直線運動,所以運動員離斜坡最遠時在垂直斜坡的投影點不是ab的中點,故A、B、C錯誤;根據h=sabsin可得,運動員從a到b的時間為故D正確。5.(4分)(2023·廣西模擬)如圖所示,某同學對著墻壁練習打乒乓球(視為質點),某次乒乓球與墻壁上的P點碰撞后水平彈離,恰好垂直落在球拍上的Q點。重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力。若球拍與水平方向的夾角為45°,乒乓球落到球拍前瞬間的速度大小為4m/s,則P、Q兩點的高度差為()[A]0.1m[B]0.2m[C]0.3m[D]0.4m【答案】D【解析】乒乓球恰好垂直落在球拍上的Q點,球拍與水平方向的夾角為45°,乒乓球落到球拍前瞬間的速度大小為4m/s,將此速度分解,如圖所示,則有vy=vcos45°=22m/s,則P、Q兩點的高度差為6.(6分)(2024·福建福州模擬)(多選)水車是中國最古老的農業灌溉工具之一,是珍貴的歷史文化遺產。水車的簡易模型如圖所示,水流自水平放置的水管流出,水流軌跡與水車車輪的邊緣相切,可使車輪持續轉動,切點與所在車輪橫截面的圓心的連線與水平方向的夾角為37°。若水管出水口處水流的速度v0=6m/s,車輪半徑R=2m,不計空氣阻力。重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,水流到達車輪邊緣時的速度與車輪邊緣切點的線速度相同,則()[A]水管出水口與輪軸O的水平距離為4.8m[B]水管出水口與輪軸O的豎直距離為4.4m[C]車輪的角速度是20rad/s[D]水流速度的變化量的大小為8m/s【答案】BD【解析】將水流到達車輪邊緣時的速度分解,如圖所示,則根據平拋運動規律有水管出水口與輪軸O的水平距離l=x-Rcos37°=3.2m,豎直距離h=y+Rsin37°=4.4m,故A錯誤,B正確;因為車輪邊緣切點的速度即為水流做平拋運動的合速度故故C錯誤;水流速度的變化量Δv=gt=8m/s,故D正確。對點3.斜拋運動7.(4分)(2024·廣東梅州期末)“打水漂”是一種常見的娛樂活動,以一定的高度水平扔出的瓦片,會反復在水面上彈跳前進,假設瓦片和水面相撞后,在水平和豎直方向速度大小均減小,以下四幅圖有可能是瓦片軌跡的是()[A][B][C][D]【答案】C【解析】瓦片和水面相撞后,在水平方向,速度大小減小,而在豎直方向,碰撞后并不能原速度彈回,而是變小,可知豎直方向瓦片上升的高度逐漸減小,根據可知,瓦片在空中的時間逐漸減小,水平方向有x=vxt,則瓦片在空中通過水平位移也逐漸減小,C正確。8.(4分)(2024·河南周口階段檢測)射水魚能將嘴探出水面向空中射水,捕獵昆蟲。如圖所示,樹枝上有一蚱蜢,離水面的高度為0.8m,與魚嘴的水平距離為0.6m。重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力,要恰好水平擊中蚱蜢,射水魚射出水的速度為()[A]m/s[C]32m/s[D]22m/s【答案】A【解析】射水魚射出的水做斜拋運動,恰好水平擊中蚱蜢時的豎直方向的速度為0。由題意知h=0.8m,則豎直方向初速度vy=2gh=4m/s,水從射出到擊中蚱蜢運動的時間t0.4s,已知x=0.6m,則水平方向初速度vx1.5m/s,則射水魚射出水的速度m/s,A正確,B、C、D錯誤。9.(4分)(2024·江蘇南通模擬)如圖所示,一個沙漏沿水平方向以速度v做勻速直線運動,沿途連續漏出沙子,單位時間內漏出的沙子質量恒定為Q,出沙口距水平地面的高度為H。忽略沙子漏出瞬間相對沙漏的初速度,沙子落到地面后立即停止,不計空氣阻力,已知重力加速度為g,在已有沙子落地后()[A]沙子在空中形成的幾何圖形是一條拋物線[B]不同時刻下落的兩粒沙子之間的豎直間距保持不變[C]沙子落到地面時與沙漏的水平距離為v2Hg[D]在空中運動的沙子的總質量為【答案】D【解析】由于沙子下落時,沙子與沙漏均具有水平向右的初速度v,所以漏出的沙子在水平方向上均和沙漏以相同的速度向右移動,因此沙子在空中形成的幾何圖形是一條直線,故A錯誤;下落的沙子在豎直方向做自由落體運動,下落時間間隔為Δt的兩粒沙子豎直間距為Δyg(t+Δt)2-gt2=gΔt·t+g(Δt)2,可知二者間距隨下落時間的增加而增加,故B錯誤;因為沙子與沙漏在水平方向上以相同的速度v運動,所以沙子落地時與沙漏的水平距離為0,故C錯誤;從第一粒沙子漏出開始到這粒沙子剛落地,這一過程中在豎直方向上有,這一過程的時間為由于單位時間內漏出的沙子質量恒定為Q,則這一過程中落下的沙子總質量故D正確。10.(4分)(2024·湖南模擬)如圖所示,半球面半徑為R,A點與球心O等高,小球兩次從A點以不同