8.5.1直線與直線平行第八章

8.5

空間直線、平面的平行學習目標XUEXIMUBIAO1.會判斷空間兩直線的位置關系.2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.NEIRONGSUOYIN內容索引知識梳理題型探究隨堂演練1知識梳理PARTONE知識點一基本事實4文字語言平行于同一條直線的兩條直線______圖形語言

符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?________作用證明兩條直線平行說明基本事實4表述的性質通常叫做平行線的________平行a∥c傳遞性知識點二空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角____________符號語言OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言

作用判斷或證明兩個角相等或互補相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？答案不一定，這兩條直線可能相交、平行或異面.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.(

)2.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等.(

)3.如果兩條平行線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直.(

)4.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(

)×√√√2題型探究PARTTWO例1

(1)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′.一、基本事實4的應用證明∵E，E′分別是AB，A′B′的中點，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四邊形EBB′E′是平行四邊形，∴EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F分別為AA1，CC1的中點，求證：BFD1E是平行四邊形.證明如圖所示，取BB1的中點G，連接GC1，GE.因為F為CC1的中點，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四邊形BFC1G是平行四邊形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因為EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四邊形BFD1E是平行四邊形.反思感悟基本事實4表述的性質通常叫做空間直線平行的傳遞性，解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.跟蹤訓練1

如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求證：GH∥MN.證明如圖，取PA的中點Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上.∵M，N分別為△PAB，△PAC的重心，又G，H分別為PB，PC的中點，∴GH∥BC，∴GH∥MN.二、等角定理的應用例2

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點.求證：∠BGC＝∠FD1E.證明因為E，F，G分別是正方體的棱CC1，BB1，DD1的中點，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，所以四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形.所以GC∥D1E，GB∥D1F.因為∠BGC與∠FD1E的兩邊方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.反思感悟等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能.跟蹤訓練2

如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；證明如圖

，連結AC，在△ACD中，∴MN是△ACD的中位線，∵M，N分別是CD，AD的中點，由正方體的性質，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.3隨堂演練PARTTHREE1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是A.一定平行

B.一定相交C.一定異面

D.相交或異面12345解析可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾).√2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則有A.∠BAC＝∠B′A′C′B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°12345√解析由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的兩條邊分別對應平行，所以∠BAC與∠B′A′C′相等或互補.123453.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC，BD相等，順次連接各邊中點E，F，G，H，則四邊形EFGH一定是A.矩形

B.正方形C.菱形

D.空間四邊形√解析利用E，F，G，H分別為各邊中點，可得這個四邊形是平行四邊形，再由對角線相等可得四邊形EFGH一定是菱形.4.兩等角的一組對應邊平行，則A.另一組對應邊平行B.另一組對應邊不平行C.另一組對應邊不可能垂直D.以上都不對12345√解析另一組對應邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空間等角定理(若兩個角的對應邊平行，則這兩個角相等或互補)的區別.123455.兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形A.