2.4等比數列（檢測教師版）時間:40分鐘總分：60分班級：姓名：選擇題（共6小題，每題5分，共30分）1．已知{an}是等比數列，a3＝2，a6＝eq\f(1,4)，則公比q＝()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2,a1q5＝\f(1,4)，))∵a1≠0，q≠0，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).故選D．答案D2．互不相等的實數a，b，c成等差數列，c，a，b成等比數列，且a＋3b＋c＝10，則a＝()A．4 B．2C．－2 D．－4[解析]由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.答案D3．等比數列{an}的首項a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差數列的第1、2、5項，則q為()A．2 B．3C．－3 D．3或－3[解析]設等差數列為{bn}，則b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由題設(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∴d＝2或d＝0(與q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(b2,b1)＝3.答案B4．在等比數列{an}中，eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝3，則a5＝()A．3 B．eq\f(1,3)C．9 D．27[解析]∵q＝eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝a1q2＝9a1＝3，∴a1＝eq\f(1,3)，∴a5＝a1q4＝27.答案D5．各項都是正數的等比數列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值為()A．eq\f(1－\r(5),2) B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)[解析]∵a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比為q的等比數列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq\f(\r(5)＋1,2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,a3＋a4q)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).答案C6．已知a1，a2，a3，…，a8為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則()A．a1＋a8>a4＋a5B．a1＋a8<a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8與a4＋a5大小不定[解析]由條件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.答案A二、填空題（共2小題，每題5分，共10分）7．已知等比數列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數列的通項an＝.[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a10＝384))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3,a1q9＝384))∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4)，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.答案3·2n－38．已知在△ABC中，sinA與sinB的等差中項為eq\f(7,10)，等比中項為eq\f(2\r(3),5)，則sinC＋sin(A－B)＝.[解析]由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＋sinB＝\f(7,5)，,sinA·sinB＝\f(12,25)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5)，,sinB＝\f(4,5).))(1)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))則A>B，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(32,25).(2)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5),sinB＝\f(4,5)，))則eq\f(π,2)>B>A，∴cosB＝eq\f(3,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(18,25).答案eq\f(18,25)或eq\f(32,25)三、解答題（共2小題，每題10分，共20分）9．等比數列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若a3、a5分別為等差數列{bn}的第3項和第5項，試求數列{bn}的通項公式及前n項和Sn.[解析](1)設{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32，設{bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴數列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.10．已知數列{an}滿足a1＝eq\f(7,8)，且an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，n∈N*.(1)求證：{an－eq\f(2,3)}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．[解析](1)證明：∵an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，∴an＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)(an－eq\f(2,3))．∴eq\f(an＋1－\f(2,3),an－\f(2,3