67.立體幾何中的軌跡問(wèn)題一．武漢調(diào)考題匯編例1．（2023屆武漢二月調(diào)考）設(shè)是半徑為3的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．解析：以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的垂直平分線為軸，，則，，設(shè)，，則，整理得到，故軌跡是以為圓心，半徑的圓.轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，同時(shí)在球上，故在兩球的交線上，即為一個(gè)圓.球心距為，故而為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，周長(zhǎng)為.故選：D點(diǎn)評(píng)：以阿氏球?yàn)楸尘翱疾榱丝臻g軌跡問(wèn)題，對(duì)空間想象能力提出了很高的要求.例2.（2024屆武漢二月調(diào)考）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．解析：（方法1）因?yàn)椋裕c(diǎn)的軌跡方程為（橢球），

又因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）.過(guò)點(diǎn)作，而面，所以面，

設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，直角坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)點(diǎn)、為焦點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為橢圓方程為，點(diǎn)的軌跡為雙曲線一支方程為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，將面沿直線折成二面角，則為二面角的平面角.設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，則于是可得：由于.（方法2）因?yàn)椋裕c(diǎn)的軌跡方程為（橢球），

又因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）.過(guò)點(diǎn)作，而面，所以面，

設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：A.點(diǎn)評(píng)：以動(dòng)點(diǎn)的軌跡約束范圍構(gòu)建二面角的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)空間想象能力和空間與平面的轉(zhuǎn)化要求都很高.二．相關(guān)高考題目溯源例3.（2020新高考1卷16題）已知直四棱柱的棱長(zhǎng)為2，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為_(kāi)________.解析：（方法1）如圖：解析：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，<找到球在這個(gè)面的邊界點(diǎn)（利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算）>.，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)椋詡?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖椋裕詡?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)椋詡?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)椋裕愿鶕?jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：.（方法2）建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，由已知條件，，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：.那么，設(shè)為面的法向量，則可得：，故面的方程為：，整理可得：①.而球的方程為：②.根據(jù)球的截面性質(zhì)，先計(jì)算球心到平面的距離，根據(jù)公式可知：.進(jìn)一步，假設(shè)球心在平面的小圓半徑為，則.最后，為了算得截線長(zhǎng)，我們假設(shè)球心在小圓面的投影為，經(jīng)過(guò)分析，球與面的交點(diǎn)在側(cè)棱上，設(shè)交點(diǎn)分別為.則聯(lián)立①②，以及，我們可計(jì)算得坐標(biāo)分別為：，于是，那么，，則球與面的截線為例4.（2021年新高考1卷）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面解析：易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋裕裕藭r(shí)與重合，故D正確．故選：BD．三．習(xí)題演練1．已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長(zhǎng)為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．解析：在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C2．在三棱錐中，，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則點(diǎn)在所在平面內(nèi)的射影的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)_________；三棱錐體積的取值范圍是__________.解析：過(guò)作平面垂足為，則，因?yàn)椋裕鐖D