授課高等教育出版社《數學》

8.1計數原理選用教材

題目（拓展模塊一下冊）

授課

2課時授課類型新授課

時長

計數原理是加法運算、乘法運算的延伸與推廣，是生活中分類、分步背后所

蘊含的數量關系的數學刻畫，是后續學習排列、組合和二項式定理的理論依據，

教學是本章的基礎性知識.本課首先通過“推選學生參加技能大賽”創設情境與問

提示題，引導學生分析比較各自的問題特征及解決問題的基本環節，然后從特殊到一般，

抽象概括出兩個基本原理，然后以典型例題和練習題以及不同的情境與問題

強化學生對原理的理解，引導學生進一步辨析與深層理解兩個計數原理.

經歷兩個訐數原理的形成過程，理解分類計數原理和分步計數原理，會用兩

個計數原理計算完成一件事情的方法總數：通過實例感知兩個計數原理的區別，

能根據具體問題的特征選擇恰當的原理解決一些簡單的實際問題，培養數學運

教學

算、邏輯推理等核心素養；通過觀察、分析、概括、比較，體會數學來源于生活

目標

服務于生活，感悟從具體到抽象、從特殊到一般的思想方法，形成科學嚴謹的態

度，養成周密思考、細心分析的良好習慣，增強數學應用意識；通過學習，逐步

提升數學運算、邏輯推理和數據分析等核心素養.

教學分類計數原理和分步計數原理的聯系與區別，能應用兩個計數原理解決簡

重點單的實際問題.

教學

理解“完成一件事情”的含義；準確區分“分類”或“分步”.

難點

教學教師學生設計

教學內容

環節活動活動意圖

計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類計數

原理、分步計數原理也稱為基本計數原理，是解決計數引發感受引出

引入

問題的基本方法，它們為解決很多實際問題提供了思想思考體會課題

和工具.

8.1.1分類計數原理創設

情境某校擬從3名男生、6名女生中，推選1名參加全國提出討論情境

導入職業院校技能大賽某一賽項的市級選拔賽，問共有多少種問題交流引發

不同的選法？思考

推選工作可以分兩類進行.第1類是從男生中選，有3講解理解從特

種選法；第2類是從女生中選，有6種選法.并且，每一殊到

種選法都能夠完成推選工作.因此，不同的選法共有

3+6=9（種）.般，

新知一般地，如果完成一件事有〃類方式.第1類方式有概括

探索h種方法，第2類方式有幻種方法，…，第〃類方式有加法

乂種方法，那么完成這件事的方法共有計數

說明領會

N=ki+k2+…+k”（種）.原理

強調要占

上面的計數原理稱為分類計數原理.分類計數原理又稱加

法原理.

例1張老師要從某市去上海出差，出發前查詢到,當天抵提問思考引導

達的高鐵有46班次,客運汽車有62班次,輪船有4班次.張引導分析學生

老師當天要從某市到上海，共有多少種不同的選擇？概括

分析在高鐵、客運汽車、輪船三類公共交通工具中任選有三

一類，都可以完成這件事（當天從某市到上海），符合分類計類選

數原理.講解解決擇都

典型第1類：乘坐高鐵，從46個班次中任意選擇一個，有卜強調交流可

例題=46種選擇；以，

第2類：乘坐汽車，從62個班次中任意選擇一個，有每一

抬=62種選擇：類方

指導主動

第3類：乘坐輪船，從4個班次中任意選擇一個，有法又

學習求解

h=4種選擇.有若

解根據分類計數原理，不同的選擇共有干種

N=46+62+4=l12（種）.選擇

練習8.1.1

1.書架上有9本數學書、6本語文書、4本英語書.從提問思考及時

書架上任取一本，共有多少種不同的取法？掌握

鞏固2.某地區山川秀美，3A級景區有7個，4A級景區有5學生

練習個.某旅行團計劃從中任選一處景區游玩，有多少種不同巡視動手情況

的選法？求解查漏

3.用一個大寫的英文字母或0~9中的一個數字給新植補缺

的樹苗進行編號，一共能編出多少個不同的號碼？指導交流

8.1.2分步計數原理創設

情境某校擬從3名男生、6名女生中，各推選1名參加全引發討論情境

導入國職業院校技能大賽某一賽項的市級選拔賽，問共有多少思考交流發現

種不同的選法？問題

要推選男生、女生各1名，可以分兩個步驟進行.第講解理解為幫

一步選男生，第二步選女生.若選出“男生1”后再選女生，助學

可列出6種不同的選法.類似地，我們可以列出第一步選“男生理

生2”時所有可能的選法和第一步選“男生3”時所有可能展示觀察解,

的選法.因此，不同的選法共有圖形特征采用

6+6+6=3x6=18（種）.提示交流學生

1XX說明討論熟悉

的

新知

“樹

探索

?.c0狀

叼生1齡男生2成男生3圖”

說明領會

幫助

強調要點

解決

一般地，如果完成一件事有〃個步驟.完成第一個步

驟有3種方法，完成第2個步驟有幻種方法，…，完成

第〃個步驟有小種方法,并且只有這〃個步驟都完成后，

這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有

N=k#2…kn（種）.

上面的計數原理稱為分步計數原理.分類計數原理又

稱乘法原理.

例2書架的第一層有6本不同的數學書，第二層有7本提問思考鞏固

不同的語文書，第三層有5本不同的英語書.若從這些書引導分析對分

中取1本數學書、1本語文書和1本英語書，共有多少種步計

不同的取法？講解解決數原

分析解決這個問題可以分成3個步驟：第1步取1本數強調交流理的

學書，第2步取1本語文書，第3步取1本英語書.符合分理

步計數原理.指導主動解，

典型

第1步：從6本不同的數學書中取1本，有心=6種求解引導

例題

取法；學生

笫2步：從7本不同的語文書中取1本，有左2=7種分析

取法；完成

第3步：從5本不同的英語書中取1本，有質=5種這件

取法.事的

解根據分步計數原理，不同的取法共有步驟

26x7x5=210（種）.

練習8.1.2

1.小明到黃山游覽，他計劃先從某市乘坐火車到合肥，提問思考及時

第二天再從合肥乘坐汽車到黃山.一天中從該市到合肥適掌握

合乘坐的火車有10個班次，從合肥到黃山適合乘坐的汽學生

鞏固車有10個班次，那么小明從該市到黃山有多少種不同的巡視動手情況

練習乘車方案？求解查漏

2.某班甲、乙、丙、丁4名同學報名參加學校的兵乓補缺

球、羽毛球、網球二項不同的比賽，每人只能報名參加一

項比賽，且每項比賽只允許1人報名參加，問共有多少種指導交流

不同的參賽方案？

8.1.3計數原理的應用

一個口袋內裝有3個小球，另一個口袋內裝有4個小提出思考與前

球，所有這些小球的顏色各不相同.問題面情

情境

（1）從兩個口袋內任取1個小球，有多少種不同的取分析境相

導入

法？引發回答同問

（2）從兩個口袋內各取1個小球，有多少種不同的取思考題不

法？同

分析（1）從兩個口袋內任取1個小球，有兩類方式：第一提問思考幫助

類是從第一個匚袋內任取1個小球，有改尸3種取法；第二引導分析學生

類是從第二個口袋內任取1個小球，有幻=4種取法；辨析

典型（2）從兩個口袋內各取1個小球，分為兩個步驟來完講解解決兩個

例題成：第一步是從第一個口袋內取1個小球，有卜=3種取強調交流計數

法；第二步是從第二個口袋內取1個小球，有么攵2=4種取原理

法.指導求解的區

解（1）根據分類計數原理，不同的取法共有3+4=7（種）；別

(2)根據分步計數原理,不同的取法共有3x4=12(種).

學校開展“我和我的祖國''書面展，要從8幅學生作品提出分析創設

情境

中選出4幅分別掛在1—4號四個不同的展位上，一共有問題回答情境

導入

多少種不同的掛法？

分析解決這個問題需要四個步驟：第一步，從8幅作品中提問思考單獨

選擇1幅作品掛在1號展位，有卜=8種不同的選擇；第二引導分析運用

步，從剩下的7幅作品中選擇一幅掛在2號展位上，有分步

典型k2=7種不同的選擇，以此類推，我們可以用下圖來表示.講解解決計數

強調交流

例題8種7種6種5種原理

1號展位2號展位3號展位4號展位

解根據分步計數原理,不同的掛法共有指導求解

8x7x6x5=1680（種）.

甲廠生產的汽車型號有3種，每種有4個顏色；乙廠提出分析

情境生產的汽車型號有4種，每種有5個顏色；丙廠生產的汽問題回答

導入車型號有5種，每種有3個顏色.劉某要從中選購一款，

他共有多少種不同的選擇？

分析解決這個問題要分別對甲、乙、丙三個汽車廠討論，提問思考綜合

并考慮每個汽車廠生產的汽車有多少種不同的款式.需要引導分析運用

綜合運用分類計數原理和分步計數原理.兩個

笫1類：從甲廠生產的汽車中選擇，分詼步：第1步講解解決計數

選擇汽車型號，有3種；第2步選擇汽車顏色，有4個.共強調交流原

心=3x4=12種款式;理，

典型第2類：從乙廠生產的汽車中選擇，分兩步：第1步指導求解先分

例題選擇汽車型號，有4種；第2步選擇汽車顏色，有5個.共類再

有k2=4x5=20種款式；對每

第3類：從丙廠生產的汽車中選擇，分兩步：第1步一類

選擇汽車型號，有5種；第2步選擇汽車顏色，有3個.共分步

有23=5x3=15種款式.計算

解根據分類計數原理和分步計數原理，劉某的選擇共有

3x4+4x5+5x3=47（種）.

練習8.1.3

1.某電路包含開關組A和開關組B.提問思考及時

(1)如左圖所示，若只閉合1只開關接通電路，使電燈掌握

發光，有多少種不同的方法(開關組A與開關組B是并聯學生

關系)？巡視求解恃況

(2)如右圖中示，若閉合A、B中各1只開關接通電路，查漏

鞏固使電燈發光，有多少種不同的方法(開關組A與開關組B補缺

練習是串聯關系)？指導交流

再