授課高等教育出版社《數(shù)學(xué)》

8.1計(jì)數(shù)原理選用教材

題目（拓展模塊一下冊(cè)）

授課

2課時(shí)授課類型新授課

時(shí)長

計(jì)數(shù)原理是加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算的延伸與推廣，是生活中分類、分步背后所

蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫，是后續(xù)學(xué)習(xí)排列、組合和二項(xiàng)式定理的理論依據(jù)，

教學(xué)是本章的基礎(chǔ)性知識(shí).本課首先通過“推選學(xué)生參加技能大賽”創(chuàng)設(shè)情境與問

提示題，引導(dǎo)學(xué)生分析比較各自的問題特征及解決問題的基本環(huán)節(jié)，然后從特殊到一般，

抽象概括出兩個(gè)基本原理，然后以典型例題和練習(xí)題以及不同的情境與問題

強(qiáng)化學(xué)生對(duì)原理的理解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步辨析與深層理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

經(jīng)歷兩個(gè)訐數(shù)原理的形成過程，理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，會(huì)用兩

個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成一件事情的方法總數(shù)：通過實(shí)例感知兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別，

能根據(jù)具體問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)脑斫鉀Q一些簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)

教學(xué)

算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；通過觀察、分析、概括、比較，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活

目標(biāo)

服務(wù)于生活，感悟從具體到抽象、從特殊到一般的思想方法，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)

度，養(yǎng)成周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；通過學(xué)習(xí)，逐步

提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

教學(xué)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別，能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決簡

重點(diǎn)單的實(shí)際問題.

教學(xué)

理解“完成一件事情”的含義；準(zhǔn)確區(qū)分“分類”或“分步”.

難點(diǎn)

教學(xué)教師學(xué)生設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容

環(huán)節(jié)活動(dòng)活動(dòng)意圖

計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類計(jì)數(shù)

原理、分步計(jì)數(shù)原理也稱為基本計(jì)數(shù)原理，是解決計(jì)數(shù)引發(fā)感受引出

引入

問題的基本方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想思考體會(huì)課題

和工具.

8.1.1分類計(jì)數(shù)原理創(chuàng)設(shè)

情境某校擬從3名男生、6名女生中，推選1名參加全國提出討論情境

導(dǎo)入職業(yè)院校技能大賽某一賽項(xiàng)的市級(jí)選拔賽，問共有多少種問題交流引發(fā)

不同的選法？思考

推選工作可以分兩類進(jìn)行.第1類是從男生中選，有3講解理解從特

種選法；第2類是從女生中選，有6種選法.并且，每一殊到

種選法都能夠完成推選工作.因此，不同的選法共有

3+6=9（種）.般，

新知一般地，如果完成一件事有〃類方式.第1類方式有概括

探索h種方法，第2類方式有幻種方法，…，第〃類方式有加法

乂種方法，那么完成這件事的方法共有計(jì)數(shù)

說明領(lǐng)會(huì)

N=ki+k2+…+k”（種）.原理

強(qiáng)調(diào)要占

上面的計(jì)數(shù)原理稱為分類計(jì)數(shù)原理.分類計(jì)數(shù)原理又稱加

法原理.

例1張老師要從某市去上海出差，出發(fā)前查詢到,當(dāng)天抵提問思考引導(dǎo)

達(dá)的高鐵有46班次,客運(yùn)汽車有62班次,輪船有4班次.張引導(dǎo)分析學(xué)生

老師當(dāng)天要從某市到上海，共有多少種不同的選擇？概括

分析在高鐵、客運(yùn)汽車、輪船三類公共交通工具中任選有三

一類，都可以完成這件事（當(dāng)天從某市到上海），符合分類計(jì)類選

數(shù)原理.講解解決擇都

典型第1類：乘坐高鐵，從46個(gè)班次中任意選擇一個(gè)，有卜強(qiáng)調(diào)交流可

例題=46種選擇；以，

第2類：乘坐汽車，從62個(gè)班次中任意選擇一個(gè)，有每一

抬=62種選擇：類方

指導(dǎo)主動(dòng)

第3類：乘坐輪船，從4個(gè)班次中任意選擇一個(gè)，有法又

學(xué)習(xí)求解

h=4種選擇.有若

解根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的選擇共有干種

N=46+62+4=l12（種）.選擇

練習(xí)8.1.1

1.書架上有9本數(shù)學(xué)書、6本語文書、4本英語書.從提問思考及時(shí)

書架上任取一本，共有多少種不同的取法？掌握

鞏固2.某地區(qū)山川秀美，3A級(jí)景區(qū)有7個(gè)，4A級(jí)景區(qū)有5學(xué)生

練習(xí)個(gè).某旅行團(tuán)計(jì)劃從中任選一處景區(qū)游玩，有多少種不同巡視動(dòng)手情況

的選法？求解查漏

3.用一個(gè)大寫的英文字母或0~9中的一個(gè)數(shù)字給新植補(bǔ)缺

的樹苗進(jìn)行編號(hào)，一共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？指導(dǎo)交流

8.1.2分步計(jì)數(shù)原理創(chuàng)設(shè)

情境某校擬從3名男生、6名女生中，各推選1名參加全引發(fā)討論情境

導(dǎo)入國職業(yè)院校技能大賽某一賽項(xiàng)的市級(jí)選拔賽，問共有多少思考交流發(fā)現(xiàn)

種不同的選法？問題

要推選男生、女生各1名，可以分兩個(gè)步驟進(jìn)行.第講解理解為幫

一步選男生，第二步選女生.若選出“男生1”后再選女生，助學(xué)

可列出6種不同的選法.類似地，我們可以列出第一步選“男生理

生2”時(shí)所有可能的選法和第一步選“男生3”時(shí)所有可能展示觀察解,

的選法.因此，不同的選法共有圖形特征采用

6+6+6=3x6=18（種）.提示交流學(xué)生

1XX說明討論熟悉

的

新知

“樹

探索

?.c0狀

叼生1齡男生2成男生3圖”

說明領(lǐng)會(huì)

幫助

強(qiáng)調(diào)要點(diǎn)

解決

一般地，如果完成一件事有〃個(gè)步驟.完成第一個(gè)步

驟有3種方法，完成第2個(gè)步驟有幻種方法，…，完成

第〃個(gè)步驟有小種方法,并且只有這〃個(gè)步驟都完成后，

這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有

N=k#2…kn（種）.

上面的計(jì)數(shù)原理稱為分步計(jì)數(shù)原理.分類計(jì)數(shù)原理又

稱乘法原理.

例2書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有7本提問思考鞏固

不同的語文書，第三層有5本不同的英語書.若從這些書引導(dǎo)分析對(duì)分

中取1本數(shù)學(xué)書、1本語文書和1本英語書，共有多少種步計(jì)

不同的取法？講解解決數(shù)原

分析解決這個(gè)問題可以分成3個(gè)步驟：第1步取1本數(shù)強(qiáng)調(diào)交流理的

學(xué)書，第2步取1本語文書，第3步取1本英語書.符合分理

步計(jì)數(shù)原理.指導(dǎo)主動(dòng)解，

典型

第1步：從6本不同的數(shù)學(xué)書中取1本，有心=6種求解引導(dǎo)

例題

取法；學(xué)生

笫2步：從7本不同的語文書中取1本，有左2=7種分析

取法；完成

第3步：從5本不同的英語書中取1本，有質(zhì)=5種這件

取法.事的

解根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有步驟

26x7x5=210（種）.

練習(xí)8.1.2

1.小明到黃山游覽，他計(jì)劃先從某市乘坐火車到合肥，提問思考及時(shí)

第二天再從合肥乘坐汽車到黃山.一天中從該市到合肥適掌握

合乘坐的火車有10個(gè)班次，從合肥到黃山適合乘坐的汽學(xué)生

鞏固車有10個(gè)班次，那么小明從該市到黃山有多少種不同的巡視動(dòng)手情況

練習(xí)乘車方案？求解查漏

2.某班甲、乙、丙、丁4名同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校的兵乓補(bǔ)缺

球、羽毛球、網(wǎng)球二項(xiàng)不同的比賽，每人只能報(bào)名參加一

項(xiàng)比賽，且每項(xiàng)比賽只允許1人報(bào)名參加，問共有多少種指導(dǎo)交流

不同的參賽方案？

8.1.3計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小提出思考與前

球，所有這些小球的顏色各不相同.問題面情

情境

（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有多少種不同的取分析境相

導(dǎo)入

法？引發(fā)回答同問

（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取1個(gè)小球，有多少種不同的取思考題不

法？同

分析（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有兩類方式：第一提問思考幫助

類是從第一個(gè)匚袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有改尸3種取法；第二引導(dǎo)分析學(xué)生

類是從第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有幻=4種取法；辨析

典型（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取1個(gè)小球，分為兩個(gè)步驟來完講解解決兩個(gè)

例題成：第一步是從第一個(gè)口袋內(nèi)取1個(gè)小球，有卜=3種取強(qiáng)調(diào)交流計(jì)數(shù)

法；第二步是從第二個(gè)口袋內(nèi)取1個(gè)小球，有么攵2=4種取原理

法.指導(dǎo)求解的區(qū)

解（1）根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有3+4=7（種）；別

(2)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,不同的取法共有3x4=12(種).

學(xué)校開展“我和我的祖國''書面展，要從8幅學(xué)生作品提出分析創(chuàng)設(shè)

情境

中選出4幅分別掛在1—4號(hào)四個(gè)不同的展位上，一共有問題回答情境

導(dǎo)入

多少種不同的掛法？

分析解決這個(gè)問題需要四個(gè)步驟：第一步，從8幅作品中提問思考單獨(dú)

選擇1幅作品掛在1號(hào)展位，有卜=8種不同的選擇；第二引導(dǎo)分析運(yùn)用

步，從剩下的7幅作品中選擇一幅掛在2號(hào)展位上，有分步

典型k2=7種不同的選擇，以此類推，我們可以用下圖來表示.講解解決計(jì)數(shù)

強(qiáng)調(diào)交流

例題8種7種6種5種原理

1號(hào)展位2號(hào)展位3號(hào)展位4號(hào)展位

解根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,不同的掛法共有指導(dǎo)求解

8x7x6x5=1680（種）.

甲廠生產(chǎn)的汽車型號(hào)有3種，每種有4個(gè)顏色；乙廠提出分析

情境生產(chǎn)的汽車型號(hào)有4種，每種有5個(gè)顏色；丙廠生產(chǎn)的汽問題回答

導(dǎo)入車型號(hào)有5種，每種有3個(gè)顏色.劉某要從中選購一款，

他共有多少種不同的選擇？

分析解決這個(gè)問題要分別對(duì)甲、乙、丙三個(gè)汽車廠討論，提問思考綜合

并考慮每個(gè)汽車廠生產(chǎn)的汽車有多少種不同的款式.需要引導(dǎo)分析運(yùn)用

綜合運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.兩個(gè)

笫1類：從甲廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分詼步：第1步講解解決計(jì)數(shù)

選擇汽車型號(hào)，有3種；第2步選擇汽車顏色，有4個(gè).共強(qiáng)調(diào)交流原

心=3x4=12種款式;理，

典型第2類：從乙廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分兩步：第1步指導(dǎo)求解先分

例題選擇汽車型號(hào)，有4種；第2步選擇汽車顏色，有5個(gè).共類再

有k2=4x5=20種款式；對(duì)每

第3類：從丙廠生產(chǎn)的汽車中選擇，分兩步：第1步一類

選擇汽車型號(hào)，有5種；第2步選擇汽車顏色，有3個(gè).共分步

有23=5x3=15種款式.計(jì)算

解根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，劉某的選擇共有

3x4+4x5+5x3=47（種）.

練習(xí)8.1.3

1.某電路包含開關(guān)組A和開關(guān)組B.提問思考及時(shí)

(1)如左圖所示，若只閉合1只開關(guān)接通電路，使電燈掌握

發(fā)光，有多少種不同的方法(開關(guān)組A與開關(guān)組B是并聯(lián)學(xué)生

關(guān)系)？巡視求解恃況

(2)如右圖中示，若閉合A、B中各1只開關(guān)接通電路，查漏

鞏固使電燈發(fā)光，有多少種不同的方法(開關(guān)組A與開關(guān)組B補(bǔ)缺

練習(xí)是串聯(lián)關(guān)系)？指導(dǎo)交流

再