案例三十——FIR數字濾波器的結構案例設置目的理解FIR濾波器各種結構的特點及實現方法；了解FIR濾波器性能評估和時效評估方法；了解用MATLAB實現FIR數字濾波器各種結構的方法及各種結構濾波器的使用。相關基礎理論從時域看，FIR濾波器對信號的處理通?？梢杂靡韵聝煞N形式表示：（30.1）

（30.2）對比發現，FIR濾波器的卷積計算形式（30.1）與差分方程表示形式（30.2）完全一致，h(m)=bm，m=0,1,…,M。對式（30.2）進行雙邊Z變換得FIR濾波器系統函數H(z)，即（30.3）從式（30.3）可知FIR系統函數的極點在Z平面的原點處，因此FIR濾波器總是穩定的，即便是對濾波器的系數或單位脈沖響應進行量化造成系統函數極點位置的變化，因此從這點上講，FIR的抗量化噪聲性能比IIR強。FIR數字濾波器的基本結構分為直接型（有些參考書又稱橫截型、卷積型）、級聯型和頻率采樣型，線性相位的FIR濾波器還有一種乘法器使用最少的線性相位型網絡結構下面將分別進行討論。相關基礎理論1．直接型——橫截型、卷積型按式（30.1）直接構造的信號流圖稱為直接型結構。圖30.1畫出了FIR濾波器的直接型結構及其轉置形式。觀察圖容易看出，M階FIR濾波器實現時需使用M+1個乘法器，M個延遲單元。直接型結構中，量化器的量化對象是濾波器系數，或單位取樣序列的每個樣點值。相關基礎理論2．級聯型將式（30.3）中H(z)的進行因式分解，得到M個z

1的一次因式連乘：（30.4）合并其中共軛成對的零點得（30.5）式中M1代表z

1的一次因式的個數；M2代表z

1的二次因式的個數，且有M1+2M2=M。與IIR濾波器結構類似，我們稱z

1的二次因式對應的直接II型網絡結構為二階基本節（SecondOrderSection--SOS），一次因式對應的網絡結構為一階基本節。式（30.5）中z

1的一次因式可以看成是β2k=0的二次因式，因此有（30.6）相關基礎理論FIR濾波器的一般級聯型結構圖如圖30.2所示。FIR濾波器級聯型結構的每個子網絡由單個零點或共軛的零點對決定，量化也直接作用到零點或共軛零點對對應的系數上。量化不會對系統的穩定性造成任何影響，但與IIR濾波器級聯結構一樣，量化誤差會由前級子網絡傳播到后級。由式（30.5）和圖30.2容易得出這樣的結論，M1個一階基本節需要2M1個乘法器和M1個延遲單元，M2個二階基本節需要3M2個乘法器和2M2個延遲單元，一個M階的FIR濾波器用級聯型結構實現時共需2M1+3M2個乘法器，M1+2M2個延遲單元。如前所述M1+2M2=M，可見該結構下乘法器的使用量比直接型結構要多，因此FIR的級聯型結構沒有直接型受青睞。相關基礎理論3．線性相位型當FIR系統的單位脈沖響應h(n)滿足下式：（30.7）或（30.8）FIR系統的h(n)

滿足奇對稱或偶對稱關系，其頻率響應都能表示為（30.9）式中H(

)稱為幅頻特性函數；

(

)稱為相頻特性函數，且有（30.10）在h(n)滿足式（30.7）時，初始相位

=0；當h(n)滿足式（30.8）時，

=

π/2或π/2。兩種情況下，h(n)所描述的系統都稱為線性相位系統。需要說明的是，式（30.7）、式（30.8）以及式（30.10）中的M沿用了式（30.1）或式（30.2）中濾波器的階數表示，而有些參考書會在式（30.7）、式（30.8）以及式（30.10）中用FIR濾波器單位脈沖響應的長度N，濾波器階數M和長度N的關系為：M=N

1。相關基礎理論h(n)滿足式（30.7），且M為偶數的系統，常稱為情況1（CaseI），此時式（30.1）可改寫為（30.11）h(n)滿足式（30.7），且M為奇數的系統，常稱為情況2（CaseII），式（30.1）可改寫為（30.12）h(n)滿足式（30.8），M為偶數的系統，常稱情況3（CaseIII）；M為奇數的系統，常稱為情況4（CaseIV），這兩種情況下式（30.1）均可改寫為（30.13）相關基礎理論對式（30.11）至式（30.13）進行雙邊Z變換，得到各種情況下的系統函數：（30.14）（30.15）（30.16）從式（30.11）至式（30.16）可以看出，FIR系統單位脈沖響應無論是滿足式（30.7）的對稱（symmetric）形式，還是滿足式（30.8）的反對稱（antisymetric）形式，在用卷積形式或直接形式實現濾波器時，乘法器都會降低1/2左右，這個優勢是滿足線性相位的FIR濾波器特有的，因此又稱為FIR濾波器的線性相位結構。如圖30.3所示，畫出了滿足對稱形式的7點長和8點長單位脈沖響應系統的線性相位結構信號流圖。相關基礎理論反對稱形式FIR濾波器的實現結構圖與圖30.3基本一樣，只是需要將某些支路的增益系數1按照式（30.13）或式（30.16）改成

1。相關基礎理論4．頻率采樣型對于M階FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)的N（N>M）點長DFT記為H(k)，Z變換記為H(z)，根據頻域采樣定理有（30.17）式（30.17）可改寫為（30.18）其中Hc(z)

=1

z

N是一梳狀濾波器，對應的信號流圖只有前向支路。Hc(z)

有N個零點，它們等間隔分布在單位圓上：式（30.18）求和項內每項

是一個單極點網絡，對應的信號流圖是有反饋的網絡，而整個求和項對應了N個并聯的子網絡。求和項內的N個極點恰與Hc(z)

的N個零點重合。根據式（30.18）可以畫出FIR濾波器頻率采樣型的一般實現結構圖，如圖30.4所示。頻率采樣型結構是表示梳狀濾波器Hc(z)

的前向網絡和N個并聯支路組成的反饋網絡級聯而成的。相關基礎理論頻率采樣型結構有兩個突出的優點：（1）適用于任意形狀的幅頻響應。頻率采樣法設計的濾波器在頻率采樣點

k=2k

/N處可以保證滿足

，因此只要調整H(k)，就可以有效地使所設計的濾波器頻率響應特性向目標濾波器逼近。（2）便于標準化、模塊化。因為只要h(n)長度N相同，對于任何幅頻響應形式，其梳狀濾波器部分和N個一階網絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)

不同。一般來說，頻率采樣型結構比較復雜，尤其是當采樣點數N很大時，需要的乘法器和延時單元很多。但用頻率采樣結構實現窄帶FIR濾波器時，由于大部分頻率采樣值H(k)為零，從而使二階網絡個數大大減少，甚至會遠遠低于直接型結構，所以頻率采樣型結構非常適用于窄帶FIR濾波器的實現。相關基礎理論頻率采樣型結構也有兩個明顯的缺點：（1）系統穩定是靠位于單位圓上的N個零點、極點對消來保證的，實際實現恐難保證。實際應用中，因為存儲器的字長都是有限的，對網絡中支路增益

量化時會產生量化誤差，可能使零、極點不能完全對消，從而影響系統穩定性。（2）頻率采樣型結構的并聯部分，增益系數H(k)和

一般為復數，存儲時需要更多的存儲單元，濾波計算時的復雜度會有所提高。為了克服上述缺點，可采取針對性措施對頻率采樣型結構進行修正。針對量化可能致使系統不穩定的問題，可將單位圓上的Z變換用半徑小于1的一個圓上的Z變換進行近似。針對增益系數為復數的問題，可以利用H(k)的共軛對稱性和

的對稱性將復系數進行合并。具體實現這里不再贅述。情境任務及步驟一、原理初探已知一個單位脈沖響應h(n)描述的FIR系統，其中h(n)={

0.01,0.1,0.8,0.1,

0.01}。1．畫出直接型結構圖根據單位取樣響應畫出此FIR系統的直接型結構圖，并確定使用的乘法器的個數。2．畫出級聯型結構圖根據單位脈沖響應h(n)畫出系統的級聯型結構，并確定使用的乘法器個數。由單位脈沖響應h(n)得到系統的級聯型結構通常有如下兩種方式：（1）對h(n)進行Z變換，得到系統函數H(z)，再進行因式分解。因式分解可以借助函數tf2zpk、roots等實現。（2）直接調用函數tf2sos實現。3．畫出線性相位型結構圖首先判定單位脈沖響應h(n)代表系統是否是線性相位系統；若是，則根據濾波器所對應的情況（CaseI、II、III或IV）畫出此FIR系統的對稱型結構圖，確定使用的乘法器的個數，并與前兩種結構所用的乘法器進行比較，比較結果記于情境任務總結報告中。情境任務及步驟二、實際系統性能測試1．生成復合頻率信號和基準信號設四個單位幅度、初始相位為0的單音組成的復合信號xt，四個單頻的頻率分別是f1=100Hz，f2=200Hz，f3=300Hz，f4=400Hz。比較基準信號xt23是頻率為f2和f3的兩個單位幅度、初始相位為0的單頻正弦信號的疊加。2．設計數字帶通濾波器假定采樣頻率Fs=8000Hz，試用窗函數法和頻率采樣法設計FIR濾波器，以濾除頻率為f1和f4的單頻。編制程序，用窗函數法和頻率采樣法兩種方法設計FIR數字帶通濾波器。濾波器的指標要求為：通帶允許最大衰減不超過1dB，在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。情境任務及步驟（1）確定濾波器的階數和理想濾波器的邊界頻率。確定理想濾波器的邊界頻率較為簡單，直接代入下式即可：（30.19）式中

p和

st分別表示通帶和阻帶歸一化截止頻率，對于帶通濾波器需要計算通帶兩側的邊界頻率。確定濾波器的階數要略顯復雜。需要首先計算過渡帶的寬度

，再根據阻帶衰減確定窗函數類型，繼而得到該窗函數的過渡帶寬與濾波器系數個數N的關系式，最后代入便能確定具體的濾波器系數個數（抽頭個數），即（30.20）（30.21）其中x的取值參照案例二十中的表1。因這里設計的濾波器為帶通濾波器，所以過渡帶有兩個，理想濾波器的邊界頻率就有兩個，得到的濾波器階數也有兩個，但最終濾波器的階數要選擇較大的那個。情境任務及步驟（2）確定FIR濾波器系數。FIR濾波器的系數或單位脈沖響應，可以按照案例二十中的方法按部就班的計算，也可以借助MATLAB函數實現，這里介紹MATLAB函數的確定方法。以N-1和

c為輸入參數，調用函數fir1確定FIR濾波器系數，并記為b。2）方法二：用頻率采樣法設計數字帶通濾波器頻率采樣法設計線性相位FIR濾波器的詳細介紹可參見案例二十一，這里僅按照設計步驟進行設計。（1）根據濾波器指標設定取樣頻率點及這些頻率點上的幅度值。利用頻率采樣法設計線性相位FIR濾波器時，需要確定N個頻率采樣點的位置和采樣得到樣點值的幅度其中N是由式（30.21）確定的。對于線性相位FIR濾波器，由于其幅度特性函數關于π具有對稱特性，因此只需確定不超過N/2個樣點的頻率與幅度。設采樣頻率點集合記為f，且f=[0,2*pi*f1/Fs/pi,2*pi*fs1/Fs/pi,2*pi*fp1/Fs/pi,linspace(2*pi*f2/Fs/pi,2*pi*f3/Fs/pi,5),2*pi*fp2/Fs/pi,2*pi*fs2/Fs/pi,2*pi*f4/Fs/pi,1]。設對應頻率采樣點上幅度的組成的集合記為A，且A=[0,tan(linspace(0+eps,pi/2-pi/10000,3))/tan(pi/2-pi/10000),ones(1,5),fliplr(tan(linspace(0+eps,pi/2-pi/10000,3))/tan(pi/2-pi/10000)),0]。情境任務及步驟（2）創建濾波器設計對象。調用函數fdesign，response選項指定為arbmag，為設計任意響應幅度濾波器創建一個濾波器設計對象，結果記為d。（3）設計頻域取樣型FIR濾波器。調用函數design，按照指定的設計方法設計FIR濾波器，并將結果記為hd4（其中hd1、hd2、hd3為窗函數法設計濾波器進行預留）。3．指定濾波器結構窗函數法設計出的FIR帶通濾波器系數b滿足對稱特性，實現這樣的濾波器時可以用前述的直接型、直接型的轉置型、線性相位型等形式。調用函數dfilt，通過將structure字段分別選為df1、df1t和dfsymfir，完成系數b所描述的濾波器的結構化實現，并分別記為hd1、hd2、hd3。情境任務及步驟4．實施濾波調用函數filter，將hd1、hd2、hd3、hd4三種結構的濾波器施加于信號xt，結果分別記為filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4。注意hd1～hd4均為結構體類型。5．濾波器性能評估此處的濾波器性能評估既有主觀評估，也有客觀評估。主觀評估這里選擇聽覺覺察，客觀評估包括波形、頻譜和時效性等維度。（1）聽覺上定性評估。調用函數sound，試聽xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4的聲效，重點對比后四者的效果。為提高對比效果，建議執行完主程序后在命令窗口中調用sound進行一一對比試聽。情境任務及步驟（2）濾波效果時域對比。在同一個圖新的形窗口中，以filteredxt1為基準，依次畫出各濾波器濾波效果與filteredxt1的差值，即filteredxt1-filteredxt2、filteredxt1-filteredxt3、filteredxt1-filteredxt4，并用不同的顏色表示。（3）濾波效果頻域對比。調用函數fft，計算xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filt