專題13導數的概念及運算（九大題型+模擬精練）目錄：01變化率問題02導數定義中簡單的極限運算03求某點的導數（切線斜率）04求切線方程05已知切線求參數（范圍）06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題07切點、切線有關的其他問題08導數的運算09抽象函數的導數綜合01變化率問題1．（2024高三·全國·專題練習）如果質點運動的位移（單位：m）與時間（單位：s）之間的函數關系是，那么該質點在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）函數在區間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．33．（23-24高二下·重慶·期中）某物體的運動方程為（位移單位：，時間單位：），若，則下列說法中正確的是（

）A．是物體從開始到這段時間內的平均速度B．是物體從到這段時間內的速度C．是物體在這一時刻的瞬時速度D．是物體從到這段時間內的平均速度02導數定義中簡單的極限運算4．（2024高二下·全國·專題練習）已知，則的值為（

）A．－2a B．2aC．a D．5．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）已知函數在處的導數為，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高二下·陜西渭南·期中）若函數在處的瞬時變化率為，且，則（

）A．2 B．4 C． D．7．（23-24高二上·河北石家莊·期末）設是可導函數，且，則（

）A．2 B． C． D．03求某點的導數（切線斜率）8．（21-22高二下·北京通州·期中）已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（

）A．B．C．D．9．（22-23高三上·上海浦東新·期中）若為可導函數，且，則過曲線上點處的切線斜率為．10．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則．04求切線方程11．（2024·全國·模擬預測）函數的圖象在處的切線方程為．12．（23-24高三上·北京·階段練習）曲線在點處的切線方程是．13．（2023·全國·模擬預測）過原點與曲線相切的一條切線的方程為.05已知切線求參數（范圍）14．（22-23高三上·山東臨沂·期中）若直線是函數的圖象在某點處的切線，則實數．15．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是.16．（23-24高三下·全國·階段練習）若存在過原點的直線與函數的圖象切于軸右側，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．17．（22-23高二下·陜西西安·期末）若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為.06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題18．（22-23高二上·陜西西安·期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．319．（2023·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（21-22高三·江西·階段練習）若函數的圖象與函數的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實數（

）A． B． C．或 D．或07切點、切線有關的其他問題21．（23-24高三上·山西·階段練習）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．222．（2024·云南楚雄·模擬預測）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為.08導數的運算23．（23-24高二下·廣東·階段練習）求下列函數的導數(1)(2)(3)(4)24．（23-24高二下·重慶·階段練習）下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．25．（23-24高二下·北京·期中）下列導數運算錯誤的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則09抽象函數的導數綜合26．（23-24高二下·重慶·期中）已知函數及其導函數的定義域均為，與均為偶函數，且，則（

）A． B． C． D．27．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數，設為的導函數，若，則（

）A．1 B． C．2 D．202328．（2024·河南周口·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數且在上可導，若恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．229．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知定義在上的函數為奇函數，且對，都有，定義在上的函數為的導函數，則以下結論一定正確的是（

）A．為偶函數 B．C． D．為偶函數30．（2024·江西鷹潭·一模）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求=．一、單選題1．（2021·湖南永州·三模）若某物體做直線運動，路程（單位：m）與時間t（單位：s）的關系由函數表示．當s時，該物體的瞬時速度為m/s，則當s時，該物體行駛的路程為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模擬預測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，3．（2024·黑龍江·二模）函數在處的切線方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線（且）無公共點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇·模擬預測）貝塞爾曲線（Beziercurve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數的圖象是可由，，，四點確定的貝塞爾曲線，其中，在的圖象上，在點，處的切線分別過點，.若，，，，則（

）A． B．C． D．7．（2024·海南海口·二模）已知函數的定義域為，是偶函數，當時，，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．8．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，，則等于（

）A．0 B． C． D．二、多選題9．（2021·廣東·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數關系y＝f（t），其中（R為常數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫10．（2024·山東濟南·一模）已知函數的圖象在y軸上的截距為，是該函數的最小正零點，則（

）A．B．恒成立C．在上單調遞減D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關于軸對稱11．（2024·河南信陽·模擬預測）已知函數的定義域為，設，且，若，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．（2024·四川·模擬預測）函數的圖象在點處的切線方程為．13．（2023·福建泉州·模擬預測）已知函數過點作曲線的切線，則切線的條數為．14．（2022·海南·模擬預測）已知函數和，其中為常數且．若存在斜率為1的直線與曲線同時相切，則的最小值為．專題13導數的概念及運算（九大題型+模擬精練）目錄：01變化率問題02導數定義中簡單的極限運算03求某點的導數（切線斜率）04求切線方程05已知切線求參數（范圍）06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題07切點、切線有關的其他問題08導數的運算09抽象函數的導數綜合01變化率問題1．（2024高三·全國·專題練習）如果質點運動的位移（單位：m）與時間（單位：s）之間的函數關系是，那么該質點在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據瞬時變化率的定義求解即可.【解析】，所以.故選：D.2．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習）函數在區間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】直接利用平均變化率的定義求解.【解析】設，則函數在區間上的平均變化率為．故選：A.3．（23-24高二下·重慶·期中）某物體的運動方程為（位移單位：，時間單位：），若，則下列說法中正確的是（

）A．是物體從開始到這段時間內的平均速度B．是物體從到這段時間內的速度C．是物體在這一時刻的瞬時速度D．是物體從到這段時間內的平均速度【答案】C【分析】根據瞬時速度的定義即可得解.【解析】由，可知，是物體在這一時刻的瞬時速度.故選：C02導數定義中簡單的極限運算4．（2024高二下·全國·專題練習）已知，則的值為（

）A．－2a B．2aC．a D．【答案】B【分析】由導數的定義變形即可求解.【解析】.故選：B．5．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習）已知函數在處的導數為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知條件及函數在導數的定義即可求解.【解析】由題意得函數在處的導數，故A項正確.故選：A.6．（22-23高二下·陜西渭南·期中）若函數在處的瞬時變化率為，且，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據導數的定義，直接代入求值.【解析】根據導數的定義可知，.故選：B7．（23-24高二上·河北石家莊·期末）設是可導函數，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由導數的定義計算即可得出結果.【解析】∵，∴，∴.故選：B03求某點的導數（切線斜率）8．（21-22高二下·北京通州·期中）已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義，畫出各個函數圖象在處的切線，根據切線的斜率來判斷即可．【解析】依次作出，，，在的切線，如圖所示：根據圖形中切線的斜率可知．故選：A．9．（22-23高三上·上海浦東新·期中）若為可導函數，且，則過曲線上點處的切線斜率為．【答案】2【分析】直接根據導數的定義計算得到答案.【解析】，故.故答案為：210．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則．【答案】.【分析】根據函數在處的導數的定義即可求解.【解析】.故答案為：.04求切線方程11．（2024·全國·模擬預測）函數的圖象在處的切線方程為．【答案】【分析】先求解出導函數，然后計算出時的導數值和函數值，可得切線的點斜式方程，再化為一般式方程即可.【解析】由題意，得，所以，又，所以切線方程為，即為，故答案為：.12．（23-24高三上·北京·階段練習）曲線在點處的切線方程是．【答案】【分析】根據導數的幾何意義，結合直線點斜式方程進行求解即可.【解析】，所以曲線在點處的切線的斜率為，所以方程為，故答案為：13．（2023·全國·模擬預測）過原點與曲線相切的一條切線的方程為.【答案】或或(寫出其中一條即可)【分析】根據曲線表示拋物線的一部分，設其切線方程為，利用判別式法求解；設的切線的切點為，利用導數法求解.【解析】解：設曲線表示拋物線的一部分，設其切線方程為，代入，得.由，得.當時，，符合題意，當時，，均符合題意，所以切線方程.設的切線的切點為.由，得，，得切線方程為.將的坐標代入切線方程，得，所以，所以切線方程為.故答案為：或或(寫出其中一條即可)05已知切線求參數（范圍）14．（22-23高三上·山東臨沂·期中）若直線是函數的圖象在某點處的切線，則實數．【答案】【分析】利用求得切點坐標，代入切線方程，從而求得.【解析】令，解得，所以切點為，將代入切線得.故答案為：15．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是.【答案】【分析】先利用導數求曲線過坐標的切線方程，再列出關于的不等式，進而求得的取值范圍.【解析】由得，設切點坐標為，則切線斜率，切線方程為，又因為切線過，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數解，所以，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：.16．（23-24高三下·全國·階段練習）若存在過原點的直線與函數的圖象切于軸右側，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得，設切點為，根據，列出方程，得到，結合方程的根，即可求解.【解析】由函數，可得，設切點為，可得，即，整理得，解得或（舍去），因為存在過原點的直線與函數的圖象切于軸右側，所以，解得，即實數的取值范圍為.故選：D.17．（22-23高二下·陜西西安·期末）若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】構造新函數，利用導數求得其單調性和極值，進而求得實數的取值范圍.【解析】設點為曲線上一點，則又，則，則曲線在點處的切線方程為，又切線過點，則，即令，則，則時，單調遞減；時，單調遞增；時，單調遞減，則時取得極小值，時取得極大值，又，當時，恒成立，時，，又由題意得方程有3個根，則與圖像有3個交點，則.則曲線有三條過點的切線時實數的取值范圍為.

故答案為：06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題18．（22-23高二上·陜西西安·期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根據導數的運算公式以及切線的幾何意義求解.【解析】因為，所以，當時，，所以曲線在點處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.19．（2023·山西·模擬預測）已知函數若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求得，根據題意轉化為為偶函數，即可求解.【解析】由函數，可得，因為曲線在點和處的切線互相平行或重合，可得為偶函數，所以，解得.故選：C.20．（21-22高三·江西·階段練習）若函數的圖象與函數的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實數（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據垂直性質可得，再求導根據導數的幾何意義可得切線的方程為，再設函數與直線切于點，列式求解即可【解析】由題知，，令，又，解得，因為，所以切線的方程為.，設函數與直線切于點，所以，故，即，，解得或.故選：D07切點、切線有關的其他問題21．（23-24高三上·山西·階段練習）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出導函數，設出切點坐標，利用導數幾何意義建立斜率方程，利用韋達定理化簡計算即可.【解析】由題意得，過點作曲線的兩條切線，設切點坐標為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個解，則，，故.故選：B22．（2024·云南楚雄·模擬預測）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為.【答案】/0.25【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.【解析】易知的定義域為，而，故切點為，設切線斜率為，且，故，切線方程為，化簡得，當時，，當時，，易知圍成的圖形是三角形，設面積為，故.故答案為：08導數的運算23．（23-24高二下·廣東·階段練習）求下列函數的導數(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用求導公式、導數的運算法則求解即得.【解析】（1）.（2），則.（3），則.（4）.24．（23-24高二下·重慶·階段練習）下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對于A：根據導數的加法法則運算求解；對于B：根據導數的除法法則運算求解；對于C：根據復合函數的鏈式法則運算求解；對于D：根據導數的乘法法則運算求解.【解析】對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D錯誤；故選：B.25．（23-24高二下·北京·期中）下列導數運算錯誤的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】B【分析】根據求導法則，求導公式逐個選項計算即可.【解析】A選項，，則，A正確；B選項，，，B錯誤；C選項，，，C正確；D選項，，，D正確.故選：B09抽象函數的導數綜合26．（23-24高二下·重慶·期中）已知函數及其導函數的定義域均為，與均為偶函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件得到，，從而得出函數是周期為的周期函數，再根據條件得到，即可求出結果.【解析】因為是偶函數，所以關于直線對稱，即，由題知，又是偶函數，所以，則，則，又，所以，得到，所以，又由，得到，所以①，②，由①②得到，所以函數是周期為的周期函數，由①得到，又，所以，故，故選：A.27．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數，設為的導函數，若，則（

）A．1 B． C．2 D．2023【答案】C【分析】根據進行奇偶性和周期性的推導，得到是周期為4的偶函數，從而算出的值.【解析】因為，所以兩邊求導，得，即①因為為定義在上的奇函數，則，所以兩邊求導，得，所以是定義在上的偶函數，所以，結合①式可得，，所以，兩式相減得，，所以是周期為4的偶函數，所以.由①式，令，得，所以.故選：C.28．（2024·河南周口·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數且在上可導，若恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】借助復合函數的導數計算與函數奇偶性的性質可得函數的周期性，結合賦值法計算即可得解.【解析】由，則，即，由函數為奇函數，故，則，則，即，即，故為周期為的周期數列，故，對，令，有，即，故.故選：D.29．（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知定義在上的函數為奇函數，且對，都有，定義在上的函數為的導函數，則以下結論一定正確的是（

）A．為偶函數 B．C． D．為偶函數【答案】D【分析】利用奇偶對稱性、周期性以及復合函數求導法則即可判斷各項正誤.【解析】對于選項A，因為為奇函數，所以，則有，故為奇函數，故A錯誤；對于選項B，因為，所以，又，故，即函數周期為4，則，故B錯誤；對于選項C，因為，所以，即，即.因為，所以，所以，故C錯誤；對于選項D，由選項C可知，，所以為偶函數，故D正確.故選：D30．（2024·江西鷹潭·一模）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求=．【答案】【分析】先利用復合函數的導數與的奇偶性判斷的奇偶性，進而推得與的周期性，再利用賦值法求得的值，從而得解.【解析】因為是偶函數，則，兩邊求導得，所以是奇函數，故，由，代入，得，則，所以，又是奇函數，所以，所以是周期函數，且周期為4，又，可知也是以4為周期的周期函數，令，得，故，而所以，令，得，則，而，，又，則，，故答案為：.【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：（1）若，則函數關于中心對稱；（2）若，則函數關于對稱；（3）若，則函數的周期為2a；（4）若，則函數的周期為2a.一、單選題1．（2021·湖南永州·三模）若某物體做直線運動，路程（單位：m）與時間t（單位：s）的關系由函數表示．當s時，該物體的瞬時速度為m/s，則當s時，該物體行駛的路程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函數的導函數，再根據導數的物理意義求出參數的值，即可求出函數解析式，再代入即可；【解析】解：因為，所以，因為當s時，該物體的瞬時速度為m/s，所以，解得，所以，所以故選：D2．（2024·福建·模擬預測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數相等建立方程，解出即可.【解析】設直線與曲線的切點為且，與曲線的切點為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.3．（2024·黑龍江·二模）函數在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當時，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.【解析】因為，則，當時，則，所以，所以切點為，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D4．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】設直線的方程為，先根據直線和圓相切算出，在根據導數的幾何意義算.【解析】依題意得，設直線的方程為，由直線和圓相切可得，，解得，當時，和相切，設切點為，根據導數的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得，即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，和仍會保持相切狀態，即時，，綜上所述，或.故選：A5．（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線（且）無公共點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由時，易知直線與曲線必有一個公共點，當時，由直線與曲線相切，利用導數法求得，再由圖象位置判斷．【解析】解：當時，直線與曲線必有一個公共點，不合題意，當時，若直線與曲線相切，設直線與曲線相切于點，則，得．由切點在切線上，得，由切點在曲線上，得，所以，．如圖所示：故當直線與曲線（且）無公共點時，．故選：D【點睛】思路點睛：時，由單調遞增，單調遞減容易判斷；時，利用導數法研究直線與曲線相切時a的值，再根據對數函數在第一象限內隨底數a的增大,圖象向x軸靠近而得解.6．（2024·江蘇·模擬預測）貝塞爾曲線（Beziercurve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數的圖象是可由，，，四點確定的貝塞爾曲線，其中，在的圖象上，在點，處的切線分別過點，.若，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設出函數表達式，結合函數值、切線斜率建立方程組，待定系數即可得解.【解析】設，則，由題意，解得，所以.故選：C.7．（2024·海南海口·二模）已知函數的定義域為，是偶函數，當時，，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據函數對稱性求出時的解析式，利用導數的幾何意義求解.【解析】因為是偶函數，所以函數的圖象關于對稱，則，當時，，，，則，，即曲線在點處切線的斜率為2.故選：C.8．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，，則等于（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據題意分析可知：可知，且，結合周期性分析求解.【解析】由題意可得：，可知，且，且，所以.故選：A.二、多選題9．（2021·廣東·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數關系y＝f（t），其中（R為常數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫【答案】BD【分析】由已知，找到函數模型，通過待定系數法得到函數解析式，再解不等式即可.【解析】因為，所以符合要求．又解得，a＝128，故B正確，A錯誤．，當時，即，得，所以，即，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C錯誤，故選：BD.10．（2024·山東濟南·一模）已知函數的圖象在y軸上的截距為，是該函數的最小正零點，則（

）A．B．恒成立C．在上單調遞減D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關于軸對稱【答案】AC【分析】由題意求出，然后由余弦型函數的性質判斷即可.【解析