第二十六章解直角三角形（B卷-拔高卷）注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）點關于原點中心對稱的點的坐標是（）A．（，） B．（，）C．（，） D．（，）【答案】D【分析】利用特殊角的三角函數值確定出M坐標，找出關于原點中心對稱的點坐標即可．【詳解】解：點化簡得：，所以關于原點對稱的點的坐標是（，），故選：D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，原點對稱，熟練掌握特殊角的三角函數值，原點對稱是解題的關鍵．2．（2022·吉林·東北師大附中明珠學校九年級期末）如圖，已知窗戶高米，窗戶外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板米，當太陽光線與水平線成α角時，光線剛好不能直接射入室內，則的關系式是（）A．n=mtanα-0.2 B．n=mtanα+0.2C．m=ntanα-0.2 D．m=ntanα+0.2【答案】C【分析】根據CB=CA+AB求出CB的長，再利用三角函數求出m的值即可．【詳解】解：∵窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板CD=n米，∴CB=CA+AB=（m+0.2）米，∵光線與水平線成α角，∴∠BDC=α，∵tan∠BDC=，∴CB=n?tanα，∴m=ntanα-0.2，故選：C．【點睛】本題主要考查三角函數的應用，熟練利用三角函數解直角三角形是解題的關鍵．3．（2022·江蘇淮安·九年級期中）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一點，∠CBD=∠A，則cos∠CDB的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知條件，可得，設，由題意可得，即可算出，在中，根據勾股定理可得，由余弦定義進行計算即可得出答案．【詳解】解：，，設，，，在中，，．故選：B【點睛】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關鍵．4．（2022·陜西·西安鐵一中濱河學校三模）將拋物線先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，平移后的拋物線與軸交于A、B兩點，頂點是點，連接、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據拋物線的平移得到平移后的拋物線的表達式，并轉換為頂點式，得到平移后拋物線的頂點的坐標，并計算出平移后的拋物線與軸交點坐標，計算出AC的長度，即可得到答案．【詳解】拋物線先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，平移后的解析式為，頂點的坐標為，令，得，解得：或，點，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的性質和直角三角形的正弦，解題的關鍵是掌握二次函數的平移規則，即上加下減，左加右減．5．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區北大培文學校九年級階段練習）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據折疊的性質以及矩形的性質，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的長．根據三角函數的定義，易得tan∠BCF的值，依據∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根據折疊的性質得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，則tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，求三角函數值，勾股定理，余角的性質，根據折疊和勾股定理求出，是解題的關鍵．6．（2022·湖北隨州·九年級專題練習）如圖，已知點B，D，C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長，CD=BC-BD，從而列出等式，解得x即可．【詳解】設AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BC-BD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．7．（2022·山東濟南·一模）如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，可分別繞點A，B轉動，測量知．當轉動到時，點C到的距離是（

）（結果保留小數點后一位，參考數據：）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過作垂線構造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，從而解決問題．【詳解】如圖，過點B、C分別作AE的垂線，垂足分別為M、N，過點C作CD⊥BM，垂足為D，在Rt△ABM中，∵∠BAE=60°，AB=16，∴（cm），∠ABM=90°-60°=30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°，∴∠BCD=90°-20°=70°，又∵BC=8，∴BD=sin70°×8≈0.94×8=7.52（cm），∴CN=DM=BM-BD=8-7.52≈6.3（cm），即點C到AE的距離約為6.3cm，故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系是解決問題的關鍵．8．（2022·山西·大同市云州區初級示范中學校九年級階段練習）如圖，已知點M，N分別是矩形邊和的中點，點E在邊上，將沿折疊，使點C恰好落在線段上的點F處，得到三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證四邊形是矩形，得到，由折疊的性質可，，，得到，可以得到，則，得，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵點M，N分別是矩形邊和的中點，∴，，∴四邊形是矩形，∴，∵沿折疊，使點C恰好落在線段上的點F處，得到三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、特殊角的三角函數、折疊的性質等知識，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．9．（2021·江蘇·蘇州市南環實驗中學校二模）知識改變世界，科技改變生活，導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘（用C地表示）開展社會實踐活動，車到達A地后，發現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地，導航顯示車輛應沿北偏東方向行駛至B地，再沿北偏西方向行駛一段距離才能到達C地，則B，C兩地的距離為（）．（結果保留根號，參考數據：，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作BD⊥AC于D點，根據題意可在Rt△ABD中，設，則，以及，然后在Rt△CBD中，利用正切函數的定義建立方程求解并檢驗即可得出的值，從而得到BD的長度，同樣在Rt△CBD中，利用余弦的定義即可求出BC的長度．【詳解】解：如圖所示，作BD⊥AC于D點，則∠ADB=∠CDB=90°，則由題意可知，∠A=60°，∠ABD=30°，∠CBD=53°，在Rt△ABD中，設，則，∴，在Rt△CBD中，，即：，解得：，經檢驗，是上述分式方程的解，∴，∵，∴，即：，故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，準確構造直角三角形，理解并熟練掌握三角函數的基本定義是解題關鍵．10．（2022·廣東·深圳市龍華區萬安學校九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，對角線AC，BD交于點O，sin∠COD=，P為AD上一動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，分別以PE，PF為邊向外作正方形PEGH和PFMN，面積分別為S1，S2．則下列結論：①BD=8；②點P在運動過程中，PE+PF的值始終保持不變，為；③S1+S2的最小值為6；④當PH：PN=5：6時，則DM：AG=5：6．其中正確的結論有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】由特殊角的三角函數值可得出∠COD=60°，再結合矩形的性質可證△AOB和△COD是等邊三角形，即得出BD=2OA=2AB=8，可判斷①正確；連接OP，由勾股定理可求出BC=，再根據矩形的性質可求出S△AOD=S矩形ABCD=，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP結合三角形面積公式即可求出PE+PF的長，可判斷②正確；由，即得出PE2+PF2≥2PE?PF，從而由S1+S2=PE2+PF2≥(PE+PF)2=6，得出當且僅當PE=PF=時，等號成立，可判斷③正確；由題意易證△APE∽△DPF，即得出．再由，得出，可判斷④錯誤．【詳解】解：①∵sin∠COD=，∴∠COD=60°．∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，∴△AOB和△COD是等邊三角形，∴BD=2OA=2AB=8，故①正確；②如圖，連接OP，由①知BD=8，∴矩形ABCD的兩邊AB=4，BC=，∴S矩形ABCD=AB?BC=，∴S△AOD=S矩形ABCD=，OA=OD=4，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA(PE+PF)=×4×(PE+PF)=，∴PE+PF=，故②正確；③∵，∴PE2+PF2≥2PE?PF，∴S1+S2=PE2+PF2=(PE2+PF2+PE2+PF2)≥(PE2+PF2+2PE?PF)=(PE+PF)2=6，當且僅當PE=PF=時，等號成立，故③正確；④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，∴△APE∽△DPF，∴．∵，∴，故④錯誤．綜上所述，其中正確的結論有①②③．故選B．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形相似的判定和性質等知識，較難．利用數形結合的思想是解題關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022·黑龍江大慶·九年級階段練習）一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則較小的銳角的正切值是___________.【答案】或【分析】分兩種情況分別計算，即可求得．【詳解】解：當3和4是直角三角形的兩條直角邊時，故此時較小的銳角的正切值是；當斜邊長是4時，另一條直角邊長為：，故此時較小的銳角的正切值是，故較小的銳角的正切值是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了求一個角的正切值，勾股定理，分類討論是解決本題的關鍵．12．（2021·河南·油田十中九年級階段練習）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則的正切值是______．

【答案】1【分析】連接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的長，判斷△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【詳解】解：連接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB為斜邊的等腰直角三角形，∴，故答案為：1．【點睛】此題考查了勾股定理在網格中的應用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．13．（2022·廣東·深圳市桂園中學九年級期中）如圖，矩形的邊上有一點P，且，以點P為直角頂點的直角三角形兩條直角邊分別交線段，線段于點E，F，連接EF，則=__【答案】【分析】過點E作于點M，證明，利用對應邊成比例可得出PF：PE的值，繼而得出．【詳解】解：過點E作于點M，∵，∴，又∵，∴，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質，求正切，證明是解題的關鍵．14．（2022·黑龍江·虎林市東方紅鎮中學九年級階段練習）如圖，矩形ABCD的邊長，如果矩形ABCD以B為中心，按順時針方向旋轉到的位置（點落在對角線BD上），則△的形狀為________．【答案】等邊三角形【分析】根據特殊角三角函數值求出∠CDB的度數，然后根據旋轉的性質和等邊三角形的判定即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴DC＝AB＝1，BC＝AD＝，∠DCB＝90°，∴tan∠CDB＝，即∠CDB＝60°；由旋轉的性質可知：BD＝，∴△為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點睛】本題考查了矩形的性質，特殊角三角函數值，旋轉的性質以及等邊三角形的判定等知識，解題的關鍵是抓住旋轉過程中的不變量，靈活運用有關性質來解題．15．（2022·江蘇·蘇州市吳江區銅羅中學九年級期中）東太湖風景區美麗怡人，如意橋似浮在太湖之上富有靈動起飛的光環．小亮在如意橋上看到一艘游艇迎面駛來，他在高出水面的A處測得在C處的游艇俯角為；他登高到正上方的B處測得駛至D處的游艇俯角為，則兩次觀測期間游艇前進了___________米．（結果精確到，參考數據：）【答案】36【分析】設BA與CD的延長線交于點O，由題意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的長度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的長度即可．【詳解】解：設BA與CD的延長線交于點O，根據題意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，，解得：，在Rt△AOC中，，，答：兩次觀測期間龍舟前進了米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，要理解俯角概念，并且熟練掌握解直角三角形的方法．16．（2022·廣東·深圳市寶安區文匯學校九年級期中）如圖，在菱形紙片中，，，將菱形紙片翻折，使點A落在的中點E處，折痕為，點F，G分別在邊上，則tan值為__．【答案】##【分析】如圖，連接交于O，連接，則為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得出，中，根據銳角函數的定義由，，分別得出CE，BE的長，中，利用勾股定理得出AE的長，根據折疊的性質得出，，設，則，中利用勾股定理建立方程，求解得出EF的長，中，利用勾股定理算出的長，根據正切函數的定義即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接交于O，連接在菱形紙片中，，∴為等邊三角形，∴，，∵E是的中點，∴，又∵，∴，∴在中，，∴中，=，由折疊可得，，=，設，則，∵中，，∴，解得x=，即，∴中，，∴=．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，折疊的性質，勾股定理等知識，根據菱形的性質和等邊三角形的性質得到和是直角三角形，由折疊的性質得到是直角三角形是解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校九年級階段練習）先化簡，再求代數式：的值，其中．【答案】，【分析】先根據分式的混合運算化簡，再求出x的值，最后將x的值代入化簡后的代數式中進行計算即可得．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，三角函數，二次根式的混合運算，解題的關鍵是將分式正確化簡．18．（2022·山東·測試·編輯教研五九年級階段練習）在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作，根據的正切值確定的度數，再利用直角三角形的邊角間關系求出、，最后利用三角形的面積公式算出的面積；（2）先利用線段的和差關系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的邊角間關系求出的余弦值．（1）解：過點作，垂足為，∴，∵為銳角且，∴，∴，∴，∴，在，∵，，∴，∵，∴．∴的面積為．（2）∵，，∴，在中，．∴的值為．（3）在中，，，∴．∴的值為．【點睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵．19．（2023·廣東·惠州市惠陽區朝暉學校九年級開學考試）如圖，在平行四邊形中，于點，于點，平行四邊形的周長為28，面積為40，．求：(1)的長；(2)的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）先根據平行線的性質得到，再由，求出，，再根據平行四邊形面積公式求解即可；（2）先證明，在中，，則．（1）解：∵平行四邊形中，，，平行四邊形的周長為28，∴，又∵，∴，，∵，∴；（2）解：∵在四邊形中，，，，∴，又∵在平行四邊形中，，∴，在中，，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，求角的正弦值，四邊形內角和定理等等，熟知平行四邊形的性質是解題的關鍵．20．（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．參考數據：，，．(1)B處離島C有多遠？如果漁船繼續向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？【答案】(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險，證明見解析(2)沒有觸礁危險，證明見解析【分析】（1）過C作于O，通過證明，即可求出CB的長；判斷C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險，反之則有；（2）過C作交BF于D，交BO于E，求出CD的長度即可作出判斷．（1）過C作于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測得島C在北偏東的方向，∴，又∵B處測得島C在北偏東方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果漁船繼續向東航行，有觸礁危險；（2）過C作交BF于D，交BO于E，，∴沒有觸礁危險．【點睛】本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．21．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如圖，菱形中，、相交于點，過點作，且，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，當，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證，再證四邊形是平行四邊形，然后由即可得出結論；（2）由銳角三角函數定義得，則，再由勾股定理得，然后由銳角三角函數定義即可得出結論．（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，由（1）可知，四邊形是矩形，，，．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的性質、銳角三角函數定義、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質和菱形的性質是解題的關鍵．22．（2022·上海領科雙語學校九年級期中）如圖1是一個公園入口雙翼閘機的雙翼展開時的截面圖，閘機的雙翼和成軸對稱，和均垂直于地面，雙翼邊緣的端點與在同一水平線上，且它們之間的距離為，雙翼邊緣，且與閘機側立面夾角．(1)求閘機通道寬度，即和之間的距離；(2)經實踐調查，：至：該公園入園游客較多，圖為該公園：至：每一小時為一個時段的入園人數統計圖的一部分（每個時間段含前一個整點時刻不含后一個整點時刻），現已知所有統計數據的平均數為人．①求出：：時段的入園游客人數；②根據該公園的承載能力，建議“某個時段入園游客超過人”或“在園內游客總數超過人”的對游客入園進行適當限流，如不考慮個別出園游客，那么哪幾個時段建議公園需要采取限流措施？并分別說明原因．【答案】(1)(2)①人；②：：和：：需要限流，理由見解析【分析】（1）過A作于點，過作于點，根據三角函數即可得到答案；（2）平均數為人，設：：人數為，然后根據平均數概念列出方程求解即可．（1）解：過A作于點，過作于點，直角三角形中，，同理，且，，與間的距離為．（2）①平均數為人，設：：人數為，，，：