人教版八年級數學下冊第19章一次函數19.3課題學習選擇方案目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06分層練習0807課本習題課堂小結學習目標

1．會用一次函數知識解決方案選擇問題，體會函數模型思想；（重點、難點）

2．能從不同的角度思考問題，優化解決問題的方法；

3．能進行解決問題過程的反思，總結解決問題的方法．用一次函數解決實際問題的策略：一要利用好圖(表)中的信息；二要采用待定系數法求出函數解析式；三要注意分段函數的應用；四要注意自變量在不同階段的取值范圍.情景導入做一件事情，有時有不同的實施方案，比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動計劃，是非常必要的。在選擇方案時，往往需要從數學角度進行分析，涉及變量的問題常用到函數。新知探究活動一

怎樣選取上網收費方式？收費方式月使用費/元包時上網時間/時超時費/(元/分)A30250.05B50500.05C120不限時下表給出A，B，C三種上寬帶網的收費方式.1.哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？A、B會變化，C不變2.在A、B兩種方式中，上網費由哪些部分組成？上網費=月使用費+超時費3.影響超時費的變量是什么？上網時間4.這三種方式中有一定最優惠的方式嗎？沒有一定最優惠的方式，與上網的時間有關收費方式月使用費/元包時上網時間/時超時費/(元/分)A30250.05B50500.055.設月上網時間為x小時，則方式A、B的上網費y1、y2都是x的函數，要比較它們，需在x>0的條件下，考慮何時（1）

y1=y2；

（2）

y1<y2；（3）

y1>y2.6.在方式A中，超時費一定會產生嗎？什么情況下才會有超時費？不一定，只有在上網時間超過25小時時才會產生．合起來可寫為：當0≤x≤25時，y1=30；當x＞25時，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.收費方式月使用費/元包時上網時間/時超時費/(元/分)A30250.05B50500.05C120不限時7.你能自己寫出方式B的上網費y2關于上網時間x之間的函數關系式嗎?方式C的上網費y3關于上網時間x之間的函數關系式呢?當x≥0時，y3=120.當上網時間__________時，選擇方式A最省錢.當上網時間__________時，選擇方式B最省錢.當上網時間_________時，選擇方式C最省錢.在同一坐標系畫出它們的圖象：活動2怎樣租車？某學校計劃在總費用2300元的限額內，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少有1名教師．現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示：問題1：租車的方案有哪幾種？共三種：（1）單獨租甲種車；（2）單獨租乙種車；（3）甲種車和乙種車都租．甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280問題2：如果單獨租甲種車需要多少輛？乙種車呢？問題3：如果甲、乙都租，你能確定合租車輛的范圍嗎？汽車總數不能小于6輛，不能超過8輛.單獨租甲種車要6輛，單獨租乙種車要8輛.甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280問題4：要使6名教師至少在每輛車上有一名，你能確定排除哪種方案？你能確定租車的輛數嗎？說明了車輛總數不會超過6輛，可以排除方案(2)——單獨租乙種車；所以租車的輛數只能為6輛．問題5：在問題3中，合租甲、乙兩種車的時候，又有很多種情況，面對這樣的問題，我們怎樣處理呢？方法1：分類討論——分3種情況；方法2：設租甲種車x輛，確定x的范圍.設租用x輛甲種客車，則租車費用y(單位：元)是x

的函數，即怎樣確定x

的取值范圍呢?甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280答:設租車費用為y元.因為租用甲種客車x輛，所以租用乙種客車(6-x)輛.根據表格可知，y=400x+280(6-x)，化簡得y=120x+1680.甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280根據題意，存在兩個不等關系：①240名師生都有車坐，則45x+30（6-x）≥

240；②總費用在2300元的限額內，則y≤2300，即120x＋1680≤2300.甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280兩種方案：①4輛甲種客車，2輛乙種客車；②5輛甲種客車，1輛乙種客車.因為y是x的一次函數﹐且y隨x的增大而增大，所以當x=4時，y有最小值，最小值為120×4+1680=2160.

解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量之間的關系，從中選取一個取值能影響其他變量的值的變量作為自變量，然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數，以此作為解決問題的數學模型.概念歸納活動1（1）根據下表的數據，在直角坐標系中畫出世界人口增長曲線圖.年份

x19601974198719992010人口數

y/億3040506069世界人口數統計表年份

x19601974198719992010人口數

y/億3040506069世界人口數統計表

①

列表

②

描點

③

畫線

（2）選擇一個近似于人口增長曲線的一次函數，寫出它的解析式.年份

x19601974198719992010人口數

y/億3040506069世界人口數統計表回想一下一次函數解析式的求法以及求解步驟？1.設函數的解析式：設年份為

x，人口數為

y，則有

y=kx+b2.選擇兩個合適的點；3.列出方程組并解答：1960k+b=302010k+b=69k=0.78b=-1498.8解得4.將

k和

b帶入解析式：y=0.78x-1498.8（答案不唯一）年份

x19601974198719992010人口數

y/億3040506069世界人口數統計表（2）選擇一個近似于人口增長曲線的一次函數，寫出它的解析式.解：將

x=2020帶入到解析式中y=0.78×2020-1498.8答：估計2020年的世界人口數將達到76.8億.年份

x19601974198719992010人口數

y/億3040506069世界人口數統計表（3）按照這樣的增長趨勢，估計2020年的世界人口數.活動2

水龍頭關閉不嚴會造成滴水，為了調查漏水量與漏水時間的關系，可進行以下的試驗與研究：

（1）在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器，每5min記錄一次容器中的水量，并填寫下表.時間

t/min051015202530水量

w/mL05099150200251300（2）建立直角坐標系，以橫軸表示時間

t，縱軸表示水量

w

，描出以上述試驗所得數據為坐標的各點，并觀察它們的分布規律.時間

t/min051015202530水量

w/mL05099150200251300（3）試寫出

w關于

t的函數解析式，并由它估算這種漏水狀態下一天的漏水量.時間

t/min051015202530水量

w/mL05099150200251300w=10t一天有24小時，一小時60分鐘24×60=1440（min）

w=1440×10=14400（mL）1.小亮現已存款

100

元，他計劃今后三年每月存款

10

元.存款總金額

y（單位:元）將隨時間x（單位:月）的變化而改變．指出其中的常量與變量，自變量與函數，并寫出函數解析式.解:

函數解析式

y=10x+100（0

≤

x

≤

36，x為整數），其中常量是

10，100，變量是存款總數

y

與時間

x，自變量是時間

x，函數是存款總數

y.復習題2.判斷下列各點是否在直線y=2x+6上.這條直線與坐標軸交于何處？解:

當

x=-5時，y=2×(-5)+6=-4.當

x=-7時，y=2×(-7)+6=-8≠20；當

x=-時，y=2×(-)+6=-1≠1；當

x=時，y=2×+6==.所以點

在直線

y=2x+6上.點

不在直線

y=2x+6上.這條直線與坐標軸交于點（0,6），（-3,0）.2.判斷下列各點是否在直線y=2x+6上.這條直線與坐標軸交于何處？3.填空：（1）直線

經過第_______________象限，y

隨

x

的增大而_______；（2）直線

y=3x-2經過第_______________象限，y

隨

x

的增大而_______.一、二、四減小一、三、四增大4.根據下列條件分別確定函數y=kx+b的解析式:

（1）y與x成正比例，當x=5時，y=6；解:（1）因為

y

與

x

成正比例，所以

b

=

0.又當

x

=

5時，y

=

6，所以

6

=

5k，解得

k=.所以函數解析式為

y=x.（2）直線y=kx＋b經過點（3，6）與點.（2）因為直線

y=kx+b經過點（3，6）與點

，所以

解得

所以函數解析式為

y=

x

.5.試根據函數

y

=

3x-15

的性質或圖象，確定

x

取何值時:

（1）y

>

0；

（2）y

<

0.解:在平面直角坐標系中畫出函數

y=3x-15

的圖象:（1）由圖象知，當

x

>

5

時，直線在

x

軸的上方，即此時

y

>

0，所以當

x

>

5

時，y

>

0；5.試根據函數

y

=

3x-15

的性質或圖象，確定

x

取何值時:

（1）y

>

0；

（2）y

<

0.（2）由圖象知，當

x

<

5

時，直線在

x

軸的下方，即此時

y

<

0，所以當

x

<

5

時，y

<

0.6.在某火車站托運物品時，不超過

1kg

的物品需付

2

元，以后每增加

1kg（不足

lkg按1kg

計）需增加托運費0.5元.

設托運

pkg（p為整數）物品的費用為

c

元.

試寫出

c

的計算公式.解題策略：對于分段函數，在不同的自變量取值范圍內對應著不同的解析式綜合運用解:

因為當

p=

1

時，c

=

2，

當

p

>

1

時，c

=2

+

(p-1)×0.5=p+

，所以

c

的計算公式：

p+（p>1且

p

為整數）.

c=綜合運用6.在某火車站托運物品時，不超過

1kg

的物品需付

2

元，以后每增加

1kg（不足

lkg按1kg

計）需增加托運費0.5元.

設托運

pkg（p為整數）物品的費用為

c

元.

試寫出

c

的計算公式.7.某水果批發市場規定，批發蘋果不少于100kg時，批發價為2.5元/kg.小王攜帶現金3000元到這市場采購蘋果，并以批發價買進．設購買的蘋果為xkg，小王付款后還剩余現金y元.試寫出y關于x的函數解析式，并指出自變量x的取值范圍.求自變量的取值范圍1.批發蘋果不少于100kg，2.y

≥

0.解:

y與

x

之間的函數解析式為

y

=3000

-

2.5x，因為剩余現金

y

≥

0，所以

3

000-2.5x

≥

0，所以

x

≤

1200，所以自變量

x

的取值范圍是

100

≤

x≤

1

200.7.某水果批發市場規定，批發蘋果不少于100kg時，批發價為2.5元/kg.小王攜帶現金3000元到這市場采購蘋果，并以批發價買進．設購買的蘋果為xkg，小王付款后還剩余現金y元.試寫出y關于x的函數解析式，并指出自變量x的取值范圍.8.勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示（圖中OABC為一折線）.這個容器的形狀是下圖中哪一個？勻速地向另兩個容器注水時，你能畫出水面高度h隨時間t變化的圖象（草圖）嗎？解:從圖象上看，在注水過程中，容器的中間部分的水面高度h隨時間t的變化最緩慢，其次是容器的下面部分，變化最迅速的應該是容器的上面部分，因此可以斷定這個容器的形狀是圖（3）.（1）向圖（1）的容器注水時水面高度h隨時間t變化的圖象:（2）向圖（2）的容器注水時水面高度h隨時間t變化的圖象:9.已知等腰三角形周長為20.（1）寫出底邊長y關于腰長x的函數解析式（x為自變量）；（2）寫出自變量取值范圍；（3）在直角坐標系中，畫出函數圖象.解:（1）因為2x

+

y

=20，所以

y

=20

-

2x.

所以底邊長

y

與腰長

x

之間的函數關系式為

y

=

20

-

2x.9.已知等腰三角形周長為20.（1）寫出底邊長y關于腰長x的函數解析式（x為自變量）；（2）寫出自變量取值范圍；（3）在直角坐標系中，畫出函數圖象.（2）因為三角形任意兩邊之和要大于第三邊，所以

把

y=20-2x

代入，得x+y>x，x+x>y，x+20-2x>x，x+x>20-2x，解得

5

<

x

<

10，即自變量

x

的取值范圍是

5

<

x

<

10.（3）圖象如圖所示.9.已知等腰三角形周長為20.（1）寫出底邊長y關于腰長x的函數解析式（x為自變量）；（2）寫出自變量取值范圍；（3）在直角坐標系中，畫出函數圖象.10.已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且

x＋y=10.設△OPA的面積為S.

（1）求S關于x的函數解析式；

（2）求x的取值范圍；

（3）當S=12時，求P點坐標；

（4）畫出函數S的圖象.利用三角形的面積求一次函數的解析式，關鍵是要找到合適的底和高.解:（1）因為動點

P(x，y)

在第一象限，所以

x

>

0，y

>

0.因為

x

+

y

=

10，所以

y

=

10

-

x，

所以

，即

S

關于

x

的函數解析式為

S=-4x+40；

10.已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x＋y=10.設△OPA的面積為S.

（1）求S關于x的函數解析式；10.已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x＋y=10.設△OPA的面積為S.

（2）求x的取值范圍；

（3）當S=12時，求P點坐標；（2）因為點

P

在第一象限內，所以

x

的取值范圍是0

<

x

<

10；（3）當

S

=

12

時，-4x

+

40

=12，x=

7，則

y

=10-x=

3，所以當

S

=

12

時，P

點的坐標為（7，3）.10.已知點A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x＋y=10.設△OPA的面積為S.

（4）畫出函數S的圖象.（4）函數

S

的圖象如圖所示:11.（1）畫出函數y=|x-1|的圖象.

（2）設P(x,0)是x軸上的一個動點，它與x軸上表示-3的點的距離為y.求y關于x的函數解析式，并畫出這個函數的圖象.解：（1）因為

y=|x-1|=所以函數

y=|x-1|的圖象如圖所示：x-1（x≥1），-x+1（x<1），11.（1）畫出函數y=|x-1|的圖象.

（2）設P(x,0)是x軸上的一個動點，它與x軸上表示-3的點的距離為y.求y關于x的函數解析式，并畫出這個函數的圖象.（2）

y=|x-(-3)|=|x+3|=這個函數的圖象如圖所示：x+3（x≥-3），-x-3（x<-3），12.A，B兩地相距25km.甲8:00由A地出發騎自行車去B地，速度為10km/h；乙9:30由A地出發乘汽車也去B地，速度為40km/h.

（1）分別寫出兩個人的行程關于時刻的函數解析式；

（2）乙能否在途中超過甲？如果能超過，何時超過？AB甲乙這題是行程問題，由于是以平均速度考慮問題，因此兩人的運動形式都按勻速運動考慮.解:（1）設甲、乙行駛中的時刻為

x

時，甲、乙行駛的路程分別為

y甲，y乙，則有

y甲=10(x-8)

=10x-80

(8

≤

x

≤

10.5)，y乙=

40(x

-

9.5)

=40x

-

380

(9.5≤

x

≤

10.125)；（2）令y甲<

y乙，則10x-80

<

40x-380.

所以

x

>

10，即

10

時以后乙超過甲.12.A，B兩地相距25km.甲8:00由A地出發騎自行車去B地，速度為10km/h；乙9:30由A地出發乘汽車也去B地，速度為40km/h.

（1）分別寫出兩個人的行程關于時刻的函數解析式；

（2）乙能否在途中超過甲？如果能超過，何時超過？一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始4min內只進水不出水，在隨后的8min內既進水又出水，每分的進水量和出水量是兩個常數.容器內的水量y（單位:L）與時間x（單位:min）之間的關系如圖所示.（1）當0≤x≤4時，求y關于x的函數解析式.（2）當4<x≤12時，求y關于x的函數解析式.（3）每分進水、出水各多少升？拓廣探索解:（1）設

y

關于

x

的函數解析式為

y=kx(0

≤

x

≤

4).由題意知

20

=

4k，解得

k

=

5.

所以當

0

≤

x

≤

4

時，y

關于

x

的函數解析式為

y

=5x.

（1）當0≤x≤4時，求y關于x的函數解析式.（2）當4<x≤12時，求y關于x的函數解析式.（2）設

y

關于

x

的函數解析式為

y=k'x

+

b'

(4<

x≤

12

).20=4k'+b'

，30=12k'+b'

，由圖象知

解得所以當4<

x≤

12

時，y

關于

x

的函數解析式為