2.3.1二次函數與一元二次方程、不等式（第一課時）(人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第二章)羅湖高級中學朱叢云一、教學目標1.從函數觀點看一元二次方程會結合一元二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系。2.從函數觀點看一元二次不等式。經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義。能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。3.借助一元二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系。二、教學重難點1.判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系。2.能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。三、教學過程從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法。可以幫助學生用一元二次函數認識一元二次方程和一元二次不等式。通過梳理初中數學的相關內容,理解函數、方程和不等式之間的聯系，體會數學的整體性。1.一元二次不等式的概念1.1創設情境，引發思考二次函數與一元二次方程、不等式在初中,我們從一次函數的角度看一元一次方程、一元次不等式,發現了三者之間的內在聯系,利用這種聯系可以更好地解決相關問題對于二次函數、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有這樣的聯系呢?【設計意圖】通過實際問題，讓學生感受“求不等式”這樣的問題是客觀存在的，是源于實際生活的.同時引發學生思考.1.2探究典例，形成概念問題2：【數學情境】在初中，我們學習了從一次函數的觀點看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？【活動預設】通過圖象解決不等式求解問題，分析二次函數與一元二次函數不等式之間的關系【設計意圖】從引例中的具體問題入手，樹立學生數形結合的數學思想，為推廣一元二次不等式求解做準備。教師的講授：下面，我們先考察一元二次不等式與二次函數之間的關系.【設計意圖】從實例推廣到一元二次不等式的一般解法，引導學生從圖象的角度加深對一元二次不等式的理解，為下一個環節作鋪墊.教師的講授：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??問題4：一元二次不等式與一元二次函數有什么關系？【活動預設】根據圖表給出的信息追問，讓學生關聯一元二次不等式和一元二次函數的相關知識，關注他們之間的關系。一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸上方的點的橫坐標x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸下方的點的橫坐標x的集合．【設計意圖】數形結合，讓學生從數和形兩個角度深刻地理解一元二次不等式和一元二次函數之間的關系。3.具體感知，理性分析問題5：【數學情境】【活動預設】根據圖象不同交點情況分析此時一元二次不等式的解集問題6：【數學情境】對于二次項系數是負數的不等式，該怎樣求解呢？【活動預設】求下列不等式的解集：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(1)原不等式可化為2x2－x＋6>0.因為方程2x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函數y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點(如圖所示)．觀察圖象可得，原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函數y＝(x－3)2的圖象如圖所示，根據圖象可得，原不等式的解集為{x|x＝3}．(學生)反思感悟解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數大于0)．(2)求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根．(3)畫出相應二次函數示意草圖，方程有根的將根標在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集．問題7：含參數的不等式問題如何求解？解關于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.學生：原不等式可化為[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，討論a＋1與2(a－1)的大小．(1)當a＋1>2(a－1)，即a<3時，不等式的解為x>a＋1或x<2(a－1)．(2)當a＋1＝2(a－1)，即a＝3時，不等式的解為x≠4.(3)當a＋1<2(a－1)，即a>3時，不等式的解為x>2(a－1)或x<a＋1.綜上，當a<3時，不等式的解集為{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，當a＝3時，不等式的解集為{x|x≠4}，當a>3時，不等式的解集為{x|x>2(a－1)或x<a＋1}．【設計意圖】通過含參數不等式的求解，進一步拓展學生的解一元二次不等式的嚴謹性訓練，體會數學的分類討論思想。問題8：如果已經知道不等式的解集，反過來求不等式是什么怎么辦？已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．學生：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數的關系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)或x>\f