高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市大荔縣名校聯考2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B..，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定為“，”，故選:D.2.設全集，集合，則的子集個數為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意，全集，因為，可得，所以，所以的子集個數為個.故選：B.3.設，，為實數，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，，為實數，且，當，時，，選項A錯誤，因為，，所以，選項B正確，當，時，，選項C錯誤，當，時，，選項D錯誤，故選：B.4.函數的圖象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】，函數奇函數，排除；，排除故選：5.函數的定義域為（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】由題意可知：且，故選：D6.關于x的一元二次方程的兩個實數根的平方和為，則（）A.2 B.8 C.10 D.2或10【答案】A【解析】設，是兩個實數根，則，，故，解得或．當時，符合題意；當時，，不符合題意；綜上，．故選：A．7.中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，而，所以，當時等號成立，所以三角形面積的最大值為.故選：B8.已知點（n，8）在冪函數的圖象上，則函數的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得m－2＝1，解得m＝3，所以，則，因此，定義域為[2，3]，因為函數和函數在[2，3]上單調遞減，所以函數g（x）在[2，3]上單調遞減，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域為[－2，1]．故選:D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知冪函數的圖象經過點，則下列說法正確的是（）A. B.是奇函數C.是偶函數 D.在上單調遞增【答案】ACD【解析】因為函數的圖象過點，所以，即，所以，故A正確：，定義域為，關于原點對稱，所以，所以是偶函數，故B錯誤，C正確：又，所以在上單調遞減，又偶函數，所以在上單調遞增，故D正確．故選：ACD．10.下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為2C.的最小值為4D.的最小值為2【答案】AC【解析】，當且僅當，即時等號成立，故A正確；當時，，故B錯誤；，當且僅當，即時等號成立，故C正確；，當且僅當時等號成立，又無解，故不能取到等號，故D錯誤.故選：AC.11.已知指數函數在上的最大值與最小值之差為2，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】當時，單調遞減，所以，，即，解得（負根已舍棄）；當時，單調遞增，所以，，即，解得（不符合條件的根已舍棄）.綜上，實數的值為或.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數且的圖象必過定點___________．【答案】【解析】令，求得，且，故函數且恒過定點.故答案為：．13.已知，則___________．【答案】【解析】由可得，即，又因為，即，可得即，所以．故答案為：14.已知是定義在R上的偶函數，若在上單調遞減，且，則滿足的a的取值范圍是________.【答案】【解析】因為是定義在R上的偶函數，故，所以要使成立，即，因為在上單調遞減，故，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知全集，集合，集合，其中．（1）若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍．解：（1）因為“”是“”的充分條件，故，則，即，解得，則a的取值范圍為；（2）因為“”是“”是必要條件，故，①當時，，即，符合題意；②當時，則，即，解得，綜上所述：a的取值范圍為．16.已知冪函數與一次函數的圖象都經過點，且.（1）求與的解析式；（2）求函數在上的值域.解：（1）設，，，則，解得，則，；（2）由（1）知，，令，，則，記，當時，，當或1時，，故在上的值域為.17.已知函數．（1）用定義法證明：函數f（x）（0，2）上單調遞增；（2）求不等式的解集．（1）證明：任取，則，因為，所以，所以，所以f（x）在（0，2）上單調遞增.（2）函數f（x）的定義域為（－2，2）．因為，所以函數f（x）為奇函數，又f（0）＝0，所以函數f（x）在（－2，2）上單調遞增，原不等式可化為不等式，因此解得，所以原不等式的解集為．18.某保健廠研制了一種足浴氣血生機的足療盆，具體原理是：在足浴盆右側離中心厘米處安裝臭氧發生孔，產生的臭氧對雙腳起保健作用.根據檢測發現，該臭氧發生孔工作時會對泡腳的舒適程度起到干擾作用，已知臭氧發生孔工作時，對左腳的干擾度與成反比，比例系數為2；對右腳的干擾度與成反比，比例系數為k，且當時，對左腳和右腳的干擾度之和為0.06.（1）求臭氧發生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和y關于x的表達式；（2）求臭氧發生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時x的值.解：（1）由題意，，因為時，，所以，所以，.（2）因為，所以，所以，當且僅當，即時取“”，所以當時，臭氧發生孔對左腳和右腳的干擾度之和最小，為.19.設函數的定義域為，對于區間，若滿足以下兩條性質之一，則稱為的一個“Ω區間”.性質1：對任意，均有；性質2：對任意，均有.（1）分別判斷說明區間是否為下列兩函數的“Ω區間”；；.（2）若是函數的“Ω區間”，求的取值范圍.解：（1）對于，由一次函數性質得它在上單調遞減，所以當時，，故區間是的“Ω區間”，對于，由反比例函數性質得它在上單調遞減，所以當時，，此時不滿足，也不滿足，故區間不是的“Ω區間”，（2）若是函數的“Ω區間”，而，不滿足性質2，必然滿足性質1，由二次函數性質得在上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，且，即，所以，滿足，符合題意，當時，在上單調遞減，所以，而，符合題意，當時，在上單調遞減，，所以，不符合題意，綜上可得的取值范圍為.陜西省渭南市大荔縣名校聯考2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B..，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定為“，”，故選:D.2.設全集，集合，則的子集個數為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意，全集，因為，可得，所以，所以的子集個數為個.故選：B.3.設，，為實數，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，，為實數，且，當，時，，選項A錯誤，因為，，所以，選項B正確，當，時，，選項C錯誤，當，時，，選項D錯誤，故選：B.4.函數的圖象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】，函數奇函數，排除；，排除故選：5.函數的定義域為（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】由題意可知：且，故選：D6.關于x的一元二次方程的兩個實數根的平方和為，則（）A.2 B.8 C.10 D.2或10【答案】A【解析】設，是兩個實數根，則，，故，解得或．當時，符合題意；當時，，不符合題意；綜上，．故選：A．7.中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，而，所以，當時等號成立，所以三角形面積的最大值為.故選：B8.已知點（n，8）在冪函數的圖象上，則函數的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得m－2＝1，解得m＝3，所以，則，因此，定義域為[2，3]，因為函數和函數在[2，3]上單調遞減，所以函數g（x）在[2，3]上單調遞減，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域為[－2，1]．故選:D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知冪函數的圖象經過點，則下列說法正確的是（）A. B.是奇函數C.是偶函數 D.在上單調遞增【答案】ACD【解析】因為函數的圖象過點，所以，即，所以，故A正確：，定義域為，關于原點對稱，所以，所以是偶函數，故B錯誤，C正確：又，所以在上單調遞減，又偶函數，所以在上單調遞增，故D正確．故選：ACD．10.下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為2C.的最小值為4D.的最小值為2【答案】AC【解析】，當且僅當，即時等號成立，故A正確；當時，，故B錯誤；，當且僅當，即時等號成立，故C正確；，當且僅當時等號成立，又無解，故不能取到等號，故D錯誤.故選：AC.11.已知指數函數在上的最大值與最小值之差為2，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】當時，單調遞減，所以，，即，解得（負根已舍棄）；當時，單調遞增，所以，，即，解得（不符合條件的根已舍棄）.綜上，實數的值為或.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數且的圖象必過定點___________．【答案】【解析】令，求得，且，故函數且恒過定點.故答案為：．13.已知，則___________．【答案】【解析】由可得，即，又因為，即，可得即，所以．故答案為：14.已知是定義在R上的偶函數，若在上單調遞減，且，則滿足的a的取值范圍是________.【答案】【解析】因為是定義在R上的偶函數，故，所以要使成立，即，因為在上單調遞減，故，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知全集，集合，集合，其中．（1）若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍．解：（1）因為“”是“”的充分條件，故，則，即，解得，則a的取值范圍為；（2）因為“”是“”是必要條件，故，①當時，，即，符合題意；②當時，則，即，解得，綜上所述：a的取值范圍為．16.已知冪函數與一次函數的圖象都經過點，且.（1）求與的解析式；（2）求函數在上的值域.解：（1）設，，，則，解得，則，；（2）由（1）知，，令，，則，記，當時，，當或1時，，故在上的值域為.17.已知函數．（1）用定義法證明：函數f（x）（0，2）上單調遞增；（2）求不等式的解集．（1）證明：任取，則，因為，所以，所以，所以f（x）在（0，2）上單調遞增.（2）函數f（x）的定義域為（－2，2）．因為，所以函數f（x）為奇函數，又f（0）＝0，所以函數f（x）在（－2，2）上單調遞增，原不等式可化為不等式，因此解得，所以原不等式的解集為．18.某保健廠研制了一種足浴氣血生機的足療盆，具體原理是：在足浴盆右側離中心厘米處安裝臭氧發生孔，產生的臭氧對雙腳起保健作用.根據檢測發現，該臭氧發生孔工作時會對泡腳的舒適程度起到干擾作用，已知臭氧發生孔工作時，對左腳的干擾度與成反比，比例系數為2；對右腳的干擾度與成反比，比例系數為k，且當時，對左腳和右腳的干擾度之和為0.06.（1）求臭氧發生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和y關于x的表達式；（2）求臭氧發生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時x的值.解：（1）由題意，，因為時，，所以，所以，.（2）因為，所以，所以，當且僅當，即時取“”，所以當時，臭氧發生孔對左腳和右腳的干擾度之和最小，為.19.設函數的定義域為，對于區間，若滿足以下兩條性質之一，則稱為的一個“Ω區間”.性質1：對任意，均有；性