山東省青島市萊西市2023-2024學年高一下學期學業水平階段性檢測（四）（期末）數學試題1．已知i為虛數單位，復數z滿足z+1=z?i，則A．22 B．12 C．12．若a=2,0，b=1，a?bA．π6 B．π3 C．π23．sin20°A．1 B．12 C．-1 D．4．底面邊長為3的正四棱錐被平行底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A．263 B．383 C．135．寒假期間，甲、乙、丙、丁4名同學相約到A,B,C,D4個不同的社區參加志愿服務活動，每人只去一個社區，設事件A=“4個人去的社區各不相同”，事件B=“甲獨自去一個社區”，則P(A|B)=（）A．332 B．38 C．296．已知一組樣本數據x1，x2，x3，…，x9滿足：A．平均數 B．中位數 C．極差 D．方差7．若z是復數，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（）A．2 B．52 C．22+28．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，A①直線AC與直線C1E是異面直線；②若∠ABC=90°，則A1E與AC1一定不垂直；③若∠ABC=60°，則三棱錐E?AA1OA．1 B．2 C．3 D．49．如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈．記水輪上的點P到水面的距離為d米（P在水面下則d為負數），則d（米）與時間t（秒）之間滿足關系式：d=Asinωx+φA．k=5 B．A=10 C．ω=2π15 10．有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用x表示第一次取到的小球的標號，用y表示第二次取到的小球的標號，記事件A：x+y為偶數，B：xy為偶數，C：x>2，則（）A．PB=34 B．C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立11．某企業協會規定：企業員工一周7天要有一天休息，另有一天的工作時間不超過4小時，且其余5天的工作時間均不超過8小時（每天的工作時間以整數小時計），則認為該企業“達標”．請根據以下企業上報的一周7天的工作時間的數值特征，判斷其中無法確保“達標”的企業有（）A．甲企業：均值為5，中位數為8B．乙企業：眾數為6，中位數為6C．丙企業：眾數和均值均為5，下四分位數為4，上四分位數為8D．丁企業：均值為5，方差為612．已知a=6，b=3，a?b=?12，則a13．某班成立了A,B兩個數學興趣小組，A組10人，B組30人，經過一周的補習后進行了一次測試，在該測試中，A組的平均成績為130分，方差為115，B組的平均成績為110分，方差為215．則在這次測試中全班學生方差為．14．一項拋擲骰子的過關游戲規定：在第n關要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數和大于n2，則算過關．游戲者可以隨意挑戰某一關．若直接挑戰第三關，則通關的概率為15．某工廠每月最后1個工作日為本月“技術競賽日”，競賽獲獎結果有四種：未獲獎、三等獎、二等獎、一等獎，在以往的技術競賽記錄中隨機抽取了200人，統計制成了如下獲獎人次條形圖.現有甲、乙、丙、丁4人要參加本月“技術競賽日”的競賽，以條形圖中獲獎情況的頻率為每人獲獎的概率.（1）估計在本月“技術競賽日”的競賽中，甲獲一等獎且乙未獲獎的概率；（2）若獲三等獎、二等獎、一等獎所對應的獎金逐級增高，未獲獎則沒有獎金，估計丙所得獎金低于丁所得獎金的概率.16．如圖，ABCD是圓臺下底面圓的內接四邊形，AB=AD=4，C為底面圓周上一動點，∠BCD=π3，PA為圓臺的母線，（1）求該圓臺的表面積；（2）求四棱錐P?ABCD的體積的最大值．17．已知甲、乙兩名學生每天上午、下午都進行體育鍛煉，近50天選擇體育項目情況統計如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假設甲、乙上午、下午選擇鍛煉的項目相互獨立，用頻率估計概率．已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為47（1）請將表格內容補充完整；（寫出計算過程）（2）已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為14，并且當上午的室外溫度低于20度時，甲去打羽毛球的概率為318．某高一數學研究小組，在研究邊長為1的正方形ABCD某些問題時，發現可以在不作輔助線的情況下，用高中所學知識解決或驗證下列有趣的現象．若P,Q分別為邊AB,DA上的動點，當△APQ的周長為2時，PQ有最小值（圖1）、∠PCQ為定值（圖2）、C到PQ的距離為定值（圖3）．請你分別解以上問題．（1）如圖1，求PQ的最小值；（2）如圖2，證明：∠PCQ為定值；（3）如圖3，證明：C到PQ的距離為定值．19．高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數z=a+bi對應復平面內的點Z，設∠XOZ=θ，OZ=r，則任何一個復數z=a+bi都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，這種形式叫做復數三角形式，其中r是復數z的模，θ稱為復數z的輻角，若0≤θ<2π，則θ稱為復數z的輻角主值，記為argz．復數有以下三角形式的運算法則：若zi=（1）求復數z=1+cosθ+isinθ,θ∈π,2π的模z（2）設n≤2024,n∈N，若存在θ∈R滿足sinθ+i

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：設復數z=a+bi(a,b∈R)，則z+1=由z+1=z?i可得則(a+1)2+b2=則z+i=2b+122+1故答案為：A.【分析】設復數z=a+bi(a,b∈R)，代入z+1=z?i代簡可得a=?b，可得2．【答案】A【解析】【解答】解：因為a=2,0，所以又因為a?b=3，

所以所以a?設a與a?b的夾角為所以cosθ=a?a?ba故答案為：A【分析】利用已知條件，先根據向量的模的坐標表示求出a，再根據數量積的運算律求出a?b、a?a?3．【答案】D【解析】【解答】解：sin=1故答案為：D.【分析】由已知條件和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及誘導公式，從而化簡求值.4．【答案】A【解析】【解答】解：如圖所示，正四棱錐S?ABCD被平行于底面的平面A1B由題意可知AB=3,A因為A1C1∥AC，

所以△S所以SO所以SO=3，

則OO所以，所得棱臺的體積為13故答案為：A.【分析】利用已知條件結合斜二測畫法畫出直觀圖，由題意可得△SO1A5．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得：PB=4×所以P(A|B)=P故答案為：C.【分析】根據已知條件和條件概率公式可知P(A|B)=PABP6．【答案】D【解析】【解答】解：由x1<x2<x3<?<x則中位數不一定變化，故選項B不符合題意；因為原平均數為x=x1+x則平均數受極端值影響較大，

所以平均數不一定變化，故選項A不符合題意；去掉x5后，原始數據和新數據的極差都是x9?因為x1<x2<故答案為：D.

【分析】根據平均數的概念判斷出選項A；根據中位數的概念判斷出選項B；根據極差的概念判斷出選項C；根據方差的概念判斷出選項D，從而找出正確的選項.7．【答案】D【解析】【解答】解：設z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，動點Px,y的軌跡可看作以C則|z+1-i|+|z|可看作點P到A?1,1和O又因為|CO|＝22，|CA|＝2易知當P，A，O三點共線時，

則|z+1-i|+|z|取得最大值，且最大值為|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝32故答案為：D．【分析】設z＝x+yi（x，y∈R），由題意可知動點Px,y的軌跡可看作以C?2,2為圓心，2為半徑的圓，|z+1-i|+|z|可看作點P到A?1,18．【答案】B【解析】【解答】解：對于①，因為點A?平面BB1C1C，C∈平面BB1C1C，點C?C1E，對于②，因為側棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，

所以BB1⊥因為∠ABC=90°，

所以∠A1B又因為BB1∩A1B1=B又因為A1E?平面ABB1A故當A1E⊥AB1（此時E為BB1近B1的四等分點）時，

C1B又因為AC1?平面AB1C1對于③：若∠ABC=60°，

則△ABC為正三角形，其外心為正三角形的中心G，

連接CG與AB交于F，

則F為AB的中點，三棱柱外接球的球心O在兩底面中心G,G1因為GG1//平面ABB1A1因為側棱AA1⊥底面ABC，AA1?平面ABB又因為面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CF⊥AB，CF?平面ABC，所以G到平面ABB1A1的距離為13CF=36，所以VE?AA1對④：設△ABC外接圓半徑r，

由正弦定理得2r=BC因為∠BAC∈0,π2，sin∠BAC∈0,1所以外接球半徑R2=r所以，只有①③正確.故答案為：B.【分析】根據異面直線的判斷方法，則判斷出①；根據線面垂直的性質定理判斷出②；利用球心O在兩底面中心G,G1邊線的中點，從而求出O到平面ABB1A1的距離即可求三棱錐E?AA1O的體積，則判斷出③；設△ABC外接圓半徑r，由2r=1sin9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由圖可知d的最大值為15，最小值為?5，所以A+k=15?A+k=?5，解得A=10,k=5，

因為每分鐘轉4圈，

所以轉一圈需要15秒，則周期為15，所以2πω=15，得ω=2π故答案為：ABC.【分析】先根據d的最大值和最小值求出A,k的值，再根據每分鐘轉4圈求出函數的周期，則由函數的最小正周期個數得出ω的值.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由題意，可得PBB、PA=3則PA?PB=1C、PC=4則PA?PC=1D、PBC則PB?PC=3故答案為：ACD.【分析】由題意，根據獨立事件乘法公式計算即可判斷A；根據相互獨立事件定義，分別計算出PA、PB、PAB11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、甲企業每周7天的工作時間可以為：9，8，8，8，2，0，0，滿足均值為5，中位數為8，故不達標，故A正確；B、乙企業：眾數為6，中位數為6，滿足條件的7天工作時間可以為：6，6，6，6，6，6，6，故不達標，故B正確；C、丙企業：眾數和均值均為5，下四分位數為4，上四分位數為8，設7天的工作時間為：4，5，5，8，a，b，ca≤4≤b≤8≤c，b+c+a=13,∴c≤13?b≤9，c=9,b=4與眾數矛盾，c=8，為使眾數為5，b=5成立，故丙企業達標，故C錯誤；D、丁企業：均值為5，方差為6，7天的工作時間可以為0,5,5,5,5,6,9，故D正確.故答案為：ABD.【分析】根據每個企業所給數字特征，找出滿足數字特征但不達標的一個特例即可判斷ABD；滿足條件的數據分析，確定工作時長數據達標即可判斷C.12．【答案】?【解析】【解答】解：設與b方向相同的單位向量為e，則e=則a在b方向上的投影向量為acos故答案為：?4【分析】設與向量b方向相同的單位向量為e，則a在b方向上的投影向量與e共線，則可用λe表示，再由已知條件表示單位向量e，從而求出λ的值，進而得出a在b13．【答案】265【解析】【解答】解：依題意可知，

xA=130，sA2=115∴x=∴全班學生的平均成績為115分，所以，全班學生成績的方差為：

s=故答案為：265.【分析】利用各層方差與總體方差之間的關系式，從而得出全班學生的方差.14．【答案】5【解析】【解答】解：由題意得擲3次骰子，總的可能數為63=216種，

不能過關的基本事件為方程x+y+z=a，

其中a=3,4,5,6,7,8,9的正整數解（則共有1+=1+3+6+10+15+21+28?3=81種，所以不能過關的概率為81216所以通關的概率為1?3故答案為：58【分析】由題意得擲3次骰子，總的可能數為63=216種，不能過關的基本事件為方程x+y+z=a，其中15．【答案】（1）解：依題意可知，

每人未獲獎的概率為20200=110，獲二等獎的概率為100200=12，所以，甲獲一等獎且乙未獲獎的概率P=1（2）解：依題意，有以下三種情形：①丁獲一等獎，丙獲二等獎或三等獎或未獲獎，

則概率為P1②丁獲二等獎，丙獲三等獎或未獲獎，

則概率為P2③丁獲三等獎，丙獲未獲獎，

則概率為P3綜上可得，丙所得獎金低于丁所得獎金的概率P=P【解析】【分析】（1）根據已知條件和相互獨立事件乘法求概率公式，從而計算可得甲獲一等獎且乙未獲獎的概率.（2）分三種情況討論，分別按照相互獨立事件乘法求概率公式，從而求出所對應的概率，再結合互斥事件加法求概率公式，從而估計出丙所得獎金低于丁所得獎金的概率.（1）依題意每人未獲獎的概率為20200=1獲二等獎的概率為100200=1所以甲獲一等獎且乙未獲獎的概率P=1（2）依題意有以下三種情形：①丁獲一等獎，丙獲二等獎或三等獎或未獲獎，則概率P1②丁獲二等獎，丙獲三等獎或未獲獎，則概率P2③丁獲三等獎，丙獲未獲獎，則概率P3綜上可得丙所得獎金低于丁所得獎金的概率P=P16．【答案】（1）解：記圓臺的上、下底面的圓心為O1,O，如圖所示：

因為∠BCD=π3在△ABD中，由余弦定理BD2=A由正弦定理可知：外接圓直徑2R=BDsin∠BAD=43圓臺側面積S側SS下故圓臺表面積S表（2）解：在四邊形ABCD中，S△ABD=12AB×AD×sin∠BAD=43，

在△BCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2?2BCCD?cos∠BCD，

可得BD2=BC2+CD2?BC?CD≥BC?CD，

則BC?CD≤48，當且僅當【解析】【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求得BD=43（2）由三角形面積公式可求得△ABD的面積，在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2?BC?CD≥BC?CD，可得BC?CD≤48（1）因為∠BCD=π3，所以∠BAD=在△ABD中，由余弦定理得BD得BD=43由正弦定理可知外接圓直徑2R=BD所以下底面半徑R=4，上底面半徑r=1，圓臺側面積S側SS下所以圓臺表面積S表（2）在四邊形ABCD中，S△ABD在△BCD中，由余弦定理BD得BD所以BC?CD≤48，當且僅當BC=CD=43時“=所以△BCD的面積S=1底面ABCD面積的最大值為163在軸截面直角梯形PAOO1中，由勾股定理可得所以四棱錐P?ABCD的體積的最大值為1317．【答案】（1）解：設事件C為“甲上午選擇足球”，事件D為“甲下午選擇足球”，

設甲一天中鍛煉情況為（足球，羽毛球）的天數為x，

事件E為“甲一天中鍛煉情況為（足球，羽毛球）”，

則P(E)=n(CD)n(C)=2020+x=4（2）解：記事件A為“上午室外溫度在20度以下”，事件B為“甲上午打羽毛球”，

由題意知：P(A)=P(AB)+P(AB)=14,P(B)=P(BA)+P(BA)=1550=【解析】【分析】（1）根據已知條件和古典概率公式和作差法，從而補充完表格內容.（2）利用已知條件和互斥事件加法求概率公式、對立事件求概率公式以及古典概率公式，從而得出這一天上午室外溫度在20度以下的概率．（1）設事件C為“甲上午選擇足球”，事件D為“甲下午選擇足球”，設甲一天中鍛煉情況為（足球，羽毛球）的天數為x，事件E為“甲一天中鍛煉情況為（足球，羽毛球）”，則P(E)=n(CD)n(C)=所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數為：50?20?10?15=5．（2）記事件A為“上午室外溫度在20度以下”，事件B為“甲上午打羽毛球”，由題意知P(A)=P(AB)+P(ABn(AB)n(A)PAB則：n(AB)n(B)18．【答案】（1）解：如圖1，設∠QPA=θ，θ∈0,π2，則AP=PQ因為△APQ的周長為2，所以PQsin則PQ=2又因為θ∈0,π2，所以θ+當sinθ+π4=1，即θ=π4時，（2）證明：如圖2，設∠PCB=α，∠QCD=β，α,β∈0,則PB=tanα，AP=1?tanα，AQ=1?tan因為△APQ的周長為2，所以2=1?tan則tanα+即tanα+則tanα+β=tanα+tanβ1?所以α+β=π4，所以（3）證明：因為S△CPQ=1又因為AP=1?tanα，所以PQ=2?(AP+AQ)=2?(2?tan又因為CP=1cosα所以tanα+所以sinα所以sin(α+β)由（2）知α+β=π4，可得則CE=1，即C到PQ的距離的定值為1．【解析】【分析】（1）設∠QPA=θ，由題意可得PQsinθ+PQcos（2）設∠PCB=α，∠QCD=β，則PB=tanα，DQ