湖南省邵陽市新邵縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+2i?z=5i（i是虛數(shù)單位），則zA．2?i B．2+i C．?2?i D．?2+i2．在△ABC中，“A<30°”是“sinA<A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.24．若m、n、l表示不同的直線，α、β表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A．若m//α，n//α，則m//nB．若m⊥α，n⊥α，則m//nC．若m⊥l，n⊥l，則m//nD．若m//α，m//β，則α//β5．下列命題正確的是（）A．對(duì)于任意非零向量a、b、c，若向量a、b在向量c上的投影向量相等，則a=B．若a?c=C．向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)一定共線；D．若a?b≠0，且|a|=|b|=|6．在△ABC中，BD=2DA，若CB=λCA+μA．?23 B．?32 C．7．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的內(nèi)心，若OP＝xOB＋yOCA．1063 B．1463 C．48．球缺指的是一個(gè)球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設(shè)球的半徑為R，球缺的高為?，則球缺的體積V=π?A．64π75 B．62π75 C．21π259．已知向量a=A．a(chǎn)≠b B．若aC．若a⊥b，則x=210．有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,???,A．x2,xB．x2,xC．x2,xD．x2,x11．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE,△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（）A．BG⊥EFB．G到平面DEF的距離為2C．若BG∥面EFP，則二面角D?EF?P的余弦值為6D．四面體G?DEF外接球表面積為24π12．i+i2+i13．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為.14．如圖，在平面中，圓O是半徑為1的圓，OA=2，設(shè)B，C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則AC?BC的取值范圍是15．某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的幫扶方案，研究人員經(jīng)過調(diào)查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示．（1）求a的值；（2）求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；（3）現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在[4000，8000)的居民中隨機(jī)抽取8人，則在[4000，6000)的居民有多少人．16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acos（1）求A；（2）若a=6，△ABC的面積為93，求△ABC17．已知向量a，b的夾角為60°，且a=(2,0)（1）若|b|=2，求（2）若(a+b)⊥(a18．某校舉行圍棋比賽，甲?乙?丙三人通過初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲?乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為12（1）求丙每局都獲勝的概率（2）求甲獲得比賽勝利的概率.19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，AB=AD=2BC=2，（1）M為PC上一點(diǎn)，且PM=λMC，當(dāng)PA//平面DMB時(shí)，求實(shí)數(shù)（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，證明l//面ABCD；（3）當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為45°時(shí)，求PC與平面ABCD

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足1+2i?z=5i，則z=5i1+2i=1?2i故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得復(fù)數(shù)z，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由sinA<12，可得0°<A<30°則A<30°能推出sinA<12，但sin故“A<30°”是“sinA<故答案為：A.【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知：密碼被破譯的概率為P=1?1?0.4故答案為：C.【分析】利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式直接求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：在正方體ABCD?EFGH中，

記平面ABCD為平面α，平面DCGH為平面β，EF為m，EH為n，AE為l，A、m//α，n//α，但m和n相交，故A錯(cuò)誤；

B、由線面垂直的性質(zhì)可知若m⊥α，n⊥α，則m//n，故B正確；C、m⊥l，n⊥l，但m和n相交，故C錯(cuò)誤；D、m//α，m//β，但α與β相交，故D錯(cuò)誤.故答案為：B.【分析】在正方體中，取直線和平面即可判斷ACD；由線面垂直的性質(zhì)即可判斷B.5．【答案】D【解析】【解答】解：A、由投影向量定義可得：|a則a、b不一定相等，故A錯(cuò)誤；B、若a?c=b?C、向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)一定共線，顯然不正確，可能AB∥CD，故C錯(cuò)誤；D、設(shè)OA=a，OB=b，以O(shè)A，則a+b因?yàn)閨a|=|b所以△OAB是等邊三角形，則∠BOA=60°，在菱形OACB中，對(duì)角線OC平分∠BOA，則a與a+b所在直線的夾角為故答案為：D.【分析】根據(jù)投影向量的概念即可判斷A；根據(jù)向量運(yùn)算即可判斷B；向量AB與CD是共線向量，可能AB∥CD，即可判斷C；根據(jù)幾何圖形即可判斷D．6．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)锽D=2DA，所以D為AB上靠近點(diǎn)則CB=又因?yàn)镃B=λCA+μCD，所以故答案為：A.【分析】由題意，利用平面向量基本定理，將CB用CA,CD表示出來，求7．【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×26故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC＝故答案為：B

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，其面積為△BOC面積的2倍.8．【答案】A【解析】【解答】解：由題意，以圓錐的高為直徑的球的半徑為1，且與圓錐底面相切與底面圓心，作圓錐PO1的軸截面PAB，軸截面與球O內(nèi)接圓錐底面交于A1所求體積即為球缺P?A1O2Bsin設(shè)圓錐PO2底面半徑為r，則2=2r則圓錐PO2的高為85球缺的高為85，則VV=V故答案為：A.【分析】由題意，求出大球缺的體積和小圓錐的體積后再求圓錐外的體積即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、向量a→=1,x?1B、若a→//b→，則1×2=x?1C、若a→⊥b→，則D、a??b?2故答案為：ACD.【分析】根據(jù)向量相等即可判斷A；根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C；根據(jù)向量模的運(yùn)算即可判斷D.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、設(shè)x2,x3,x4則n?m=x因?yàn)闆]有確定2x1+例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2，故A錯(cuò)誤；B、設(shè)x1≤x2≤x3C、因?yàn)閤1是最小值，x6是最大值，則x2,x3,x4例如：2,4,6,8,10,12，則平均數(shù)n=1標(biāo)準(zhǔn)差s14,6,8,10，則平均數(shù)m=1標(biāo)準(zhǔn)差s2顯然1053>5D、不妨設(shè)x1則x6?x故答案為：BD.【分析】由題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、連BD，EF，可知BD⊥EF，因?yàn)镈G⊥FG，DG⊥EG，EG∩FG=G，所以DG⊥平面EFG，又因?yàn)镋F?平面EFG，所以DG⊥EF，因?yàn)镈G∩BD=D，且DG,BD?平面BDG，所以EF⊥面BDG，又因?yàn)锽G?面BDG，所以EF⊥BG，故A正確；B、因?yàn)镋G=FG=2，EF=22，所以△EFG為直角三角形，所以EG⊥FG則VD?EFG又因?yàn)镾△DEF故G到面DEF的距離d=3VC、令BD∩EF=H，連GH，HP，因?yàn)锽G//面EFP，BG?面BDG，面BDG∩面EFP=HP，所以BG//HP，

又因?yàn)锽HHD=13，所以又因?yàn)镋F⊥面BDG，所以EF⊥HP，EF⊥DH，所以∠DHP即為二面角D?EF?P的平面角，因?yàn)镈G⊥面EFG，所以GP⊥GH，在Rt△GHP中，可得HP=GP2+GH2=1+2=則二面角D?EF?P的余弦值為63D、由于EG，F(xiàn)G，DG兩兩互相垂直，不妨將三棱錐G?DEF放置于一個(gè)長寬均為2、高為4的長方體中，其外接球半徑R=2故其表面積S=4πR故答案為：ACD.

【分析】連BD，EF，證得DG⊥平面EFG，得到DG⊥EF，進(jìn)而證得EF⊥面BDG即可判斷A；根據(jù)等體積法，求得G到面DEF的距離即可判斷B；令BD∩EF=H，連GH，HP，證得EF⊥HP，EF⊥DH，得到∠DHP即為二面角D?EF?P的平面角，利用余弦定理求得二面角D?EF?P的余弦值即可判斷C；將三棱錐G?DEF放置于一個(gè)長方體中，求得外接球半徑R=612．【答案】0【解析】【解答】解：in的周期為4，

則i+故答案為：0.【分析】利用i的指數(shù)冪的周期計(jì)算得出所求代數(shù)式的值即可.13．【答案】2【解析】【解答】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開圖的弧長為2π，又∵側(cè)面展開圖是半圓，∴側(cè)面展開圖的半徑為2，即圓錐的母線長為2，故答案為：2.

【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，列式求解即可.14．【答案】[?2,6]【解析】【解答】解：若D為BC中點(diǎn)，令OA,BC夾角為θ，如圖所示：AC??BC?=(OC?由cosθ≤1，則1當(dāng)|BC|=2時(shí)，AC?由cosθ≥?1，則1當(dāng)|BC|=2時(shí)AC?綜上，AC?BC的取值范圍是故答案為：[?2,6].【分析】若D為BC中點(diǎn)，令OA,BC夾角為θ，由AC?BC=(OC?OA)?BC，將其化為關(guān)于15．【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得：0.00003×2+a+0.00015+0.0002×2000=1，

解得a=0.00009（2）解：所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為1000×0.3+3000×0.4+5000×0.18+7000×0.06+9000×0.06=3360元；（3）解：由（1）得經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000和在6000,8000的人數(shù)比例為3:1，由分層抽樣知，經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000的居民有8×3【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形面積和為1列方程求參數(shù)即可；（2）根據(jù)直方圖計(jì)算平均值即可；（3）根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)求在[4000，6000)的居民數(shù)量.（1）依題意，0.00003×2+a+0.00015+0.0002×2000=1，解得a=0.00009（2）所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為1000×0.3+3000×0.4+5000×0.18+7000×0.06+9000×0.06=3360元．（3）由（1）得經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000和在6000,8000的人數(shù)比例為3:1，由分層抽樣知，經(jīng)濟(jì)損失在4000,6000的居民有8×316．【答案】（1）解：acosC+3csinA=b+c，由正弦定可得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

則（2）解：由題得△ABC的面積S=12bcsin由余弦定理得：a2又a=6，則b2+由①②得：b+c=12，故△ABC的周長為a+b+c=18.【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式化簡求角即可；（2）由三角形面積公式及余弦定理求解即可.（1）由acossin因?yàn)閟inB=所以3sin由于sinC≠0，∴所以sinA?又0<A<π，故A?π6=（2）由題得△ABC的面積S=12bc由余弦定理得：a2又a=6，故b2+由①②得：b+c=12，所以△ABC的周長為a+b+c=18.17．【答案】（1）解：設(shè)向量b=(x,y)，若|b|=2，則x因?yàn)橄蛄縜，b的夾角為60°，所以a?b=|a||b|cos?a,b?=2×2cos60°=2故b的坐標(biāo)是(1,3)或（2）解：若(a+b)⊥(a?b)，則則|=2λ2+λ+1故當(dāng)λ=?12時(shí)，|a【解析】【分析】（1）設(shè)向量b=(x,y)，由題意求出b（2）利用垂直關(guān)系的向量表示求出|b（1）設(shè)b=(x,y)，由|b|=2，得x而向量a，b的夾角為60°，則a?b=|即2x=2，解得x=1，于是y=±3，即有b=(1,3所以b的坐標(biāo)是(1,3)或（2）由(a+b)⊥(a?b)，得因此|=2λ2+λ+1所以當(dāng)λ=?12時(shí)，|a18．【答案】（1）解：丙每局都獲勝有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝，第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率P1第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率P2丙每局都獲勝的概率P=P（2）解：設(shè)甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，丙獲勝為事件C，比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為12比賽進(jìn)行五局，有以下6種情況：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲獲勝的概率為12比賽進(jìn)行七局，有一下8種情況：AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，BCCBAAA，甲獲勝的概率為12故甲獲得比賽勝利的概率為18【解析】【分析】（1）列舉可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率，再由互斥事件概率的加法公式即可；

（2）列舉可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率，再由互斥事件概率的加法公式即可.（1）丙每局都獲勝有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝，第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率P1第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率P2丙每局都獲勝的概率P=P（2）設(shè)甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，丙獲勝為事件C，比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為12比賽進(jìn)行五局，有以下6種情況：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲獲勝的概率為12比賽進(jìn)行七局，有一下8種情況：AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，BCCBAAA.甲獲勝的概率為12故甲獲得比賽勝利的概率為1819．【答案】（1）解：連接AC交BD于點(diǎn)N，連接MN，如圖所示：

因?yàn)镻A//平面BDM，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BDM=MN，所以PA//MN，

在梯形ABCD中，因?yàn)锽C//AD，所以△ADN∽△CBN，CNAN=CBAD=12，

又因?yàn)椋?）證明：因?yàn)锽C//AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC//面PAD，

又因?yàn)锽C?面PBC，面PBC∩面PAD=l，所以BC//l，

又因?yàn)閘?面ABCD，BC?面ABCD，所以l//面ABCD；（3）解：取AD的中點(diǎn)O，連接OP、OB，如圖所示：

因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，且BC//AD，AD=2BC，

所以O(shè)D//BC且OD=BC，四邊形OBCD為平行四邊形，CD//OB，

因?yàn)椤螦DC=90°，所以∠BOD=90°，所以AD⊥OB，

又因?yàn)锳B=AD，所以△ABD為等邊三角形，

又因?yàn)椤鱌AD≌△BAD，所以△PAD為等邊三角形，所以AD⊥OP，

因?yàn)镺P∩OB=O，OP?平面POB，OB?平面POB，所以AD⊥平面POB，

因?yàn)锽P?平面POB，所以AD⊥BP，

過點(diǎn)P作l//AD，由AD//BC，則l//BC，所以l?平面PAD，l?平面PBC，

即平面PAD∩平面PBC=l，所以l⊥OP，l⊥BP，

則∠BPO為平面PAD與平面PBC所成的銳二面角，∠BPO=45°，

又由OP=OB=ABsin60°=2×32=3，所以∠OBP=45°，所以∠BOP=90°，

因?yàn)镻O⊥OB，AD⊥PO，

因?yàn)锳D∩OB=O，AD?平面ABCD，OB?平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

所以∠PCO為PC與平面【解析】【分析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)N，連接MN，利用線面平行的性質(zhì)推出PA//MN，由△ADN∽△CBN可得CNAN=CBAD=（2）證明出BC//面PAD，利用線面平行的性