【高考真題】2025年普通高等學校招生全國統一考試數學試題（天津卷）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(共9題；共45分)1．（5分）集合U={1,A．{1,2,3,4} 2．（5分）設x∈R，“x=0”是“sin2x=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知函數y=f(x)的圖象如下，則f(x)的解析式可能是（）A．fx=x1?|x| B．4．（5分）若m為直線，α,A．若m∥α,n?α，則m∥n B．若m⊥α,m⊥βC．若m∥α,m⊥β，則α⊥β D．若m?α5．（5分）下列說法錯誤的是（）A．若X~N(μB．若X~N(1C．|r|越接近于1，相關性越強D．|r|越接近于0，相關性越弱6．（5分）已知Sn=?nA．112 B．48 C．80 D．647．（5分）函數f(A．(0,0.3) B．(8．（5分）已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,?π<φ<π)A．?32 B．?129．（5分）雙曲線x2a2?y2b2=1a＞0，b＞0的左、右焦點分別為F1A．2 B．5 C．2+12 二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.(共6題；共30分)10．（5分）已知i是虛數單位，則|3+ii11．（5分）在(x?1)6的展開式中，x12．（5分）l1:x?y+6=0與x軸交于點A，與y軸交于點B，與圓(x+1)2+(y?3)13．（5分）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4，跑6圈的概率為0.6，若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0.6，跑6圈的概率為0.4，①小桐一周跑11圈的概率為．②若一周至少跑11圈為動量達標，則連續跑4圈，記合格周數為X，則期望E(X14．（5分）△ABC中，D為AB邊的中點CE=13CD,AB=a，AC=b，則AE=15．（5分）a.b∈R，對?x∈[?2,2三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(共5題；共75分)16．（14分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知asin（1）（4分）求A的值；（2）（5分）求c,（3）（5分）求sin(A+2B17．（15分）正方體ABCD?A1B1C1（1）（5分）證明：GF⊥平面EBF；（2）（5分）求平面FBE與平面EBG夾角的余弦值；（3）（5分）求三棱錐D-FBE的體積.18．（15分）已知橢圓x2a2+y2b2=1a＞b＞0的左焦點為F，右頂點為A,（1）（7分）求橢圓的方程；（2）（8分）過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分∠AFB.19．（15分）已知{an}為等差數列，{（1）（7分）求{a（2）（8分）?n∈N?，I={①求證：?t∈Tn，均有②求Tn20．（16分）已知f（1）（6分）a=1時，求f(x)（2）（10分）f(x)有3個零點x①求a的取值范圍；②證明：(ln

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：集合A={1,集合U={1,2,【分析】根據集合的并集、補集定義求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：當x=0時，sin2x=0，即充分性成立；

當sin2x=0時，2x=kπ,k∈Z，即x=故答案為：A.【分析】根據充分、必要條件的定義結合三角函數知識判斷即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、函數fx=x1?|x|為奇函數，圖象不關于y軸對稱，故A不符合；

B、函數fx=x|x|?1為奇函數，圖象不關于y軸對稱，故B不符合；故答案為：D.【分析】根據函數的奇偶性，特殊值結合圖象判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、若m∥α,n?α，則m∥n或異面，故A錯誤；

B、若m⊥α,m⊥β，則α∥β，故B錯誤；

C、若m∥α,m⊥β，則α⊥β，故C正確；

D、若m?α,故答案為：C.【分析】根據空間中線線，線面、面面位置關系判斷即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、X~N(μ,σ2)，則P(X≤μ?σ)=P(X≥μ+σ)，故A正確；

故答案為：B.【分析】根據正態分布的特征即可判斷AB；根據相關系數的性質即可判斷CD.6．【答案】C【解析】【解答】解：當n=1時，a1當n≥2時，an=Sn?Sn?1=?n2+8n+n?12?8n?1=?2n+9，

當n=1時，a1=7，符合上式，即an=?2n+9，

則|an|前12項和為：|a1|+|a2|+…+|a4|+|a5|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6【分析】根據an與Sn的關系求得數列7．【答案】B【解析】【解答】解：易知函數f(x)=0.3x?x在[0,+∞)上單調遞減，

且f(0故答案為：B.【分析】利用指數函數、冪函數的單調性，結合零點存在性定理判斷即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因為函數x=π12為一條對稱軸，(π3,0)為一個對稱中心，

所以周期T=4π3?π12=4×π4=π，即T=2πω=π，又因為ω>0，所以ω=2，

又因為函數fx在[?5π故答案為：A.【分析】利用函數的對稱軸、對稱中心求周期，確定ω，再由函數fx在[?5π12,π9．【答案】A【解析】【解答】解：易知F2p2,0，p=2c，設Px0,y0，

過F易知直線AF1為拋物線y2=2px(p>0)的準線，即PA=PF2，

由雙曲線的定義可知：PF1?PF2=2a①，

若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c②，由①②解得：PF1=3c+a，【分析】過F1作x軸的垂線，過P作垂線的垂線，垂足為A，利用拋物線、雙曲線的定義結合已知條件求得PF1=3c+a，10．【答案】10【解析】【解答】解：|3+i故答案為：10.【分析】根據復數模的性質求解即可.11．【答案】?20【解析】【解答】解：(x?1)6令6?r=3，解得r=3，則(x?1)6的展開式中x3的系數為?13【分析】寫出(x?1)6展開式的通項，令6?r=312．【答案】2【解析】【解答】解：易知A?6,0，B0,6，因為|AB|=3|CD|，所以CD=22，

圓心到直線的距離為d=?1?3+61+1=2，則【分析】由題意，先求點A,B的坐標，再由兩點間距離公式求得AB，可得CD，最后利用點到直線的距離公式結合勾股定理求解即可.13．【答案】0.6；3.2【解析】【解答】解：記事件A為小桐一周跑11圈，：分為第一次跑5圈，第二次跑6圈；第一次跑6圈，第二次跑5圈，則小桐一周跑11圈的概率為PA=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；

記事件B為至少跑11圈，則PB=0.5×0.6+0.5×0.6+0.5×0.4=0.8，

則故答案為：0.6；3.2.【分析】由題意，利用全概率公式求解即可；再求至少跑11圈的概率，利用二項分布的期望公式求解即可.14．【答案】16【解析】【解答】解：因為D為AB邊的中點，所以CD→=12CA→+CB→，

則AE→=AC→+CE→=AC→+13CD→=AC→+16CA→+115．【答案】-4【解析】【解答】解：令fx=(2a+b)x2+bx?a?1

當2a+b=0時，b=?2a，fx=?2ax?a?1，要使?x∈[?2,2]，fx≤0恒成立，

則f?2≤0f2≤0，解得?15≤a≤13，存在a使得不等式成立；

當2a+b≠0時，函數fx=(2a+b)x2+bx?a?1為二次函數

對?x∈[?2,2]，均有(2a+b)x2+bx?a?1≤0則(2a+b)min=?4.【分析】令fx=(2a+b)x2+bx?a?1，分2a+b=0和2a+b≠0討論，取特殊值x=1，16．【答案】（1）解：在△ABC中，asinB=3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=（2）解：A=π3，c?2b=1,a=7，由余弦定理cosA=b2+c2（3）解：由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=2114，

【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解即可；

（2）由（1）的結論，結合余弦定理求解即可；

（3）由（1）（2）的結論，結合正弦定理求得sinB=211417．【答案】（1）證明：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：

易知G0,4,3，F2,4,4，E2,0,4，B4,4,0，

EF→=0,4,0,EB→=2,4,?4,GF→=2,0,1，（2）解：由（1）可知：GF→可作為平面FBE的法向量，

EG→=?2,4,?1,BG→=?4,0,3

設平面EBG的法向量為n→=x,y,z，則n→·EG→=0n→·（3）解：由（1）可知EF⊥平面BCC1B1，因為FB?平面BCC1B1，所以EF⊥FB，

S△BFE=12EF·BF=12【解析】【分析】（1）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可；

（3）利用空間向量法計算點到面的距離，再利用椎體體積公式求解即可.18．【答案】（1）解：易知F?c,0，Aa,0，離心率為12，則ca=12，即a=2c，

設Pa,m，因為直線PF的斜率為13，所以m?0a??c=ma+c=13，

所以ma+c=m3c（2）解：由（1）可得P2,1，F?1,0，A2,0，

易知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=kx?2+1，

聯立y=kx?2+1x24+y23=1，消元整理可得3+4k2x2+8k1?2kx+41?2k2?12=0，

因為過P點的直線與橢圓有唯一交點，所以△=8k1?2k2?4由余弦定理得cos∠BFP=cos∠AFP=31010，【解析】【分析】（1）利用橢圓的額離心率求得a=2c，設Pa,m，由直線PF求得m=c，得點P的坐標，再由三角形面積求得c，即可得橢圓方程；

（2）易知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=kx?2+1，聯立直線與橢圓方程，由題意求得直線方程，以及點B19．【答案】（1）解：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，

由a1=b1=2（2）①證明：由（1）可得pnanbn=0或pnanbn=3n?12n，an+1bn+1=3n+22n+1，

當pnan+1an+1bn+1?Sn=②解：由(i)可得tmax=(3n?4)?2n+1+8，為Tn中的最大元素，

由題意可得：Tn=tmax,tmax?ai【解析】【分析】（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，由題意列式求解，再寫出通項公式即可；

（2）①、由題意，結合（1）求出an+1bn+1和p1a120．【答案】（1）解：當a=1時，函數f(x)=x?(lnx)2定義域為0，+∞，f'(x)=1?2（2）解：①、令f(x)=0，則a=(lnx)2x，令gx=(lnx)2x，

由題意可得：y=a與曲線gx=(lnx)2x有3個不同的交點，

gx=(lnx)2x，g'x=2lnx?lnx2x2=lnx2?lnxx2，

令g'x=0，解得x=1或x=e2，

當0<x<1時，g'x<0，gx單調遞減；當1<x<e2時，g'x>0