高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊綜合檢測卷（拔尖C卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，，再通過求在上的投影向量即可.【詳解】由題意，，，，在上的投影向量為故選：B.2．如果直線經過點，，那么直線的傾斜角的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】根據兩點間斜率公式，可求得斜率的取值范圍，即可由傾斜角與斜率關系求得傾斜角的范圍.【詳解】直線經過點，，由斜率公式可得，由二次函數性質可知，設傾斜角為，即，所以由正切函數圖像與性質可知，故選：D.【點睛】本題考查了兩點間斜率公式，傾斜角與斜率關系，屬于基礎題.3．已知長方體中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，求出的坐標，利用得坐標，然后利用可得．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則．，

，解得，，，，解得．故選：C．4．已知點在直線上的射影為點B，則點B到點距離的最大值為（

）．A． B．5 C． D．【答案】C【分析】先判斷直線l恒過點，根據題意知點B在以線段為直徑的圓上，再利用圓的幾何性質求解即可,【詳解】將直線l整理得到，于是，解得，所以直線l恒過點，因為點在直線上的射影為點B，所以，則點B在以線段為直徑的圓上，該圓的圓心坐標為，半徑大小為，又，所以點B到點距離的最大值為，故選：C．5．已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點．，由，解得，故過定點，故，距離的最大值為．此時，，則，，解得，故．故選：C．6．公元前世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意計算得的軌跡方程為，根據對稱性可得圓心在直線方程上，即，從而利用乘“1”法即可得到最值.【詳解】設點的坐標為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的最大值為10，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義得到，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，進而可得，即得．【詳解】∵，為橢圓的兩個焦點，∴，，的周長為，即，若最小，則最大．又當軸時，最小，此時，故，解得．故選：C.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】設，，根據和拋物線性質得出，再根據雙曲線性質得出，，最后根據余弦定理列方程得出、間的關系，從而可得出離心率．【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線，垂足分別為、，不妨設，，則，為雙曲線上的點，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知向量是平面的一個法向量，點在平面內，則下列點也在平面內的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】記選項中的四個點依次為A，B，C，D，結合數量積的坐標運算驗證，，，是否與垂直即可．【詳解】記選項中的四個點依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.10．設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（

）A．為定值B．的周長的取值范圍是C．當時，為直角三角形D．當時，的面積為【答案】ACD【分析】對選項進行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標，由數量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設橢圓的左焦點為，則所以為定值，A正確；的周長為，因為為定值6，所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；將與橢圓方程聯立，可解得，又因為，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯立，解得，，所以，D正確.故選：ACD11．已知直線：過拋物線：（）的焦點，且與拋物線交于A，兩點，過A，兩點分別作拋物線準線的垂線，垂線分別為，，則下列說法錯誤的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的長度為C． D．線段的中點到軸的距離為【答案】BD【分析】求出拋物線的焦點坐標，可得，即可判斷A;聯立方程求出A,B坐標，可得，判斷B；確定M,N坐標，可計算，判斷C;求出線段的中點坐標，即可判斷D.【詳解】由題意不妨設點A在點上方，直線：與x軸交點，又經過的焦點，故，可得，即拋物線方程為：，A正確．由，可得，解得或，可得，，所以，B錯誤．由以上分析可知，，，，可得，則，即，C正確．因為，，故線段的中點為，則線段的中點到軸的距離為，D錯誤，故選：BD．12．已知圓上的三個點分別為，，，直線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．過作直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為C．若直線被圓截得的弦長為2，則的方程為或D．當點到直線的距離最大時，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為【答案】CD【分析】設圓的方程為，列出方程組，求得的值，可判斷A錯誤；連接，，求得和，得到的斜率的取值范圍，可判定B錯誤；由直線被圓截得的弦長為2，得到圓心到直線的距離，求得的值，可判定C正確；求得，進而得到四邊形面積的最小值，可判定D正確.【詳解】設圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，故A錯誤；連接，，直線的斜率，直線的斜率，可得過點的直線與線段相交時，的斜率的取值范圍為，故B錯誤；由圓的標準方程為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離，則，解得或，故直線的方程為或，故C正確；由直線過定點，連接，，當時，點到直線的距離最大，，當最小時，四邊形的面積最小，又由，所以四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A，B兩點都在直線上，且A，B兩點的橫坐標之差的絕對值為，則A，B兩點間的距離為.【答案】【分析】設，則，然后利用兩點間的距離公式求解即可【詳解】設點，則，所以，故答案為：14．在三棱錐P-ABC中，和均為等邊三角形，且二面角的大小為120°，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為．【答案】/0.625【分析】取BC的中點O，連接OP,OA，由題意可得AO⊥BC,PO⊥BC，從而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝120°，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：如圖，

取BC的中點O，連接OP,OA，因為和均為等邊三角形，所以AO⊥BC,PO⊥BC，,所以BC⊥平面PAO，平面ABC,所以平面PAO⊥平面ABC，且∠POA的大小就是二面角P--BC--A的大小，即∠POA＝120°，建立空間直角坐標系如圖所示，設，則點，，B(0,1,0)，，所以，，所以，所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為.故答案為：15．已知雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，焦距為8，且的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2，則的標準方程為.【答案】【分析】根據題意及雙曲線的性質列出關于a，b，c的方程求解即可.【詳解】設的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為a，b，c，由已知得，即，又焦距為8，所以，，，所以的標準方程為．故答案為：．16．橢圓上一點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，AF⊥BF，∠ABF＝，，，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據B和A關于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進而根據α的范圍確定e的范圍．【詳解】∵B和A關于原點對稱，∴B也在橢圓上，設左焦點為F′根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα

…②|BF|=2ccosα

…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+≤

∴≤sin（α+）≤1

∴≤e≤故答案為：[，]【點睛】本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的對稱性的靈活運用，要特別利用好橢圓的定義，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知空間三點，，，設，．(1)設，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，求k．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）由空間向量平行，得出，設，再利用列方程，進而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根據反三角函數即可求得向量夾角；（3）利用空間向量垂直充要條件列出關于的方程，解之即可求得的值．【詳解】（1）由題可知，，由，得，設，因為，所以，解得，所以或．（2）因為、、，，，所以，，則，所以與的夾角為．（3）因為，，又與垂直，所以，解得或．18．已知圓，過點作直線交圓于、兩點．（1）當經過圓心時，求直線的方程；（2）當直線的傾斜角為時，求弦的長；（3）求直線被圓截得的弦長時，求以線段為直徑的圓的方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出圓的圓心，代入直線方程，求出直線的斜率，即可求直線l的方程；（2）當直線l的傾斜角為45°時，求出直線的斜率，然后求出直線的方程，利用點到直線的距離，半徑，半弦長的關系求弦AB的長；（3）利用垂徑公式，明確是的中點，進而得到以線段為直徑的圓的方程．【詳解】（）圓的方程可化為，圓心為，半徑為．當直線過圓心，時，，∴直線的方程為，即．（）因為直線的傾斜角為且過，所以直線的方程為，即．圓心到直線的距離，∴弦．（）由于，而弦心距，∴，∴是的中點．故以線段為直徑的圓圓心是，半徑為．故以線段為直徑的圓的方程為．19．已知直線是拋物線的準線，是坐標原點，是上一點，過作，垂足為，已知.(1)求的方程；(2)直線經過的焦點，且與交于兩點，若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）把用坐標表示出來，再把點坐標代入拋物線方程，聯立解得和，得拋物線方程；（2）由垂直求得直線的方程，設，直線方程代入拋物線方程整理后應用韋達定理得，由此求得弦長，由點到直線距離公式求得三角形的高，從而可得面積．【詳解】（1）由題可知準線的方程為.因為，所以.又，所以，故的方程為.（2）由（1）可知.因為，所以直線的方程為，設，聯立方程組整理得，則，故.點到直線的距離，則的面積.20．如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，，由線面角的向量求法可構造方程求得，結合垂直關系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結果.【詳解】（1）連接，分別是線段的中點，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，設，，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；設直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

21．已知橢圓（）的兩焦點為和，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且的周長為8.(1)求橢圓C的方程；(2)若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由橢圓的定義可知的周長為,由此即可求出，再結合，即可求出答案.（2）設出直線，聯立直線與橢圓，消，利用韋達定理即可表示出、.利用即可列出方程,即可求出答案.【詳解】（1）∵的周長為8，∴，即，又，且，∴，.∴橢圓C的方程為.（2）依題意可設直線的方程為：，聯立消去x得.設，，則，.∴.∴，解得.∴直線的方程為：或22．已知雙曲線與圓相切，過的一個焦點且