第03講：一元二次方程根與系數的關系【考點梳理】考點一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當時，方程有兩個不相等的實數根：；(2)當時，方程有兩個相等的實數根：；(3)當時，方程沒有實數根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式：.考點二、一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的兩個根為：.所以：，.定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：.說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理稱為韋達定理．上述定理成立的前提是．【題型歸納】題型一：一元二次方程的根的判斷式1．關于x的一元二次方程，根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：一元二次方程中的，則這個方程根的判別式為，所以這個方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．2．關于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．實數根的個數與實數的取值有關【答案】C【分析】根據一元二次方程根的判別式求出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．3．在正比例函數中，的值隨值的增大而減小，則關于的一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定【答案】A【分析】根據正比例函數的性質得到k<0，再根據一元二次方程的根的判別式即可解答．【詳解】解：∵正比例函數中，的值隨值的增大而減小，∴，∵關于的一元二次方程為，∴，∴一元二次方程為有兩個不相等的實數根．故選．【點睛】本題考查了正比例函數的性質，一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．題型二:判斷式求參數問題4．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的值可以是（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根得到，解得，即可得到解答．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的根的判別式是：．∵方程有兩個不相等的實數根，∴，解得．∴的值可以是0，故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程有兩個相等的實數根；③當時，方程無實數根．5．一元二次方程有兩個實數根a，b，那么一次函數的圖象一定不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據根與系數的關系即可求出與的值，然后根據一次函數的圖象與性質即可求出答案．【詳解】解：由根與系數的關系可知：，，∴∴一次函數解析式為：，故一次函數的圖象一定不經過第四象限．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系以及一次函數的圖象與性質．6．已知關于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，再由可得，然后根據一元二次方程根的判別式可得，即可確定m的值．【詳解】解：∵關于x的方程的兩實數根為，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有兩個實數根，∴，解得：，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式等知識點，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．題型三：一元二次方程的根與系數的關系7．已知m，n是方程的兩根，則代數式的值等于（

）A．0 B．?11 C．9 D．11【答案】C【分析】將化為，根據m，n是方程的兩根，以及一元二次方程根與系數的關系可得，，即可求解．【詳解】解：根據題意可得：，∵m，n是方程的兩根，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數的值是方程的解，一元二次方程根與系數的關系．8．已知m，n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出，然后將分式化簡，代入即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，分式的化簡求值，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．9．設與為一元二次方程的兩根，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根于系數的關系可得、，然后代入進行配方即可解答．【詳解】解：∵∴，，．，．的最小值為．故選：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、運用配方法求最值等知識點，掌握配方法是解答本題的關鍵．題型四：根和系數與判別式的綜合應用10．已知關于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若，是方程的兩個實數根，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或．【分析】（1）根據一元二次方程根的情況與判別式的關系，只要判定即可得到答案；（2）根據一元二次方程根與系數的關系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：關于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實數根；（2）解：∵，是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關系，一元二次方程根與系數的關系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯系、一元二次方程根與系數的關系是解決問題的關鍵．11．已知關于x的一元二次方程．(1)若此方程有兩個不相等的實數根，，求m的取值范圍；(2)若此方程的兩根互為倒數，求的值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式進行求解即可；（2）根據根與系數的關系結合倒數的定義得到，再由進行求解即可．【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，即，∴；（2）解：∵，是關于x的一元二次方程的兩個實數根，，且互為倒數，∴，∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，完全平方公式的變形求值，靈活運用所學知識是解題的關鍵．12．已知關于x的方程，其中p，q都是實數．(1)若時，方程有兩個不同的實數根，，且，求實數p的值．(2)若方程有三個不同的實數根，，，且，求實數p和q的值．(3)是否同時存在質數p和整數q使得方程有四個不同的實數根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時，；當時，【分析】（1）根據根與系數的關系可得，，，代入可得關于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個不同的實數根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數的關系可得，，．，進而得到關于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個不同的實數根，，，，由（2）知，不妨設，是方程的兩根，，是方程的兩根，可得，進行討論即可求解．【詳解】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個不同的實數、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因為，所以．（2）顯然．方程可寫成．因該方程有三個不同的實數根，即函數與的圖象有三個不同的交點，可得：，，即，因為、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個不同的實數根，，，，由（2）知，不妨設，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因為，所以，因為是質數，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當時，；當時，．【點睛】本題考查了一元二次方程的整數根與有理根，根與系數的關系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是【專題突破】一、單選題13．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用一元二次方程根判別式的意義可得，然后解不等式即可解答．【詳解】解：一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得，．故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的情況與判別式的關系，掌握①，一元二次方程有兩個不相等的實數根；②，一元二次方程有兩個相等的實數根；③，一元二次方程無實數根．14．關于的一元二次方程無實數根，則一次函數的圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據一元二次方程無實數根得且，即可得，又∵，可得一次函數的圖象經過一、二、四象限，即可得．【詳解】解：∵一元二次方程無實數根，∴且，，，，又∵，∴一次函數的圖象經過一、二、四象限，∴一次函數的圖象不經過第三象限，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數的圖像性質，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．15．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【分析】由關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，得到且，由此即可求出的取值范圍．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，解得：且，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當

時，方程沒有實數根．16．已知是關于x的一元二次方程的一個解，則a的值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】把代入方程計算即可求出a的值．【詳解】解：把代入方程得：，解得：．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值，將方程的根代入原方程是解題的關鍵．17．對于實數a，b定義運算“※”為，例如．若關于x的方程沒有實數根，則m的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據新的運算法則列出一元二次方程，再根據一元二次方程根的判別式即可解答．【詳解】解：由題意可得：可化為：∵關于x的方程沒有實數根，∴，解得：，觀察發現僅有D選項符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了整式運算、一元二次方程根的判別式等知識點，掌握當一元二次根的判別式小于零，該方程無實數根是解答本題的關鍵．18．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡分式，由根與系數的關系得出，再將其代入計算即可得出結論．【詳解】解：，∵a，b是一元二次方程的兩根，∴，∴原式．故選：A．【點睛】本題考查了分式的化簡，一元二次方程根與系數的關系，根據根與系數的關系得出是解題的關鍵．19．已知m、n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用根與系數的關系，進行求解即可．【詳解】解：∵m、n是一元二次方程的兩根，∴，∴；故選A．【點睛】本題考查根與系數的關系．熟練掌握兩根之和等于，兩根之積等于，是解題的關鍵．20．已知a，b是一元二次方程的兩根，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據a，b是一元二次方程的兩根可得，分式化簡得，將代入求解即可．【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩根，∴．∴故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，分式的化簡求值，掌握相關公式和法則是解題的關鍵．21．已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據根與系數的關系可得，由根的定義可得，代入整理即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，以及根與系數的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數的關系式：，．22．已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，，且，，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．且【答案】C【分析】根據一元二次方程的根的判別式，建立關于的不等式，求出的取值范圍．根據，，可得，結合，從而最后確定的取值范圍．【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，綜上，的取值范圍為：．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，關鍵是得到．23．若關于的方程的兩個實數根滿足關系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根據根與系數的關系得到，再把兩邊平方后利用完全平方公式變形得到，然后將代入求關于k的方程，最后再利用判別式確定k的取值．【詳解】解：∵關于的方程的兩個實數根∴，∵∴∴，整理得：，解得，當時，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實數解；當時，方程變形為，即，，方程有兩個不相等的實數解；∴k的值為11或．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系、根的判別式等知識點，若方程兩個為，則是解答本題的關鍵．24．若m，n是一元二次方程的兩個實數根，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用一元二次方程根的定義和根與系數關系得到，，，，對分子進行因式分解后，利用整體代入即可得到答案．【詳解】解：∵m，n是的兩個實數根，∴，，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數關系等知識，關鍵在于利用因式分解正確變形，用整體代入方法解決．二、填空題25．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數根求出m的取值范圍，由根與系數關系得到，代入，解得的值，根據求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數關系，熟練掌握根的判別式和根與系數關系的內容是解題的關鍵．26．已知關于x的一元二次方程有兩個不等實數根，，若，則k的值為______．【答案】2【分析】先利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；再由一元二次方程的根與系數的關系可得，解方程即可解答．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不等實數根，此方程根的判別式，解得．由題意得：，解得或，又，的值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的相關知識是解題關鍵．27．關于的一元二次方程兩個實數根、且，則m的取值范圍是________；【答案】【分析】根據根的判別式、根與系數的關系列出關于的不等式組，通過解該不等式組，求得的取值范圍．【詳解】解：∵的一元二次方程兩個實數根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了解不等式組，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．28．已知是方程的兩個實數根，且，則的值為___________．【答案】7【分析】根據根與系數的關系求出與的值，然后整體代入求值即可．【詳解】∵是方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，，，∴解得．故答案為：7．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，代數式求值．熟記一元二次方程根與系數的關系：和是解題關鍵．29．若，是方程的兩個實數根，則代數式的值為______．【答案】【分析】先根據一元二次方程根的定義得到，則化為，再利用根與系數的關系得，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵，是方程的兩個實數根，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．也考查了一元二次方程的解，求代數式的值，運用了整體代入的思想．三、解答題30．已知關于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是整數，求正整數的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）求出判別式的符號，進行判斷即可；（2）根據根與系數的關系進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；∵，∴方程總有兩個實數根；（2）解：設方程的兩個根為，則：，∵方程的兩個實數根都是整數，∴是整數，∵為正整數，∴．【點睛】本題考查根的判別式，根與系數的關系．熟練掌握判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根，判別式等于0，方程有兩個相等的實數根，判別式小于0，方程沒有實數根，以及根與系數的關系，是解題的關鍵．31．已知關于的一元二次方程有實數根．(1)求實數的取值范圍；(2)當時，設方程的根為，，求代數式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意可得一元二次方程根判別式，解不等式即可求解；（2）當時，方程為，根據一元二次方程根的定義，以及一元二次方程根與系數的關系式得出，，，，代入代數式，進而即可求解．【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有實數根，，即，整理得：，解得：．故實數的取值范圍是：；（2）當時，方程為，該方程的兩個實數根分別為，，，，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．32．已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據題意可得：，，然后將原式化為，再整體代入計算即可；（2）根據，整體代入計算后開平方根求得的值，將原式化為，再整體代入計算即可；（3）將原式化為，再整體代入計算即可；（4）由（2）知的值，再開算術平方根即可．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，∴的值為；（2）∵∴，∴，∴，∴的值為；（3）∵，∴的值為；（4）由（2）知：，∴的值為．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握查一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．33．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知，．根據上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：方程的解為；(2)間接應用：已知實數，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設，則原方程可化為，解關于的方程得到，，則或，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據已知條件，當時，，解關于的一元二次方程得，則；當時，把、看作方程的兩不相等的實數根，則根據根與系數的關系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）解：，設，則原方程可化為，解得：，，當時，，解得：，，當時，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實數，滿足：，且，當時，，解關于的一元二次方程，得：，∴；當時，則、是方程的兩不相等的實數根，∴，，∴；∴的值為或或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數式的值，運用了恒