一卷練透06概率公式（條件概率，全概率公式，獨立重復(fù)實驗）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要12022下·廣東肇慶·高二廣東肇慶中學校考期中）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是()【答案】【答案】C【分析】根據(jù)條件概型的知識求得正確答案.【詳解】在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，再次抽取時，抽到奇數(shù)的概率為.222023下·江蘇南通·高二校考期中）已知隨機事件A，B滿足【答案】A【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出進而推得即可根據(jù)條件概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得試卷第2頁，共13頁故選：故選：A.32023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知P(BA)=，P(A)=，則P(AB)=() 【分析】由條件概率的計算公式求解即可. 【詳解】由題意，知P(AB)=P(BA)P(A)=×=.故選：C.42023下·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學校考期中）某學生回家途中遇到紅燈的概率為，這名學生回家途中共有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，設(shè)X表示這名學生回家途中遇到紅燈的次數(shù)，則P(X≥2)等于()【答案】【答案】A【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的性質(zhì)可得P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)，進而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，52023上·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）某校高二年級（12）班準備聯(lián)合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一人先進行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節(jié)目.（1）班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7的兩個轉(zhuǎn)盤（如圖所示設(shè)計了一種游戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝．兩班獲勝的概率分別是()ABCD【答案】【答案】C試卷第3頁，共13頁【分析】【分析】利用獨立事件概率乘法公式計算.【詳解】設(shè)（1）班獲勝為事件A2）班獲勝為事件B，62023上·新疆·高二八一中學校考期中）從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從兩個口袋內(nèi)各摸1個球，那么概率為的事件是()A．兩個都不是白球B．兩個不全是白球C．兩個都是白球D．兩個球中恰好有一個白球【答案】B,,從而得到兩個球不全是白球的概率為1-×，由此得出結(jié)論.,從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，3,從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，3故兩個球不全是白球的概率為，72023上·湖北·高二鄖陽中學校聯(lián)考期中）如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為()【答案】A【分析】由并聯(lián)和串聯(lián)電路的性質(zhì)先求出從A到B電路不能正常工作的概率，再由對立事件的概率求解.【詳解】上半部分電路暢通的概率為下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，暢通的概率為試卷第4頁，共13頁故選故選:A．82023下·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）為了遠程性和安全性上與美國波音747競爭，歐洲空中客車公司設(shè)計并制造了A340，它是一種有四臺發(fā)動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發(fā)動機的A310，假設(shè)每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為1-p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知A340飛機至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；A310飛機需要2個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行.若要使A340飛機比A310飛機更安全，則飛機引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是()【答案】C【分析】利用獨立重復(fù)事件概率公式，分別求兩種飛機正常飛行的概率，再根據(jù)條件列出不等式，即可求解.【詳解】若A340飛機正常飛行，至少3個引擎正常運行，概率P1=Cp3(1-p)+p4=p3(4-3p)，若A310飛機正常飛行，2個引擎都正常運行，概率P2=p2，由題意可知，Cp3(1-p)+p4=p3(4-3p)>p2，解得：則所以飛機引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．92022下·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）某同學投籃1次，投中的概率是0.8，他連續(xù)投籃4次，且他每次投籃互不影響，則下列四個選項中，正確的()A．他第3次投中的概率是0.8B．他恰投中3次的概率是0.83×0.2C．他至少投中1次的概率是1-0.24D．他恰好有連續(xù)2次投中的概率為3×0.83×0.2【答案】【答案】AC【分析】利用相互獨立事件的概率和獨立重復(fù)試驗的概率公式判斷即可.【詳解】A選項：投籃1次，投中的概率為0.8，所以第3次投中的概率為0.8，故A正確；B選項：恰投中3次的概率為C×0.83×0.2=4×0.83×0.2，故B錯；試卷第5頁，共13頁D選項：恰好有連續(xù)2次投中的概率為2×0.82×0.2+0.82故選：AC.102022下·廣東肇慶·高二廣東肇慶中學校考期中）甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球、A1表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，A2表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是()、A2為對立事件【答案】【答案】ABC【分析】根據(jù)對立事件、條件概率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.、A2為對立事件，A選項正確.B選項，選項正確.C選項，選項正確.D選項，所以D選項錯誤.故選：ABC112023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考期末）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)到1的概率為1β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.D．當0<a<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】【答案】ABD試卷第6頁，共13頁【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1-β)(1-a)(1-β)=(1-a)(1-β)2，A正確；是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1-β).β.(1-β)=β(1-β)2，B正確；它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為Cβ(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2β)，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P=(1-a)2(1+2a)，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率PI=1-a，而0<a<0.5，因此P-PI=(1-a)2(1+2a)-(1-a)=a(1-a)(1-2a)>0，即P>PI，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．122023上·山東淄博·高二校考期中）我市男子乒乓球隊為備戰(zhàn)下屆市運會，在某訓(xùn)練基地進行封閉時訓(xùn)練，甲、乙兩隊隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏兩個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響．已知某局甲先發(fā)球，該局打四個球，甲贏的概率是【答案】【答案】【分析】由于連勝兩局者贏，則可寫出四局的結(jié)果，計算即可.【詳解】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：該局：第一個球甲贏、第二個球乙贏、第三個球甲贏、第四個球甲贏，則概率為試卷第7頁，共13頁故答案為：故答案為：132023下·山西運城·高二統(tǒng)考期末）某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道A類試題，8道B類試題，12道C類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對A,B,C這3類試題的概率分別為則學生甲答對了所選試題的概率為.【分析】【分析】利用全概率公式及條件概率公式計算可得.【詳解】設(shè)學生選1道A類試題為事件A，學生選1道B類試題為事件B，學生選1道C類試題為事件C，設(shè)學生答對試題為事件所以P(D)=×+×+×=.故答案為：.142023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知一個質(zhì)子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數(shù)軸上運動，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負方向移動一個單位.若移動n次，則當n=4時，質(zhì)子位于原點的概率為，當n=時，質(zhì)子位于6對應(yīng)點處的概率最大.38【分析】根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式求n=4時質(zhì)子位于原點的概率，再求質(zhì)子位于6對應(yīng)點處的概率表達式并求其最值.【詳解】設(shè)第n次移動時向左移動的概率為，事件n=4時質(zhì)子位于原點等價于事件前4次移動中有且只有2次向左移動，所以事件n=4時質(zhì)子位于原點的概率為事件第2m+6次移動后質(zhì)子位于6對應(yīng)點處等價于事件質(zhì)子在2m+6次移動中向右移了m+6次，所以第2m+6次移動后質(zhì)子位于6對應(yīng)點處的概率，試卷第8頁，共13頁所以f(14)>f(13)>...>f(1)，所以m=14或m=15，即n=34或n=36時，質(zhì)子位于6對應(yīng)點處的概率最大.故答案為34或36.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．152022下·廣東肇慶·高二廣東肇慶中學校考期中）三部機器生產(chǎn)同樣的零件，其中機器甲生產(chǎn)的占40%，機器乙生產(chǎn)的占25%，機器丙生產(chǎn)的占35%.已知機器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有3%、5%和1%不合格.三部機器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起，現(xiàn)從中隨機地抽取一個零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品，它是由哪一部機器生產(chǎn)出來的可能性大？請說明理由.【答案】【答案】(1)0.028(2)它是機器乙生產(chǎn)的概率最大【分析】（1）根據(jù)全概率公式求得正確答案.（2）根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【詳解】（1）取到的是不合格品的概率為：（2）取到的產(chǎn)品為不合格品，它是機器甲生產(chǎn)的概率為它是機器乙生產(chǎn)的概率為試卷第9頁，共13頁它是機器甲生產(chǎn)的概率為它是機器甲生產(chǎn)的概率為==，所以它是機器乙生產(chǎn)的概率最大.162023上·安徽六安·高二六安市裕安區(qū)新安中學校考期中）面對某種新型冠狀病毒，各國醫(yī)療科研機構(gòu) 都在研究疫苗，現(xiàn)有A、B、C三個獨立的研究機構(gòu)在一定的時期研制出疫苗的概率分別為：6, (1)求這種疫苗能被研制出的概率；(2)求至多有一個機構(gòu)研制出這種疫苗的概率.【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件求得三個機構(gòu)都沒研制出疫苗的概率與恰有一個機構(gòu)研制出疫苗的概率，相加即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記“A機構(gòu)在一定時期研制出疫苗”為事件D，“B機構(gòu)在一定時期研制出疫苗”為事件E，“C機構(gòu)在一定時期研制出疫苗”為事件F，顯然事件D,E,F相互獨立，且設(shè)能研制出疫苗為事件M，其對立事件是都沒有研制出疫苗的事件，1)7-1)7-7（2）至多有一個機構(gòu)研制出疫苗的事件為N，則P(N)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=××+××+××+××=，所以至多有一個機構(gòu)研制出疫苗的概率是.172023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）在一個質(zhì)地均勻的正八面體中，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，記事件A=“與地面接觸的面上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B=“與地面接觸的面上的數(shù)字不大于4”(1)判斷事件A與B是否相互獨立，若是請證明，若不是請舉例說明；(2)連續(xù)拋擲3次這個正八面體，求事件AB只發(fā)生1次的概率．【答案】【答案】(1)是；證明見解析【分析】（1）列出樣本空間，即可列出A,B所對應(yīng)的基本事件，求出所對應(yīng)的概率，根據(jù)獨立事件的概率公式判斷即可；（2）利用獨立事件的概率公式即可得解.故所以事件A，B相互獨立.（2）依題意知每次拋擲這個正八面體的結(jié)果都互不影響，即互相獨立，記Ci(i=1,2,3)為第i次拋擲這個正八面體發(fā)生事件AB，則所以事件AB只發(fā)生1次的概率為=××+××+××=.182023上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知甲、乙兩人進行臺球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)事件A,B分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.(1)若進行三局比賽，求“甲至少勝2局”的概率；(2)若規(guī)定多得兩分的一方贏得比賽.記“甲贏得比賽”為事件M，最多進行6局比賽，求P(M).【分析】（【分析】（1）分甲勝3局和勝2局分類討論，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式即可求解；（2）分比賽進行2局甲贏得比賽，4局甲贏得比賽，6局甲贏得比賽，三種情況考慮，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式即可求解.【詳解】（1）記“甲至少勝2局”為事件D，則D=AAAUAABUABAUBAA因為AAA,AAB,ABA,BAA互斥，（2）若比賽最多進行6局，甲贏得比賽包括以下3種情況：比賽進行2局甲贏得比賽，比賽進行4局甲贏得比賽，比賽進行6局甲贏得比賽設(shè)Mi=“比賽進行2i局甲贏得比賽”(i=1,2,3,4)因為M=M1UM2UM3，且M1,M2,M3互斥192023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，X