高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊第三章綜合檢測卷（基礎A卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據雙曲線方程求出可得答案.【詳解】因為，所以其漸近線方程為.故選：C.

2．若直線與橢圓相切，則實數m的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線與橢圓聯立，根據判別式為0求解即可.【詳解】將直線與橢圓聯立，得，由題意可知.故選：B3．橢圓的焦點為、，點在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐標，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結果.【詳解】由，得，所以，所以，，當時，，解得，因為軸，所以，所以，設到直線的距離為，因為，所以，解得，故選：A4．已知雙曲線的右焦點為，點，若直線與只有一個交點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意分析可得直線與漸近線平行，結合平行關系運算求解.【詳解】雙曲線可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，右焦點為，因為直線與只有一個交點，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，解得.故選：B.5．已知雙曲線的一個焦點為，雙曲線的漸近線，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，有①，②，聯立兩式，解可得、的值，即可得答案．【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，雙曲線的漸近線，所以，①，②聯立①、②可得：，，則雙曲線的方程為：；故選：C．6．已知橢圓的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，且經過點P，同時，則橢圓的標準方程為（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【分析】代入點的坐標，以及聯立條件，結合，即可求解橢圓方程.【詳解】由已知，可設橢圓的方程為，則，又，由橢圓定義得，，即，因為，所以，，所以橢圓的標準方程為，故選：A.7．已知拋物線的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和拋物線C分別交于A，B兩點，且，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】由拋物線定義結合得到為等邊三角形，進而得到，求出，得到答案.【詳解】由拋物線定義可知，因為，所以為等邊三角形，故，，所以，其中準線l與軸交點為，則，故，所以.

故選：D8．設拋物線的焦點為，準線為，過第一象限內的拋物線上一點作的垂線，垂足為，設，且為等邊三角形，的面積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據題意，由拋物線的性質，分別表示出的長，然后結合的面積為列出方程，即可得到結果.【詳解】

過點，做軸于點，因為，，且為等邊三角形，則，，則，，，則.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．關于橢圓有以下結論，其中正確的有（

）A．離心率為 B．長軸長是C．焦距2 D．焦點坐標為【答案】ACD【分析】將橢圓方程化為標準方程，再由橢圓的幾何性質可得選項.【詳解】將橢圓方程化為標準方程為所以該橢圓的焦點在軸上，焦點坐標為，故焦距為2，故C、D正確；因為所以長軸長是，故B錯誤，因為，所以，離心率，故A正確.故選：ACD10．下列關于雙曲線說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點【答案】ABD【分析】先求出雙曲線的基本量，然后逐一分析每個選項是否正確.【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，根據點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；橢圓的焦點為，根據C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.故選：ABD11．若方程表示的曲線為，則下列說法中正確的有（

）A．若為橢圓，則B．若為雙曲線，則或C．若為雙曲線，則其漸近線方程為D．若為橢圓，且焦點在軸上，則【答案】BC【分析】由橢圓的定義可判斷AD，由雙曲線的定義和性質可判斷BC.【詳解】對于A，若為橢圓，則，解得或，A錯誤；對于B，若為雙曲線，則，解得或，B正確；對于C，當時，雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為，當時，雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為，C正確；對于D，若為橢圓，且且焦點在軸上，則，解得，D錯誤.故選：BC12．已知，是拋物線上的兩點，若直線過拋物線的焦點且傾斜角為.則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對于選項A，設直線的方程為，代入，再利用韋達定理，即可得到結論；對于選項B，利用拋物線的定義和選項A中的結論，表示出即可；對于選項C，由拋物線的定義，在直角三角形中，運用余弦函數的定義，即可得到的長，同理可得的長，即可判斷；對于選項D，選項A中的結論進行判斷即可.【詳解】對于選項A，設直線的方程為，代入，可得，所以，，選項A正確；對于選項B，因為是過拋物線的焦點的弦，所以由拋物線定義可得，由選項A知，，，所以.即，解得，當時，，所以，當時，，所以，當時，也適合上式，所以，選項B正確；對于選項C，不妨設，點A在x軸上方，設，是，在準線上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可證時，等式也成立，選項C正確；對于選項D，由上可知：，，所以，選項D不正確，故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P：，Q：表示橢圓，則P是Q的條件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程表示橢圓時的范圍，再利用充分條件與必要條件的定義判定即可．【詳解】若方程表示橢圓，則且，且，是方程表示橢圓的必要不充分條件，即P是Q的必要不充分條件.故答案為：必要不充分．14．已知拋物線的焦點坐標為，則實數.【答案】/0.5【分析】先將拋物線方程化為標準方程，再根據焦點坐標求解.【詳解】拋物線的標準方程為，拋物線的焦點坐標是，，，故答案為：15．已知，雙曲線的兩個焦點為，，若橢圓的兩個焦點是線段的三等分點，則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【分析】由已知條件求出與的關系，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦距是橢圓焦距的3倍，則有，化簡得，則有，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：16．已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，則．【答案】【分析】由拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線，所以,因為是拋物線的焦點，點在拋物線上，由拋物線的定義可得：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經過點和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意首先確定其焦點坐標為，設出標準方程將帶入即可求得結果；（2）設雙曲線方程的一般形式為，將兩點代入解方程即可求得其標準方程為.【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個端點坐標為；所以雙曲線焦點在軸上，可設雙曲線的標準方程為，且，點在雙曲線上，即，解得；所以雙曲線的標準方程為.（2）設雙曲線方程為，將兩點代入可得，解得；所以雙曲線的標準方程為.18．設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程；【答案】；【分析】首先設點和的坐標，再根據向量間的關系，采用代入法求點的軌跡.【詳解】設，，則，，由得.因為在C上，所以.因此點P的軌跡為.19．已知經過橢圓的右焦點的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的左焦點，求的周長和面積．【答案】的周長為，面積為．【分析】利用橢圓定義和焦點三角形性質即可求得的周長為，寫出直線的方程并與橢圓聯立利用韋達定理，寫出面積表達式即可求得面積為.【詳解】如下圖所示：

由橢圓方程可知，根據橢圓定義可知，所以的周長為，即的周長為；易知，又直線的傾斜角為，則，所以直線的方程為，設聯立整理可得，由韋達定理可知；由圖可知的面積為；所以的周長為，面積為20．已知拋物線的焦點為F．(1)求F的坐標和拋物線C的準線方程；(2)過點F的直線l與拋物線C交于兩個不同點A，B，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的長．條件①：直線l的斜率為1；條件②：線段的中點為．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．【答案】(1)焦點，準線方程為(2)8【分析】（1）直接根據開口的方向以及的值即可得結果；（2）選擇條件①：直接聯立直線與拋物線的方程，根據韋達定理可得，由弦長公式即可得結果；選擇條件②：可得，由弦長公式即可得結果.【詳解】（1）拋物線開口向右，其中，所以焦點，準線方程為.（2）選擇條件①：直線l的斜率為1所以直線的方程為，設，，聯立得，顯然，所以，即.選擇條件②：線段的中點為設，，則，即.21．已知拋物線過點（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線過點，代入原式方程可得拋物線方程；（2）由直線過拋物線的焦點與已知斜率可求出直線AB，將直線AB與拋物線聯立，利用韋達定理結合拋物線的定義可得答案.【詳解】（1）∵拋物線過點，∴．又∵，∴，上故的方程為．（2）設，，由（1）知，拋物線的焦點為，∵直線的斜率為，且過點，∴直線的方程為，

聯立得，則．

∴，故線段的長度為．22．已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點，點在雙曲線上．求：(1)雙曲