人教A版必修第二冊第八章立體幾何初步期末復習題1．下列說法不正確的是（）A．正棱錐的底面是正多邊形，側面都是等腰三角形 B．棱臺的各側棱延長線必交于一點 C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺 D．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形2．由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點B'到x軸的距離是（）A．1B．2C．D．3.四等分切割如圖所示的圓柱，再將其重新組合成一個新的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側面積是（）A．10π B．20π C．10 D．204．已知某圓臺體積為52π，其上下底面圓半徑分別為2和5，則其母線長為（）A． B．4 C．5 D．5.設為直線，，為兩個不同的平面，則下列結論中錯誤的是(

)A.，，且 B.，C.，且 D.，且

與相交與相交A. B. C. D.7.已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，點為底面四邊形內包括邊界的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為(

)A. B. C. D.8.如圖，已知正方體的棱長為，，分別為，的中點，在線段上運動包含兩個端點，以下說法正確的是(

)A.存在點，使得與異面B.三棱錐的體積與點位置無關C.若為中點，三棱錐的體積為D.若與重合，則過點、、作正方體的截面，截面為三角形（多選）9．下列說法錯誤的是（）A．圓柱的母線和它的軸可以不平行 B．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱 C．正四面體一定是正三棱錐 D．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺（多選）10．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P為線段B1C上一動點，則（）A．直線BD1⊥平面A1C1D B．異面直線B1C與A1C1所成角為45° C．三棱錐P﹣A1DC1的體積為定值 D．平面A1C1D與底面ABCD的交線平行于A1C111.（多選）在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點，則下列判斷正確的是(

)A.為的中點B.與所成的角為C.平面D.三棱錐與四棱錐的體積之比等于12．已知棱長等于2的正四面體的四個頂點在同一個球面上，則球的半徑長為，球的表面積為．13.已知在三棱錐中，側面與底面所成的二面角相等，則點在平面內的射影一定是的

心．14．中國南北朝時期數學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為．15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．(2)求證：F為PD的中點．16.九章算術卷第五商功中有記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣”芻，草也．薨，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻薨字面意思為茅草屋頂．”現有“芻薨”如圖所示，四邊形為矩形，，且．若是四邊形對角線的交點，求證：平面；若，且，求三棱錐的體積．17．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，2AB＝2BC＝CD＝4，PA＝PD，PD⊥PA，PC＝，M為邊PC的中點．（1）求證：BM∥平面PAD；（2）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（3）求三棱錐P﹣ADM的體積．求證：

求證：平面平面．線段上是否存在點，使平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．（2）求異面直線與所成角的余弦值；參考答案與試題解析1．下列說法不正確的是（）A．正棱錐的底面是正多邊形，側面都是等腰三角形 B．棱臺的各側棱延長線必交于一點 C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺 D．棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形解：根據題意，依次分析選項：對于A，由正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，側面都是等腰三角形，A正確；對于B，棱臺的各側棱延長線必交于一點，B正確；對于C，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺，C錯誤；對于D，由棱柱的定義，棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，D正確．故選：C．2．由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點B'到x軸的距離是（）A．1 B．2 C． D．解：根據題意，如圖，過點B′作B′C′∥y′′軸，交x′′軸于點C′，在△O′B′C′中，∠B′O′C′＝30°，∠B′C′O′＝135°，O′B′＝2，由正弦定理得，于是得，且原圖中BC即為B到x軸的距離，由斜二測畫法規則知，在原平面圖形中，頂點B到x軸的距離是．故選：D．3．四等分切割如圖所示的圓柱，再將其重新組合成一個新的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側面積是（）A．10π B．20π C．10 D．20解：如圖，設圓柱的母線長為l，底面半徑為r，即AB＝l，OA＝r，則切割以后得側面積增加了兩個長方形的面積，且長方形CDEF的面積為S＝rl，因為新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，所以2rl＝10，即rl＝5，所以圓柱的側面積為2πrl＝2π×5＝10π．故選：A．4．已知某圓臺體積為52π，其上下底面圓半徑分別為2和5，則其母線長為（）A． B．4 C．5 D．解：作出圓臺的軸截面如圖所示：M，N是上下底面圓心，AB，CD是母線，DE＝MN，即DE可視為圓柱體的高，由題意，解得DE＝4，而EC＝5﹣2＝3，所以由勾股定理有，故所求母線長為5．故選：C．5.設為直線，，為兩個不同的平面，則下列結論中錯誤的是(

)A.，，且 B.，C.，且 D.，且

與相交與相交解：對于選項A：若

，

，則

或

，又因為

，所以

，故A正確；對于選項B：若

，

，則

或

與

相交，例如在正方體

中，

平面

，

平面

，顯然平面

與平面

相交，故B錯誤；對于選項C：若

，且

，由面面平行的性質可得

，故C正確；對于選項D：若

，且

與

相交，可得

與

相交，故D正確．故選：．6.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是(

)A. B. C. D.解：如圖，連接，設，因為底面為正方形，所以，所以是異面直線與所成角或其補角，因為平面，平面，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為的中點，，所以，所以，在中，，，所以異面直線與所成角的余弦值是．故選：．7.已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，點為底面四邊形內包括邊界的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為(

)A. B. C. D.解：在正方體

中，取

中點

，連接

，如圖，因、

分別是棱

、

的中點，則

，而平面

，

不在平面上，則有平面

，因

，則

，而

，則有四邊形

為平行四邊形，有

，又

平面

，

不在平面上，于是得

平面

，而

，

平面

，因此，平面

平面

，直線與平面無公共點，則線段

是點

在底面

內的軌跡，

，所以點

的軌跡長度為

．故選：．8.如圖，已知正方體的棱長為，，分別為，的中點，在線段上運動包含兩個端點，以下說法正確的是(

)A.存在點，使得與異面B.三棱錐的體積與點位置無關C.若為中點，三棱錐的體積為D.若與重合，則過點、、作正方體的截面，截面為三角形解：對于，易知，，則，，，，四點共面，又點在線段上運動，則平面，故A錯誤；選項，，又易知平面，即平面，則點到平面的距離為，又三角形的面積為定值，故三棱錐的體積與點位置無關，故B正確；對于，，故C錯誤；對于，當與重合時，則過點、、作正方體的截面為梯形，故D錯誤．故選B．（多選）9．下列說法錯誤的是（）A．圓柱的母線和它的軸可以不平行 B．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱 C．正四面體一定是正三棱錐 D．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺解：對于A，根據圓柱母線的定義，可知圓柱的母線和它的軸一定平行，故A項錯誤；對于B，底面是正方形，且側棱與底面不垂直的棱柱不是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，故項B錯誤；對于C，正四面體是側棱與底面邊長相等的正三棱錐，故C項正確；對于D，棱臺指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何體，棱臺的側棱延長線必定交于同一點，其上底面與下底面相似，而兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體不滿足上述定義，故D項錯誤．故選：ABD．（多選）10．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P為線段B1C上一動點，則（）A．直線BD1⊥平面A1C1D B．異面直線B1C與A1C1所成角為45° C．三棱錐P﹣A1DC1的體積為定值 D．平面A1C1D與底面ABCD的交線平行于A1C1解：∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，則A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四邊形DA1B1C為平行四邊形，則B1C∥A1D，則∠DA1C1為異面直線B1C與A1C1所成角，為60°，故B錯誤；∵B1C∥A1D，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D．可得P到平面A1C1D的距離為定值，即三棱錐P﹣A1DC1的體積為定值，故C正確；∵A1C1∥平面ABCD，A1C1?平面A1C1D，設平面A1C1D與底面ABCD的交線為l，由直線與平面平行的性質，可得平面A1C1D與底面ABCD的交線平行于A1C1，故D正確．故選：ACD．11.（多選）在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點，則下列判斷正確的是(

)A.為的中點B.與所成的角為C.平面D.三棱錐與四棱錐的體積之比等于解：連接，交于點，則為，的中點，連接，因為截面與直線平行，平面，平面平面，，為中點，即為的中點，故A正確；因為底面是正方形，所以，所以與所成的角即與所成的角，又因為底面，所以，而，所以與所成的角為，即與所成的角為，故B錯誤；因為底面，面，所以，又因為底面是正方形，所以，而，，平面，所以平面，故C正確；設，由題可知的距離即為三棱錐的高，則三棱錐的體積為，而四棱錐的體積，所以三棱錐與四棱錐的體積之比等于，故D正確．故答案選：．12．已知棱長等于2的正四面體的四個頂點在同一個球面上，則球的半徑長為，球的表面積為．解：將正四面體補形成一個正方體，∵正四面體為2，∴正方體的棱長是，又∵球的直徑是正方體的對角線，設球半徑是R，∴2R＝∴R＝，球的表面積為6π．故填：；6π．13.已知在三棱錐中，側面與底面所成的二面角相等，則點在平面內的射影一定是的

心．解：設在底面的射影為，過向的三邊作垂線，，，垂足分別為，，，連結，，，平面，平面，，又，，平面，，為側面與平面的二面角的平面角，同理，為其余兩側面與底面的二面角的平面角，，又，，，為公共邊，≌≌，，是的內心．故答案為內心．14．中國南北朝時期數學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為．解：由祖暅原理，該不規則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故，故答案為：21．15.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．(2)求證：F為PD的中點．解：(1)證明：如圖所示：連接AC交BD于點G，連接GE，因為ABCD為平行四邊形，所以G為AC的中點，又E為PC的中點，所以GE//PA，又PA?平面BDE，GE?平面BDE，所以PA//平面BDE；(2)證明：因為底面ABCD為平行四邊形，所以AB//CD，又AB?平面ABEF，CD?平面ABEF，所以CD//平面ABEF，又CD?平面PDC，平面ABEF∩平面PDC=EF，所以CD//EF，又因為E為PC的中點，所以F為PD的中點．

16.九章算術卷第五商功中有記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣”芻，草也．薨，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻薨字面意思為茅草屋頂．”現有“芻薨”如圖所示，四邊形為矩形，，且．若是四邊形對角線的交點，求證：平面；若，且，求三棱錐的體積．解：證明：在圖中取線段的中點，連接，，如圖，由題可知四邊形是矩形，且，是線段與的中點，，且，又，且，而，且，，且，，且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，平面．，，，，平面，平面，，，三棱錐的體積為．

17．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，2AB＝2BC＝CD＝4，PA＝PD，PD⊥PA，PC＝，M為邊PC的中點．（1）求證