軸對稱和中心對稱（易錯必刷85題10種題型專項訓練）一、軸對稱圖形的識別（共5小題）1．下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查軸對稱圖形的識別，涉及軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，根據定義逐項判定即可得出結論，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，故選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，故選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故選項不符合題意；故選：B．2．如圖圖案中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形的知識，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解題的關鍵．【詳解】解：A、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；B、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；C、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，符合題意；D、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C．3．2024年7月26日，在法國巴黎舉辦的第33屆夏季奧林匹克運動會上，我國取得了40金，創造了中國代表團在海外奧運會上的最佳成績．下列標志中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．4．下列交通標志（不含文字）中，是軸對稱圖形的是（

）A．直行標志 B．向左轉彎標志C．向右轉彎標志 D．直行和向左轉彎標志【答案】A【分析】本題考查的是軸對稱圖形的概念，解題的關鍵是正確掌握軸對稱的定義．根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱，進行判斷即可．【詳解】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：A．5．京劇是我國的國粹，下列京劇臉譜構成軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．根據軸對稱圖形的定義逐項分析即可．【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．二、成軸對稱的圖形判別與性質（共13小題）6．如圖所示的4組圖形中，成軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了軸對稱，根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱可得答案．【詳解】解：根據軸對稱圖形的定義可得D答案中圖形成軸對稱，其他選項不成軸對稱，故選：D．7．如圖，和關于直線l對稱，下列結論正確的有（

）①；②；③直線l垂直平分線段A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】此題考查了軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．根據軸對稱的性質：關于某直線對稱的兩個三角形全等，且對應角相等，對應邊相等，對稱軸垂直平分對應點的連線，且平分對應點與對稱軸上某點連線的夾角，依次判斷即可．【詳解】解：∵和關于直線l對稱，∴，直線l垂直平分，∴，，所以正確的有3個，故選：D．8．如圖，與關于直線對稱，為上任一點（不與共線），下列結論中錯誤的是（

）A． B．垂直平分C． D．直線的交點不一定在上【答案】D【分析】本題考查了軸對稱，根據軸對稱的性質逐項判斷即可求解，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．【詳解】解：、∵與關于直線對稱，∴，該選項正確，不合題意；、∵與關于直線對稱，∴垂直平分，該選項正確，不合題意；、∵與關于直線對稱，∴，該選項正確，不合題意；、∵與關于直線對稱，∴直線的交點一定在上，該選項錯誤，符合題意；故選：．9．如圖，若與關于直線對稱，交于點O，則下列說法中不一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了軸對稱的性質．根據軸對稱的性質得到，則，即可作出判斷．【詳解】解：∵與關于直線對稱，交于點O，∴．∴，故A，B，D正確，故選：C．10．小林想要通過一步全等圖形變換從左邊的等腰直角三角形得到右邊的等腰直角三角形，下列說法正確的個數是（

）①可由沿方向平移一定的距離得到；②可由繞點順時針旋轉一定的角度得到；③可由沿直線翻折得到；④不可由通過一次圖形變換得到．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了圖形的平移、旋轉、軸對稱變換，逐項判斷即可，熟練掌握圖形的平移、旋轉、軸對稱變換是解題的關鍵．【詳解】解：∵沿方向平移，不能和重合，故①錯誤；繞點順時針旋轉能和重合，故②正確；和關于直線軸對稱，即可由沿直線翻折得到，故③正確；可由沿直線翻折得到，也可由繞點順時針旋轉得到，故④錯誤；∴正確的有②③這個，故選：B．11．我們知道光的反射是一種常見的物理現象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點D處的甲同學在平面鏡中看到位于點A處的乙同學的像，其中光的路徑為入射光線經過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由光的反射定律以及平行線的性質，推出，再結合三角形內角和，推出的度數．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．12．如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當這束光線繼續從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查軸對稱的性質和平行線的性質，根據“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質可得，即可得出結論．熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵從點光源射出的光線射到直線上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，∴，∵，∴，∴當這束光線繼續從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數為．故選：D13．光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側，入射光線與法線的夾角(入射角)等于反射光線與法線的夾角(反射角)，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡CD以改變光的路線，當太陽光線與水平線AB的夾角時，要使太陽光線經反射后剛好豎直射入井底(即)，則調整后平面鏡CD與水平線AB的夾角為（

）A．30° B．60° C． D．【答案】B【分析】本題考查相交線，垂線等知識，作出法線是解題的關鍵．過點F，作，求出，從而得出，繼而得解．【詳解】解：過點F，作，則，依題意得：，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：B．14．如圖，是外一點，分別是兩邊上的點，點關于的對稱點恰好落在線段上，點關于的對稱點恰好落在的延長線上．若，則線段的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的性質，利用軸對稱圖形的性質得出，進而得出的長，即可得出結果．【詳解】解：∵點關于的對稱點恰好落在線段上，點關于的對稱點恰好落在的延長線上，∴，∵，∴，∴∴，故選：C．15．2005年4月3日，斯諾克中國公開賽，中國江蘇神奇小子丁俊暉奇跡般地戰勝了世界頭號選手亨德利，奪得了自己首個世界臺球職業排名賽冠軍，如圖，是一個經過改造的臺球桌面的示意圖，圖中陰影部分分別表示六個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），那么該球最后將落入的球袋是號袋．【答案】3【分析】主要考查了軸對稱的性質．根據題意畫出圖形，由軸對稱的性質判定正確選項．【詳解】解：根據軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：∴該球最后將落入的球袋是3號．故答案為：3．16．如圖，，點、分別在射線、，，的積為3，則三角形的邊上的高是；是直線上的動點，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，當點在直線上運動時，三角形的面積最小值為．【答案】32【分析】本題考查了軸對稱、垂線段最短等知識點，掌握軸對稱的性質是關鍵．連接，過點作交的延長線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據軸對稱的性質可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當點與點重合時，取得最小值，的面積最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作交的延長線于，，且，，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當點與點重合時，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：32，．17．古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關于直線l的對稱點，連結與直線l交于點C，點C就是所求的位置．請你在下列閱讀、應用的過程中，完成解答：(1)證明：如圖3，在直線l上另取任一點，連結，，，∵直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，∴，，∴．在中，∵，∴．∴，即最小．本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（在連接A，兩點的線中，線段最短）．本問題可歸納為求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值的問題的數學模型．(2)問題解決如圖，將軍牽馬從軍營P處出發，到河流飲馬，再到草地吃草，最后回到P處，試分別在邊和上各找一點E、F，使得走過的路程，即的周長最小．（保留畫圖痕跡，輔助線用虛線，最短路徑用實線）【答案】(1)，，(2)見解析【分析】本題主要考查的是對稱軸的性質以及兩點之間，線段最短等知識，正確掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵．（1）根據對稱軸的性質以及三角形三邊關系進行作答即可；（2）分別過P作和的對稱點，分別為和，然后連接分別交和于一點，即為點E和點F，則有，，那么的周長為，即三點共線，線段最短即可使得走過的路程，即的周長最小．【詳解】（1）解：由題意可知，∵直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，∴，，∴，在中，∵，∴．∴，即最小．（2）解：分別過P作和的對稱點，分別為和，然后連接分別交和于一點，即為點E和點F，如圖所示：∵是點P，的對稱軸，是點P，的對稱軸，所以，，那么的周長為，所以三點共線，即兩點之間，線段最短，那么的周長最小．18．如圖，長方形臺球桌上有兩個球E，F．（保留作圖痕跡，工具不限）(1)請你設計一條路徑，使得球F撞擊臺球桌邊反射后，撞到球E；(2)請你設計一條路徑，使得球F連續撞擊臺球桌邊、反射后，撞到球E．【答案】(1)(2)【分析】本題考查軸對稱，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決問題，屬于中考常考題型．（1）作點F關于直線的對稱點，連接交于P，連接，點P即為所求；（2）作點F關于直線的對稱點，點E關于的對稱點，連接交于M，交于N，連接，，點M，N即為所求．【詳解】（1）解：如圖1中，路徑是．（2）解：如圖2中，路徑是．三、折疊問題（共9小題）19．將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，在上各取一點連成的虛線，沿該虛線剪去一個角，剩余部分展開鋪平后得到的圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查剪紙問題，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．對于此類問題，只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現．【詳解】解：由于得到的圖形的中間是正方形，可以得到圖形：故選：B．20．如圖1，中，點E和點F分別為上的動點，把紙片沿折疊，使得點A落在的外部處，如圖2所示．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查折疊的性質，三角形外角的性質，由折疊前后對應角相等可得，結合三角形外角的性質可得，由此可解．【詳解】解：如圖，標記與的交點為點B，

由三角形外角的性質得，，，由折疊得，，，，，故選B．21．如圖，已知長方形紙帶，將紙帶沿折疊后，點、分別落在、的位置，再沿折疊成圖，若，則°．【答案】【分析】本題考查的是平行線的性質和折疊的性質，由折疊的性質得到角相等是解題關鍵．先根據求出的度數，進可得出和的度數，根據和三角形的內角和可得的度數，再由折疊的性質可得的度數．【詳解】解：∵長方形紙帶，∴，∴，，即，∴．∵，∴．由折疊可得：，∴．故答案為：．22．如圖，將一張長方形紙片沿對角線折疊后，點落在點處，連接交于，再將三角形沿折疊后，點落在點處，若剛好平分，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查的是角的運算及角平分線的定義，正確掌握折疊的性質是解決此題的關鍵．根據折疊的性質可得，由角平分線的定義可得，然后根據矩形的性質及角的運算可得答案．【詳解】解：由折疊可知，，∵平分，∴，∴，∴，∴，，∵，∴∴．故選：A．23．如圖，將沿折疊，使，點A的對應點為點．若，，則，．【答案】【分析】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、三角形內角和定理，根據平行線的性質、折疊的性質、三角形內角和定理并結合圖形計算即可得解．【詳解】解：∵，∴，，，∴，由折疊的性質可得：，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，．24．如圖，有一張三角形紙片，，，D是邊上的固定點，請在邊上找一點，將紙片沿折疊（為折痕），點B落在點F處，使與的一邊平行，并求出此時的度數．【答案】圖見解析，或或【分析】本題考查折疊性質、平行線性質、角的互補，熟練掌握折疊性質，利用分類討論思想，結合圖形進行角的運算是解答的關鍵．分、且點在上方和下方時，利用折疊性質和平行線的性質求解即可．【詳解】解：①如圖1，當時，∴，∵，∴．②如圖2，當，且點在上方時，∴．③如圖3，當且點在下方時，∴，∴．綜上所述，的度數為或或．25．折紙飛機是我們兒時快樂的回憶．現有一張長為、寬為的白紙，如圖，以下面幾個步驟折出紙飛機，求x的值．（說明：第一步：將白紙沿著折疊，邊的對應邊與邊平行，記它們的距離為x；第二步：將分別沿著折疊，使與重合，從而獲得邊，邊與的距離也為x）【答案】【分析】本題主要考查了折疊的性質，一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據折疊，列出方程．先根據折疊得出，再根據長為，列出方程，解方程即可．【詳解】解：根據題意，可得：，∴，∴，解得：．26．點O，E分別是長方形紙片邊，上的點，沿，翻折，點A落在點處，點B落在點處．(1)如圖1，當點恰好落在線段上時，求的度數；(2)如圖2，當點落在的內部時，若，，求的度數；(3)當點，落在的內部時，若，求的度數（用含的代數式表示）．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了折疊的性質、幾何圖中角度的計算，熟練掌握折疊的性質是解此題的關鍵．（1）由折疊的性質，得到，，根據，即可求解；（2）由折疊的性質，得到，，根據，，根據即可求解；（3）由折疊的性質，得到，，分當點在內部時，當點在外部時，兩種情況得出結論．【詳解】（1）解：由折疊的性質，得到，，∴，∴，∴；（2）解：由折疊的性質，得到，，∵，，∴，，∴；（3）解：∵，∴，由折疊的性質，得到，．①如圖2，當點在內部時，∵，∴；②如圖3，當點在外部時，∵，∴．綜上，的度數為或．27．綜合與探究問題情境：已知，點，分別在射線，上，連接，是的平分線．獨立思考：（1）如圖1，若所在的直線交的平分線于點．①當時，______；當時，______；②當點，分別在射線，上運動時（不與點重合），試問：隨著點，的運動，的大小會發生變化嗎？如果不會，請求出的度數；如果會，請求出度數的變化范圍．拓展延伸：（2）如圖2，當所在的直線交的平分線于點，點，分別在，上時，將沿折疊，使點落在內的點處，求的度數．【答案】(1)①45，45，②不會發生變化，(2)【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，折疊的性質，對于（1），根據角平分線定義和三角形內角和定理分別求出，再根據三角形內角和定理得出答案，②根據三角形外角的性質解答；對于（2），根據三角形內角和定理及平角定義求出，進而求出，再根據折疊的性質得，即可得出答案．【詳解】解：（1）①∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；故答案為：45，45；②隨著點A，B的運動，的大小不會發生變化．設，則．，．平分，平分，，．．（2），．．平分，平分，．．由折疊的性質，得，．．．四、線段垂直平分線的性質（共10小題）28．如圖，在中，分別以頂點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點，，作直線，分別交，于點，，連接，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作圖-基本作圖：先利用基本作圖得到垂直平分，，從而可求出．【詳解】解：由基本作圖得到垂直平分，∴，∵∴，故選：C．29．如圖，有A，B，C三個村莊，現打算修建一個基站P，使得該基站到三個村莊A，B，C的距離相等，則點P應設計在（

）A．三個角的平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．由該基站的設計要求及線段垂直平分線的性質即可直接得出答案．【詳解】解：該基站到三個村莊A，B，C的距離相等，點P應設計在三條邊的垂直平分線的交點處，故選：．30．如圖，在等腰三角形中，，線段的垂直平分線交于點D，交于點E，連接，若的周長是，則的周長是等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查中垂線的性質，根據中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，得到，進而得到的周長等于，進而求出的長，再根據三角形的周長公式進行求解即可．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于點D，交于點E，∴，∴的周長，∴，∵，∴的周長；故選A．31．在中，的垂直平分線分別交，于點，，的垂直平分線分別交，于點，．若，，則的周長為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的性質，解題的關鍵是分類討論．根據線段垂直平分線的性質可得：，，分兩種情況：當點在點左側時，當點在點的右側時，根據三角形的周長公式求解即可．【詳解】解：如圖，當點在點左側時，垂直平分，垂直平分，，，的周長為；當點在點的右側時，垂直平分，垂直平分，，，的周長為；綜上所述，的周長為或，故選：D．32．如圖，在中，，的面積為12，于點D，直線垂直平分，交于點E，交于點F，P是線段上的一個動點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】A【分析】本題考查中垂線的性質，兩點之間線段最短，根據中垂線的性質，得到，進而得到，進而得到的最小值為的長，根據三角形的面積公式求出的長即可．【詳解】解：連接，∵直線垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為．故選：A．33．在中，的角平分線與邊的垂直平分線相交于點F，連接，若，，則的度數是．【答案】【分析】本題考查角平分線的定義，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，根據角平分線得到，根據垂直平分線得到，從而得到，結合得到，即可得到答案；【詳解】解：∵是的角平分線，∴，，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．34．如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則的周長的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了垂直平分線的性質，兩點間線段最短原理，熟練掌握線段最短原理是解題的關鍵．根據直線m是中邊的垂直平分線，得到點B與點C關于直線m對稱，故當點P位于直線m與的交點處時，取得最小值，此時的周長的最小值為，代入計算即可．【詳解】解∶因為直線m是中邊的垂直平分線，所以點B與點C關于直線m對稱，故當點P位于直線m與的交點處時，取得最小值，所以的周長的最小值為，因為，所以的周長的最小值為．故答案為：4．35．尺規作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在如圖所示的中，作邊上的垂直平分線，交于點，交于點．(2)在（1）的條件下，連接，若，的周長為18，求的周長．【答案】(1)見解析(2)的周長為12．【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線的尺規作圖，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．（1）根據線段垂直平分線的尺規作圖方法作圖即可；（2）根據線段垂直平分線的性質得到，，由的周長為18，求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；；（2）解：由題意得，，∵的周長為18，∴，∴，∴，∴的周長為12．36．如圖，在中，E是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為F，交于點D，連接．(1)求證：；(2)若的周長為18，的周長為6．①求的長；②若的面積為12，求點到的距離．【答案】(1)證明見解析(2)①6；②4【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵．（1）先根據線段垂直平分線的性質可得，再證出，根據全等三角形的性質即可得證；（2）①先根據三角形的周長公式可得，再根據的周長為18可得，然后根據求解即可得；②先根據全等三角形的性質可得的面積與的面積相等，再利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：①∵的周長為6，∴，∵，∴，即，∵的周長為18，∴，∴，又∵，∴；②如圖，過點作于點，由上可知，，，∴的面積與的面積相等，即為12，∴，即，∴，所以點到的距離為4．37．如圖，在中，分別垂直平分和，交于M，N兩點，與相交于點F．(1)若，求的周長．(2)連接，在（1）的條件下，若的周長為18，求的長．【答案】(1)8(2)5【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．（1）根據垂直平分線的性質得出，，根據三角形周長公式求出結果即可；（2）根據垂直平分線的性質得出，，根據的周長為18，求出，得出．根據垂直平分線的性質得出，，即可得出，最后求出結果即可．【詳解】（1）解：∵，分別垂直平分和，∴，，∴的周長；（2）解：連接、、，∵的周長為18，∴，∵，∴．∵、分別垂直平分和，∴，，∴，∴.五、線段垂直平分線的判定（共6小題）38．如圖，若，，則的依據是（

）A．角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等【答案】C【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，根據，，得出直線是線段的垂直平分線，則，即可作答．【詳解】解：∵，，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∴若，，則的依據是到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，故選：C．39．如圖所示，在正方形網格中，的頂點在格點上，在內部有、、、四個格點，到三個頂點距離相等的點是．【答案】【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，根據到三個頂點距離相等的點是三邊垂直平分線交點求解即可．【詳解】解：如圖所示，點在，的垂直平分線上，故答案為：．40．如圖，與相交于點O，，，．(1)求證；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．（1）證明，可得結論；（2）根據線段的垂直平分線的判定解決問題即可．【詳解】（1）證明：在與中，，∴，∴．（2）證明：由（1）得，∴，∴點O在線段的垂直平分線上，∵，∴點E在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．41．如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E，F，連接，與相交于點G．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是：（1）根據證明，得出，，然后根據線段垂直平分線的判定即可得證；（2）根據割補法求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，∵，，∴，又，∴，∴，，∴A、D都在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，，∴．42．求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等．請把下面的說理過程補充完整．已知：如圖，在中，分別作邊、邊的垂直平分線，兩線相交于點，分別交邊、邊于點、．求證：、、的垂直平分線相交于點，___________證明：連接、、．點是邊垂直平線上的一點，___________（）同理可得，___________．（等量代換）．點是___________邊垂直平線上的一點（）、、的垂直平分線相交于點．

【答案】見解析【分析】此題考查線段的垂直平分線的知識．先根據線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等求得，進而求得結論；然后再利用線段垂直平分線的判定方法即可確定邊的垂直平分線經過點P．【詳解】已知：如圖，在中，分別作邊、邊的垂直平分線，兩線相交于點，分別交邊、邊于點、．求證：、、的垂直平分線相交于點，；證明：點是邊垂直平線上的一點，（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）．同理可得，．（等量代換）．點是邊垂直平線上的一點（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條垂直平分線上），、、的垂直平分線相交于點．

．43．已知：如圖，在中，，，點是的中點，，垂足為點，交的延長線于點，(1)求證：；(2)連接，求證：垂直平分．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）根據平行的性質證，即可證明，可得，易證，即可解題；（2）連接交于點，易，，根據，可求得，即可證明，可得，，即可求得，即可解題．【詳解】（1），，，，，在和中，，，點是的中點，，；（2）連接交于點，,點是的中點，，，，，，，，，，在和中，，，，，，垂直平分．六、線段垂直平分線的尺規作圖（共8小題）44．如圖，在中，尺規作圖如下：分別以點、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，交于點，連結，則線段為三角形的（

）A．高線 B．中線 C．角平分線 D．都有可能【答案】B【分析】本題主要考查線段的垂直平分線和三角形的中線，可知直線為線段的垂直平分線，即點為線段的中點，據此即可求得答案．【詳解】根據題意可知直線為線段的垂直平分線，即點為線段的中點，所以線段為三角形的中線．故選：B45．在中，，如果要用尺規作圖的方法在上確定一點D，使，那么符合要求的作圖痕跡是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由和可得，點在線段的垂直平分線上，因此這道題就轉化成了作線段的垂直平分線，與的交點即為點．本題考查了作圖復雜作圖，垂直平分線的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的作法．【詳解】解：，且，，點在線段的垂直平分線上，即點為線段的垂直平分線與的交點．觀察四個選項，D選項符合題意，故選：D．46．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線交于點D，連接，若．則的周長為．【答案】29【分析】本題主要查了尺規作圖——作已知直線的垂直平分線，線段垂直平分線的性質．由作法得：垂直平分，再由垂直平分線的性質可得，即可求解．【詳解】解：由作法得：垂直平分，∴，∵，∴的周長為．故答案為：2947．如圖，用尺規作圖過直線l上一點P作已知直線l的垂線，圖中的點C是的交點．【答案】分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑所畫兩弧【分析】本題主要考查了尺規圖作過直線上一點作已知直線的垂線，根據過直線l上一點P作已知直線l的垂線的作法解答即可，熟練掌握過直線l上一點P作已知直線l的垂線的作法是解決此題的關鍵．【詳解】過直線l上一點P作已知直線l的垂線的作法如下：①以P為圓心，以適當的長為半徑畫弧，兩弧交在直線l上點P的兩旁為，；②分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C；③過點C、P作直線，則直線為所求作的直線；故答案為：分別以A、B為圓心，以大于長為半徑所畫兩弧．48．如圖，已知．(1)請用無刻度的直尺和圓規在邊上作出點，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】本題主要考查了尺規作圖—作垂線，垂直平分線的性質等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．（1）分別以點為圓心，以大于的長度為半徑作弧交于兩點，過兩交點作直線交與點，即可獲得答案；（2）由垂直平分線的性質可得，然后結合三角形周長公式求解即可．【詳解】（1）解：如下圖，點即為所求作的點；（2）由題意可知，∴的周長．49．如圖，在中，(1)用直尺和圓規作線段的垂直平分線，垂足為（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)連接，若的面積為，則的面積為________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（）根據線段垂直平分線的畫法作圖即可；（）根據線段垂直平分線的性質可得，進而可得，即可求解；本題考查了線段垂直平分線的畫法和性質，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，直線和點即為所求；（2）解：∵直線是線段的垂直平分線，∴，∴，故答案為：．50．如圖，已知，請用無刻度的直尺和圓規，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）；(1)如圖，在AB邊上尋找一點，使；(2)如圖，在邊上尋找一點，使得．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（）根據作一個角等于已知角的方法作即可畫出點；（）作線段的垂直平分線，交于點，由線段垂直平分線的性質可得，即可得；本題考查了畫一個角等于已知角，作線段的垂直平分線，掌握作圖方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；（2）解：如圖所示，點即為所求．51．如圖，已知銳角，是邊上一點，利用尺規完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在邊上作點，使得；(2)在上（1）問的條件下，在邊上求作點，使得．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了尺規作圖，垂直平分線的性質和等腰三角形的性質．（1）作的垂直平分線與的交點即為點；（2）以點M為圓心，為半徑，作交于點．【詳解】（1）解：如圖點即為所求，理由如下：作的垂直平分線與的交點即為點，，，；（2）如下圖所示，以點M為圓心，為半徑，作交于點，理由如下：由（1）知，，，．七、角平分線的性質（共9小題）52．三角形的三個角平分線相交于一點，這一點到（）A．三角形三個頂點的距離相等 B．三邊中點的距離相等C．三邊距離相等 D．都有可能【答案】C【分析】本題考查三角形角平分線的性質，根據三角形的三條角平分線交于三角形內部一點，到三邊的距離相等判定即可．【詳解】解：∵三角形的三條角平分線交于三角形內部一點，到三邊的距離相等，故選：C．53．如圖，在中，，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊于點M、N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，若，，則的面積為（

）

A．15 B．20 C．25 D．30【答案】A【分析】本題考查了角平分線的作圖和性質，過點D作于點H，根據作圖可得平分，再根據角平分線的性質可得，即可求解，熟練掌握知識點并作出適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點D作于點H，由作圖可得，平分，∵，∴，∴，∵，∴的面積為，故選：A．54．如圖，在中，和的角平分線交于點O，，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．過點作于點，于點，根據角平分線的性質得出，根據三角形面積得出，代入數據即可求解．【詳解】解：過點作于點，于點，如圖，∵平分，∴，∴，∵，，的面積為，∴．故選：A．55．如圖，在中，，兩條角平分線相交于點O，下列結論：①；②連接，則平分；③；④；⑤與的面積之和等于的面積．其中正確的結論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題主要考查了三角形角平分線和全等三角形．熟練掌握角平分線定義和性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，三角形外角性質，是解決問題的關鍵．根據三角形內角和求出，根據角平分線定義得，，得，根據三角形外角性質得，可判斷①；根據三角形角平分線性質知，點O在平分線上，平分，可判斷②；證明，過點O作于點F，于點G，可得,得，可判斷③；證，得，由，，得，可判斷④；在上取點H，使，證，得，可得，可得,得，可判斷⑤．【詳解】解；∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，①正確；∵平分，平分，∴點O在平分線上，平分，②正確；∵，∴，過點O作于點F，于點G，則，，∴,∴，③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，④不正確；在上取點H，使，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴,∴，與的面積之和等于的面積，⑤正確．∴正確的有①②③⑤，共4個．故選：C．56．如圖，是的角平分線上一點，，垂足為點，且是射線上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質，根據垂線段最短可知當時，最小，再根據角的平分線的性質，即可得出答案．【詳解】解：根據垂線段最短可知：當時，最小，當時，又平分，，，故答案為：57．如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于，交于，過點作于，下列四個結論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是．（填寫正確的序號）【答案】①②③【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質及定義，三角形的內角和定理，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據三角形的內角和定理及角平分線的性質可知①正確；根據全等三角形的性質與判定可知②正確；根據角平分線的性質及三角形的面積可知③正確．【詳解】解：∵在中，，∴，∵和是和的平分線，，∴，∴，故①正確；在上截取，∵和是和的平分線，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；作于于，連接，∵和的平分線，相交于點，，∴，∵，∴，故③正確；∴正確的序號為①②③；故答案為①②③．58．在兩條公路的交叉處有兩個村莊，政府想在交叉處的內部建一個加油站P，并且使加油站到村莊的距離相等且到兩條公路的距離也相等．（請用圓規和無刻度的直尺找到點P，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】此題主要考查了應用設計與作圖，正確應用角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質是解題關鍵．先作出線段的垂直平分線，再作出的平分線，則與的交點P即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求作的點．59．如圖，在中，，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，若，的面積是30，則的長為．【答案】3【分析】本題考查角平分線的性質，過點作，三角形的面積公式求出的長，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得到，即可．【詳解】解：過點作，則：，∵，∴，由作圖可知：平分，又∵，，∴；故答案為：3．60．如圖，在中，點O是平分線的交點，過O作于D點，且，求的面積．【答案】30【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．于于，連接，根據角平分線的性質得，然后根據三角形面積公式和進行計算即可．【詳解】解：作于于，連接，如圖，點是角平分線的交點，即，八、角平分線的判定定理（共8小題）61．若點O到的三邊的距離相等，則點O為（

）A．三角形三條邊上中線的交點 B．三角形三邊上高的交點C．三角形三個內角平分線的交點 D．三角形三條邊的垂直平分線的交點【答案】C【分析】此題主要考查三角形的內角的角平分線的性質，解題的關鍵是熟知角平分線的性質．根據三角形的內角角平分線的性質即可判斷．【詳解】解：到三角形三邊距離相等的點應是這個三角形的三個內角的平分線的交點，故選：C．62．如圖，在中，分別是，的平分線，相交于點F，且，的周長為21，關于甲、乙、丙三人的結論，下列判斷正確的是（

）甲：；乙；點F到的距離為2；丙：連接，則平分A．只有甲對 B．甲、乙、丙都對C．乙錯，丙對 D．甲錯，乙對【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質和判定，連接，過點作，根據角平分線的性質，得到，進而得到平分，利用分割法求面積法，求出的的長，進行判斷即可．【詳解】解：連接，過點作，∵分別是，的平分線，∴，∴，∴平分，故丙說法正確；∵，∵的周長為21，∴，∴，∴點F到的距離為4，故乙說法錯誤；條件不足，無法得到，故甲說法錯誤；故選C．63．如圖，在和中，，，，，連接、交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④平分，其中正確的為（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．由證明得出，，①正確；由全等三角形的性質得出，由三角形內角和定理得到，②正確；作于G，于H，由全等三角形對應邊上的高相等得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；假設平分，證明出，得到，而，故③錯誤；即可得出結論．【詳解】解：設與交于點，∵，∴即又∵，，∴∴，①正確；∴，又∵∴，②正確；作于G，于H，如圖所示：∵∴（全等三角形對應邊上的高相等）∴平分，④正確；∴假設平分∴∵∴∴與矛盾，故③錯誤；正確的有①②④．故選：B．64．如圖，中，點、分別是、延長線上一點，、的角平分線、交于點，連接，過點作、，垂足分別是點、，則、、之間的數量關系是．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質與判定、全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是根據全等三角形的性質找到邊之間的關系．首先過點作，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可證，利用可證和，根據全等三角形對應邊相等可證、，從而找到、、之間的數量關系．【詳解】解：如下圖所示，過點作，平分，、，，又平分，，，平分，，在和中，，，同理可證，，，故答案為：．65．如圖，在中，，點D在的外部，且平分，過點D作，交的延長線于點E，，交于點F，連接．若，，則的度數為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，三角形的外角性質．連接，過點D作，交的延長線于點G，證明平分，平分，利用三角形的外角性質求得，進一步計算即可求解．【詳解】解：連接，過點D作，交的延長線于點G，∵，，，∴平分，∵平分，∴，，∴，∴，∴平分，∵，，∴，∴，∵平分，∴，故答案為：．66．如圖，已知，，垂足分別為，，，相交于點，連接．若．求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，以及到角兩邊距離相等的點在角平分線上等知識．發現并利用是正確解答本題的關鍵．要證平分，只需證．可通過證來實現、根據已知條件，利用可直接證明，從而可得出平分．【詳解】證明：，，在與中，是的平分線67．已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了角平分線的判定與定義、三角形的內角和定理，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關鍵．（1）根據到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可證得結論；（2）先根據三角形的內角和定理求得，再根據角平分線的性質可求解．【詳解】（1）證明：，，，點在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．68．如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分(2)若，三角形的面積是16，求的面積．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，三角形的內角和定理，三角形面積公式，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題關鍵．（1）過點E作，，根據角平分線的性質得到，，進而得到，再根據角平分線的判定定理即可證明結論；（2）根據三角形的面積公式求出，再根據三角形的面積公式計算，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：過點E作交于點G，交于點H，∵，，∴，∴，∴，平分，，，，平分，，，，，，，平分；（2）解：，，，，，，，，，，．九、角平分線的尺規作圖（共8小題）69．如圖，為已知角，試按下列步驟用直尺和圓規準確的作出的平分線，第一步：在射線上分別截取，使；第二步：分別以點和點為圓心，適當長（大于線段長的一半）為半徑做圓弧，在內，兩弧交于點；第三步：作射線．射線就是所要求作的的平分線．用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的尺規作圖和全等三角形的判定與性質，準確分析證明是解題的關鍵．連接，根據作圖的過程證明三角形全等即可．【詳解】解：如圖所示，連接由作圖方法可知，又∵，∴，∴，∴射線就是所要求作的的平分線．故選：C．70．如圖，在中，，依據尺規作圖痕跡，有如下三種說法：甲：；乙：；丙：．下列判斷正確的是（

）A．只有甲對 B．只有乙對 C．只有丙對 D．三人說的都對【答案】D【分析】本題考查了尺規作圖—基本作圖，角平分線的性質定理、三角形全等的判定與性質，由作圖可得：平分，，由角平分線的性質定理可得，即可判斷甲；由即可判斷乙；證明即可判斷丙，即可得解．【詳解】解：由作圖可得：平分，，∵，∴，故甲正確；∵，∴，故乙正確；在和中，，∴，∴，∴，故丙正確；故選：D．71．如圖，中，用尺規按如圖規跡作出射線，交于點，過點作于點于點，連接，則下列結論錯誤的是（

）A． B．垂直平分C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的判定，根據尺規作圖得是的平分線，再根據角平分線的性質可得，再證明得到，，進而得是的垂直平分線，在證明，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：根據尺規作圖可知：是的平分線，又，，，故選項A正確，不符合題意；在和中，，∴，，點在的垂直平分線上，又，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線，當時，垂直平分，但是，根據已知條件無法判定，因此選項B不正確，符合題意；∵，∴，∵，，故選項C正確，不符合題意；是的垂直平分線，，是的平分線，，在△和△中，，，故選項D正確，不符合題意．故選：B．72．如圖是用尺規作已知角的平分線的示意圖，則的依據是．【答案】【分析】本題主要考查了角平分線的尺規作圖以及全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．根據尺規作圖痕跡可得，兩個三角形對應邊相等，進而可得答案．【詳解】解：由圖可知，故答案為：．73．尺規作圖痕跡如圖，若，求的度數．【答案】【分析】本題主要考查尺規作角平分線，垂直平分線是識別，三角形內角和定理，外角和性質的綜合，理解角平分線，垂直平分線的作圖，掌握角平分線有關三角形內角和，外角和性質的運用是解題的關鍵．根據題意可得點為的垂直平分線與的平分線的交點，則有，結合外角和的性質可得，，再根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：由作圖痕跡可得點為的垂直平分線與的平分線的交點，，，，，，．74．如圖，在中，，，，為的一個外角．(1)請按以下要求畫出圖形，并在圖中標明相應字母．①尺規作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；②取線段的中點N，過N畫的垂線，與交于點F，與交于點E．(2)求證：．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【分析】本題考查作角平分線，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形．（1）①根據尺規作平分線的步驟作圖即可作出圖形；②按要求作圖即可；（2）根據證明可得結論．【詳解】（1）解：①②圖形如圖所示；（2）證明：∵，，∴，∵平分，，∴，∴，∵線段的中點為N，∴，在和中，，∴，∴．75．下面是小潁同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．2024年10月20日

星期日

晴作已知角的平分線已知：如圖1，．求作：射線，使為的平分線．小亮同學展示了自己的作法．小亮的作法如圖2：（1）分別在射線，上截取；（2）分別作，的垂直平分線、，交點為點；（3）作射線．則射線為的平分線．小亮的思考過程如下：連接，因為、分別是，的垂直平分線所以，（依據1）所以（依據2）……任務：(1)小亮思考過程的依據1、依據2分別是__________、__________(2)請將小亮的思考過程補充完整．(3)請你設計一種不同的方法，在圖1中用尺規作出的平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；等量代換(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了角平分線的尺規作圖，全等三角形的判定，垂直平分線的性質，角平分線的性質．熟練掌握角平分線的尺規作圖是解題的關鍵．（1）根據垂直平分線的性質，等量代換即可求解；（2）利用判定即可；（3）方法不唯一，正確即可．【詳解】（1）解：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；等量代換；故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；等量代換；（2）在和中，，．，是的角平分線．（3）解：即為所求．76．數學實驗能增加學習數學的興趣，也是提高動手能力和發展創新意識的手段之一．八年級1班同學在運用數學實驗研究角平分線時提出了如下問題，請你解答．(1)“行知”小組開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個

B．2個

C．3個

D．4個(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來平分角的儀器，其中，將儀器上的點A與的頂點R重合，調整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請說明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來三等分角的儀器，儀器是一個直角角尺，圖中的點A，B，C在一條直線上，且．小組同學給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫出此時所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過的頂點O，且點A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學展示的部分推理過程：如圖5，過點A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據是；②補全推理過程．【答案】(1)D(2)見解析(3)①角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；②見解析【分析】（1）根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可；（2）根據，，結合即可得到即可得到證明；（3）①根據角平分線的判定方法解答即可；②根據證明得，進而可證線和射線將三等分．【詳解】（1）解：第一個圖為尺規作角平分線的方法，為的平分線；第二個圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線；第三個圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線；第四個圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．（2）理由如下：在和中，，∴

∴．∴沿畫一條射線，則就是的平分線．（3）①角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；②∵點A，B，C在一條直線上，，∴，∴．∵BM所在直線過的頂點O，∴．在和中，∴．∴．又∵點C在上，∴．∴．∴射線和射線將三等分．【點睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，角平分線作圖，平行線作圖，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．十、中心對稱圖形的性質與作圖（共11小題）77．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．如圖為部分“卦”的符號，其中不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查中心對稱圖形，解題的關鍵是理解中心對稱圖形的定義．根據中心對稱圖形的概念求解，在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點，就叫做對稱中心．【詳解】解∶根據中心對稱圖形的概念∶在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖