/1.3一元二次方程的根與系數的關系【推本溯源】1.觀察下表，你能發現下列一元二次方程的根與系數有什么關系嗎？x1x2x1+x2從上圖發現，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.證明：因為當時，方程的根是，_,所以，=___；=____.因此，如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.2.一元二次方程的根與系數的關系的推論推論1：如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=，x1*x2=；推論2：以x1，x2的一元二次方程（二次項系數為1）是.3.根與系數的應用不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩【解惑】例1：若是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．例2：下列關于的一元二次方程的命題中，真命題有①若，則；②若方程兩根為和，則；③若方程有一個根是，則．A．①②③ B．①② C．②③ D．①③例3：若關于x的方程兩根的倒數和為1，則m的值為___________．例4：已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．例5：已知關于x的一元二次方程．(1)若此方程有兩個不相等的實數根，，求m的取值范圍；(2)若此方程的兩根互為倒數，求的值．【摩拳擦掌】1．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知m，n是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南周口·統考二模）已知和是方程的兩個根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．3．（2023·河北廊坊·校考三模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則這兩個根的和是（

）A．6 B．3 C． D．4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考二模）關于x的一元二次方程的一個實數根為2，則另一實數根及m的值分別為（）A．，1 B．， C．3， D．3，15．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數式的值為_________．6．（2023·湖南婁底·統考三模）已知，是方程的兩個實數根，且，則______．7．（2023·湖南岳陽·統考三模）已知關于x的一元二次方程有兩個不等實數根，，若，則k的值為______．8．（2023·湖南懷化·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程的一個根為，則m的值為__________，另一個根為__________．9．（2023·上海·八年級假期作業）寫出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實數根的和與兩實數根的積(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．10．（2023·上海·八年級假期作業）已知是方程的兩個根，分別根據下列條件求出的值．(1)；(2)．11．（2023·上海·八年級假期作業）觀察求根公式，求出的值，并用得到的結果求解：設、是方程的兩個實數根，求的值．12．（2023·四川南充·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若，是方程的兩個實數根，且，求m的值．【知不足】1．（2023·四川樂山·統考中考真題）若關于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．162．（2023·河南南陽·統考三模）若方程有一個根是1，則另一個根是（

）A．1 B． C． D．23．（2023·廣東珠海·校考三模）已知m，n是方程的兩根，則代數式的值等于（

）A．0 B．?11 C．9 D．114．（2023·四川遂寧·統考中考真題）若a、b是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值為_________．5．（2023·四川內江·統考中考真題）已知a、b是方程的兩根，則___________．6．（2023·全國·九年級假期作業）若實數，分別滿足，，且，則的值為______．7．（2023春·湖南懷化·八年級校考期中）已知關于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實數根；(2)記該方程的兩個實數根為，若，求k值；(3)若，證明：．8．（2023·上海·八年級假期作業）設是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．9．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考二模）已知關于的一元二次方程有實數根．(1)求實數的取值范圍；(2)當時，設方程的根為，，求代數式的值．【一覽眾山小】1．（2023春·湖南懷化·八年級校考期中）若，是方程的兩實數根，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023·四川瀘州·統考二模）設與為一元二次方程的兩根，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級假期作業）關于的一元二次方程兩個實數根、且，則m的取值范圍是________；4．（2023·全國·九年級假期作業）若、為的兩根，則的值為______．5．（2023·湖北黃岡·統考中考真題）已知一元二次方程的兩個實數根為，若，則實數_____________．6．（2023·湖南·統考中考真題）已知關于x的方程的一個根是，則它的另一個根是________．7．（2023·江西萍鄉·統考二模）已知是一元二次方程的兩根，則代數式的值是__________．8．（2023·湖南長沙·長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考三模）已知是一元二次方程的兩個實數根，則_____．9．（2023·黑龍江綏化·統考二模）若是方程的兩個實數根，且，則m的值為___________．10．（2023·四川成都·成都七中校考三模）若，是方程的兩根，則______．11．（2023·湖南岳陽·統考中考真題）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數_________．12．（2023·全國·九年級假期作業）關于的一元二次方程有兩個實數根．(1)求的取值范圍；(2)若的兩條直角邊的長恰好是此方程的兩個實數根，斜邊，求的周長．13．（2023·江蘇·九年級假期作業）如果方程有兩個實數根，，那么，，請根據以上結論，解決下列問題：(1)已知，是方程的二根，則(2)已知、、滿足，，求正數的最小值．(3)結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知和是關于，的方程組的兩個不相等的實數解．問：是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．14．（2023·全國·九年級假期作業）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知，．根據上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：方程的解為；(2)間接應用：已知實數，滿足：，且，求的值．

1.3一元二次方程的根與系數的關系教材知識總結教材知識總結一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.【點撥】利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數根=0；（3）方程沒有實數根﹤0.【點撥】（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數根則≥0.一元二次方程的根與系數的關系1.一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.2.一元二次方程的根與系數的關系的應用(1)驗根．不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數；(3)不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號.設一元二次方程的兩根為、，則①當△≥0且時，兩根同號．當△≥0且，時，兩根同為正數；當△≥0且，時，兩根同為負數．②當△＞0且時，兩根異號．當△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當△＞0且，時，兩根異號且負根的絕對值較大．【點撥】（1）利用根與系數的關系求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱；（2）若有理系數一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數）．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】設方程兩個根為、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，由韋達定理可知，，，代入即可求解．【解析】由韋達定理可知，，，則，故選A．【例題2】若、是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】D【分析】根據一元二次方程根與系數的關系計算求值即可；【解析】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，故選：D．【例題3】已知一元二次方程的兩個根分別為，則的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據一元二次方程解的定義及根與系數的關系可得，，再代入通分計算即可求解．【解析】∵方程的兩根分別為、，∴，，∴，∴====故選：B．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．若關于x的方程有一個根是2，則另一個根是（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【解析】解：設另一個根為m，由根和系數的關系有：解得故選：B．2．已知、是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】通分：，根據韋達定理：一元二次方程根與系數的關系：，可得出答案．【解析】解：由韋達定理：，可得，故選：A．3．已知關于x的一元二次方程x2+mx+3=0有兩個實數根x1=1，x2=n，則代數式(m+n)2022的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】直接利用根與系數的關系得出兩根之和，進而得出答案．【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2+mx+3=0有兩個實數根x1=1，x2=n，∴1+n=-m，解得：m+n=-1，故（m+n）2022=1．故選：A．4．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣4，2，小明看錯了一次項系數p，得到方程兩個根是4，﹣3，則原來的方程是（）A．x2+2x﹣8＝0 B．x2+2x﹣12＝0 C．x2﹣2x﹣12＝0 D．x2﹣2x﹣8＝0【答案】B【分析】先設這個方程的兩根是α、β，根據一元二次方程根與系數的關系，從而得出符合題意的方程．【解析】解：設此方程的兩個根是α、β，根據題意得：α+β＝﹣p＝-4+2=﹣2，αβ＝q＝4×（-3）=﹣12，原來的一元二次方程是x2+2x﹣12＝0．故選：B5．已知方程的一個根是1，則它的另一個根是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】設方程的另一個根為x1，根據兩根之積等于，即可得出關于x1的一元一次方程，解之即可得出結論．【解析】解：設方程的另一個根為x1，根據題意得：=2，解得x1=2．故選:B．6．關于方程的根的說法中，正確的是（

）A．沒有實數根 B．兩實數根的和為C．有兩個不相等的實數根 D．兩實數根的積為【答案】C【分析】根據一元二次方程的判別式得到根的情況，根據一元二次方程的根與系數的關系得到兩根之和與兩根之積，最后對四個選項進行判斷即可．【解析】解：∵，∴．∴該方程有兩個不相等的實數根．故A選項不符合題意，C選項符合題意．∵有兩個不相等的實數根，∴兩實數根之和為，兩實數根之積為．故B選項不符合題意，D選項不符合題意．故選：C．二、填空題7．已知m，n是一元二次方程的兩個根，則_______．【答案】【分析】利用一元二次方程根與系數的關系可知：m+n=3，mn=-2，由此即可求解．【解析】解：由題意得，m+n=3，mn=-2，∴，故答案為：-6．8．寫出一個一元二次方程，使它的兩根之和是4，并且兩根之積是，這個一元二次方程是________．【答案】【分析】設此一元二次方程為，根據兩根之和是4，兩根之積是2，利用a表示b，c，即可得出一元二次方程．【解析】解：設此一元二次方程為，且，為一元二次方程的兩個根，∵它的兩根之各是4，兩根之積是2∴，，∴，，代入一元二次方程得：，即，故答案為：．9．已知方程的兩根分別是，，則的值為_________．【答案】【分析】由根與系數的關系，即可求出答案．【解析】解：∵方程的兩根分別是，，∴；故答案為：．10．若一元二次方程的兩個實數根為a，b，則的值為_______．【答案】5【分析】先根據根與系數的關系得到然后利用整體代入的方法計算．【解析】解：根據題意得故答案為：三、解答題11．已知，關于x的一元二次方程，(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若方程兩根的絕對值相等，求a的值