/專題02二元一次方程組（11大題型）題型一選用合適的方法解二元一次方程組題型二圖像法解二元一次方程題型三二元一次方程的特殊解法題型四二元一次方程組的錯解復原問題題型五同解方程組的問題題型六已知二元一次方程組的解的情況求參數題型七二元一次方程組與不等式綜合題型八與解二元一次方程組有關的新定義問題題型九與解二元一次方程組有關的閱讀理解類問題題型十二元一次方程組與實際問題題型十一三元一次方程組與實際問題題型一選用合適的方法解二元一次方程組1．（23-24七年級下·浙江金華·期末）解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【詳解】（1）解：由②得：③把③代入①得，，解得，，把代入③得，，∴方程組的解為；（2）解：方程組整理得，，①+②得，，解得，，把代入①得，，則方程組的解為．2．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）解下列方程（組）：(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解分式方程，（1）用代入消元法進行計算即可；（2）將整體代入方程②求出y的值，再代入求出x的值即可；（3）去分母將分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再進行檢驗即可；掌握代入消元法解二元一次方程組以及分式方程的解法是正確解答的關鍵．【詳解】（1），將②代入①得，，解得，把代入②得，，∴方程組的解為；（2），將①整體代入②得，，解得，把代入①得，，解得，∴方程組的解為；（3），兩邊都乘以得，，解得，經檢驗是原方程的根，∴方程的解為：．3．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）小明解二元一次方程組的過程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請在小明解法的前兩步后面的括號內填上方程變形的依據．(2)小明解方程組的結果正確嗎？如果你認為正確，請代入原方程組檢驗；如果你認為不正確，請指出他解題過程中最早在哪一步出現錯誤，并求出該方程組的正確解．【答案】(1)等式性質2，等式性質1(2)不正確，第②步錯誤，見解析【分析】（1）根據等式性質即可得出答案；（2）根據加減消元法解方程組的步驟進行判斷即可．【詳解】（1）解：①兩邊同乘以2，得，③，該步驟利用的是等式性質2；，得，該步驟利用的是等式性質1；故答案為：等式性質2；等式性質1；（2）錯誤，他解題過程中最早在第2步出現錯誤，正確步驟如下：兩邊同乘以2，得：③，得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為．【點睛】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關鍵．4．（22-23七年級下·浙江紹興·期中）解下列二元一次方程組：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：，把代入，得：，，，把代入，得：，所以，原方程組的解是；（2）解：，把，得：，，得：，把代入，得：，所以，原方程組的解是；【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法和加減消元法是解題的關鍵．題型二圖像法解二元一次方程5．（23-24七年級下·浙江臺州·期中）閱讀下列材料：我們知道，二元一次方程有無數組解，若我們把每一組解用有序數對表示，就可以標出一些以方程的解為坐標的點，過這些點中的任意兩點可以作一條直線，發現其它點也都在這條直線上．反之，在這條直線上任意取一點，發現這個點的坐標是方程的解．我們把以方程的解為坐標的所有點組成的圖形叫做方程的圖象，記作直線．請解答以下問題：(1)在所給的平面直角坐標系中描出點，并計算說明點A在方程的圖象上；(2)在所給的平面直角坐標系中畫出方程的圖象；(3)若直線與（2）中的相交于點B，求點B的坐標；(4)結合坐標網格，直接寫出，的長度．【答案】(1)點在方程的圖象上；(2)見解析(3)點的坐標為；(4)，．【分析】本題考查一次函數的應用，一次函數與二元一次方程，一次函數的圖象與性質，一次函數圖象上點的坐標特征．也考查了學生閱讀理解能力與知識的遷移能力．（1）將點的坐標分別代入，如果等式左右兩邊相等，那么點在直線上，否則點不在直線上；（2）利用兩點作出畫出函數的圖象即可；（3）解方程組即可求得；（4）利用正方形的面積求得即可．【詳解】（1）解：，當時，，即點在方程的圖象上；（2）由方程可知當時，，當時，，方程圖象過點，，過點，畫出直線如圖，（3）直線與（2）中的相交于點B，所以點的坐標滿足這兩個方程，聯立成方程組得，解得點的坐標為；（4）解：根據網格，以為邊的正方形面積為，所以；以為邊的正方形面積為．所以．6．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）(1)填表，使上下每對，的值是方程的解．(2)以上表中的值為橫坐標，的值為縱坐標，在圖的平面直角坐標系中標出這些點觀察并思考：①這些點是否在一條直線上?②過這些點中的任意兩點作直線，在該直線上任取一點，這個點的坐標是方程的解嗎?(3)(2)中這樣的點我們可以找到無數個，這些點的全體叫做方程的圖象；請在圖的同一平面直角坐標系中畫出方程的圖象，并根據兩個方程的圖象直接寫出方程組的解．(4)圖2給出了方程組的圖象，根據圖象提供的信息求的值．【答案】(1)見解析(2)①均在同一條直線上；是(3)(4)【分析】本題主要考查的是二元一次方程組的解及其直線方程的圖象；（1）先解出方程的四個解，再在平面直角坐標系中利用描點法作圖，再根據圖形解答即可；（2）根據（1）所作的圖形即可解答；（3）用描點法分別畫出兩個二元一次方程的圖象，根據圖象的交點就是方程組的解，即可解答；（4）根據方程組的解為，進而求得的值，即可求解．【詳解】（1）解：二元一次方程的解，可以為：，填表如下，（2）①如圖所示，由圖可知，這些點都在同一條直線上；②在這條直線上任取一點，這個點的坐標是方程的解；（3）解：的解，可以為：如圖所示，根據圖象的交點就是方程組的解，則方程組的解為（4）解：根據函數圖象可得方程組的解為∴解得：∴7．（23-24七年級下·湖北恩施·期末）【再現課本】在第八章的數學活動中我們曾探究過“以方程的解為坐標（x的值為橫坐標、y的值為縱坐標）的點的特性”，了解了二元一次方程的解與其圖象上點的坐標的關系．規定：以方程的解為坐標的所有點的全體叫做方程的圖象；結論：一般地，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線．示例：如圖1，依據“兩點確定一條直線”，我們在畫方程的圖象時，可以取點和，作出直線．

【解決問題】（1）已知，，，則點（填“A或B或C”）在方程的圖象上．（2）請你在圖1所給的平面直角坐標系中畫出二元一次方程的圖象．觀察圖中兩個圖象，它們的交點坐標為，由此得出二元一次方程組的解是．【拓展延伸】（3）已知點,在二元一次方程的圖象上，試求a，b的值．（4）在（3）的條件下，二元一次方程與的圖象交于點M，當點M在第一象限時，請求出m的取值范圍．【答案】（1）C；（2）畫圖見解析；，；（3）；（4）【分析】本題主要考查了一次函數與二元一次方程組的關系，解題關鍵是根據已知條件畫出函數圖象．（1）把已知，，，分別代入方程中，判斷方程左右兩邊是否相等進行判斷即可；（2）分別取兩個點，讓它們的坐標都能讓方程的左右兩邊相等，然后過兩點畫直線即可，觀察圖象可得，所畫的兩條直線的交點，根據一次函數與二元一次方程組的關系可得答案；（3）把點,代入方程，解方程組可得；（4）在（3）的條件下，得到方程組求出交點，根據點在第一象限即可求出m的范圍．【詳解】解：（1）把已知，，分別代入方程中，，，，∴點A，B不在方程的圖象上，點C在方程的圖象上，故答案為：C；（2）二元一次方程的圖象如下圖：

由圖可知交點坐標為，則的解為：，故答案為：，；（3）點,在二元一次方程的圖象上，，解得：；（4）在（3）的條件下，二元一次方程與的圖象交于點M，，解得：，，點M在第一象限，，，解得：題型三二元一次方程的特殊解法8．（21-22七年級下·浙江·期末）（1）點點在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即把方程①代入③得：，所以．把代入①得，．所以方程組的解為．請你模仿點點的“整體代換”法解方程組．（2）表示一個兩位數，其中為的整數．圓圓在研究平方的規律時發現：．．猜想的結果，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）仿照材料中的解題思路，將方程組變形后，“整體代換”即可求出解；（2）根據所給的例子發現：．根據完全平方公式展開后，再將前兩項分解因式即可得證．本題考查了數的十進制，規律型：數字的變化類，解答的關鍵是分析清楚式子的規律；【詳解】解：（1）將方程②變形得：③，把方程①代入③得：，解得：，將代入①得：，所以原方程組的解為；（2）由，，，可猜想：，理由如下：，，．【點睛】本題考查了用“整體代換”解二元一次方程組、數的十進制，規律型：數字的變化類，解答的關鍵是掌握“整體代換”解方程組的方法，分析清楚式子的規律．9．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）已知關于的方程組，其中，為整數．(1)若方程組有無窮多組解，求實數與的值；(2)當時，方程組是否有整數解？如有，求出整數解；若沒有，請說明理由．【答案】(1)，(2)沒有，理由見詳解【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程變為只含的一元一次方程，根據的系數討論方程組有無窮多組解時的取值即可；（2）要分類討論，即和，再結合整數解的問題，進一步分析作答．本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數的系數較小時可用代入法，當未知數的系數相等或互為相反數時用加減消元法較簡單．【詳解】（1）解：依題意，由①得，，③將③代入②得，整理得出，④∵方程組有無窮多組解∴且時，即，則，∴，（2）解：沒有，理由如下：由（1）得∵∴整理得①當時，即，∵∴此時方程組為則∵為整數∴原方程沒有整數解②當時，即，此時，若時，顯然無解，若時，，代入得∵a為整數，∴不可能為整數，∴原方程無整數解；綜上：原方程沒有整數解10．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）閱讀感悟：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數x、y滿足①，②，求和的值.本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由可得，由可得.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.解決問題：(1)已知二元一次方程組，則___________；(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需___________元.(3)對于實數x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算，已知，，那么___________.【答案】(1)－1(2)30(3)-11【分析】（1）兩式相減可求出x﹣y的值；（2）設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，根據“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關于m，n，p的三元一次方程組，即可求出結論；（3）根據“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出關于a，b，c的三元一次方程組，即可求出1*1的值．【詳解】（1）解：，由①﹣②可得x﹣y＝﹣1．故答案為：﹣1．（2）解：設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，依題意得：，由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30，即購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．故答案為：30．（3）解：依題意得：，由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11，即1*1＝﹣11．故答案為：﹣11．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）利用整體思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找準等量關系，正確列出三元一次方程組．題型四二元一次方程組的錯解復原問題11．（20-21七年級下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解關于的方程組，甲正確地解出，而乙把抄錯了，結果解得，求的值．（2）已知的積中不含有的二次項和一次項，求的值．【答案】（1）a=0，b=-2，c=1；（2）a=3，b=9【分析】（1）根據甲正確地解得，代入原方程組，根據乙僅因抄錯了題中的c，解得，代入第一個方程，三個方程組成方程組即可得到結果．（2）先將多項式展開后合并同類項，然后含x的二次項和一次項的系數為0，解得a，b的值．【詳解】解：（1）把代入得：，解得：c=1，把代入方程組中第一個方程得：，聯立得：，解得：，則a=0，b=-2，c=1；（2）原式=x3+ax2+bx-3x2-3ax-3b=x3+ax2-3x2-3ax+bx-3b=x3+（a-3）x2-（3a-b）x-3b由題意可知：a-3=0，3a-b=0，∴a=3，b=9．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．12．（21-22七年級下·河南南陽·階段練習）甲乙兩名同學在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，而得解為；乙看錯了方程組中的，而得解為．(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？(2)請你根據以上兩種結果，求出原方程組的正確解．【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6(2)【分析】（1）甲看錯了方程組中的，把代入①，②，乙看錯了方程組中的，把代入①，②，從而求出、正確的值和錯誤的值；（2）把，代入原方程組，然后用加減消元法解出方程組的解．【詳解】（1），把代入①，②得，，，．；把代入①、②得，，，，；甲把看成了，乙把看成了6；（2）把，代入原方程組，原方程組為，由②，得③，，得，把代入①，得，原方程組的解：．【點睛】本題考查了二元一次方程的解、二元一次方程組的解，掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題關鍵．13．（21-22七年級上·浙江·期末）（1）已知關于的方程組與有相同的解，求的值．（2）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到解為，乙看錯了方程組中的b，而得到解為．求原方程組的解．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）把只含x，y的兩個方程聯立，求出x，y的值，代入其余的兩個方程，得到關于a，b的方程組，解方程組求得a，b的值，代入代數式求值即可．（2）把代入方程組的第二個方程，把代入方程組的第一個方程，即可得到一個關于a，b的方程組，求出a，b的值，再代入原方程組，然后解方程組即可．【詳解】解：（1）聯立，解得：，把x，y的值代入其余的兩個方程得：，解得：，則原式=（1-2）2020=（-1）2020=1．（2）將代入方程4x-by=1得b=5，將代入方程ax+5y=-17得a=4，將a=4，b=5代入原方程組得，解此方程組得．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，把只含x，y的兩個方程聯立，求出x，y的值是解題的關鍵．題型五同解方程組的問題14．（20-21七年級上·浙江杭州·期末）關于，的二元一次方程組與的解相同，求、的值．【答案】，【分析】根據加減法，可得第二個方程組的解，根據方程組的解相同，可把第二個方程組的解代入第一個方程組，可得關于a、b的方程組，根據解方程組，可得答案．【詳解】解：解得，由的二元一次方程組與的解相同，得，①+②，得，解得．把代入①，得．解得．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，把方程組的解代入第一個方程組得出關于a、b的二元一次方程組是解題關鍵．15．（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于x，y的方程組和有相同的解．(1)求出它們的相同解；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了同解方程組，解題的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的一般方法．（1）根據方程組和有相同的解，得出方程組的解即為它們的相同解，然后解方程組即可；（2）把（1）中所求的，分別代入和得：，解關于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可．【詳解】（1）解：由題意得：，得：③，得：，把代入②得：，方程組的解為：；（2）解：把（1）中所求的，分別代入和得：，得：③，得：，把代入①得：，．16．（24-25七年級下·浙江·階段練習）已知關于的方程組和有相同的解．(1)求出它們的相同解．(2)求和的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查同解方程組：（1）將不含參數的兩個方程組成新的方程組，進行求解即可；（2）把兩個含參數的方程組成新的方程組，將（1）中的解代入，解關于參數的方程組即可．【詳解】（1）解：∵關于的方程組和有相同的解，∴方程組的解也與方程組和有相同的解，解，得：，∴程組和的解為：；（2）聯立，把代入，得：，解得：．題型六已知二元一次方程組的解的情況求參數17．（22-23七年級下·浙江·期末）若方程組的解滿足方程，求的值．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解分式方程，正確發現方程組與其解滿足的等式之間的聯系是解題關鍵．根據已知的方程組求得，的值，將，的值代入關于的方程，進而可得答案．【詳解】解：，得，∴，把代入①得，∴，把代入得：，解得，經檢驗是方程的解，∴18．（17-18八年級下·江西九江·期中）已知關于x、y的方程組的解滿足，．(1)求m的取值范圍；(2)在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式的解為？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出方程組的解，根據，得出不等式組，再求出不等式組的解集即可；（2）根據不等式的解集為得出，求出m的范圍，再根據（1）的結論求出，再求出整數m即可．本題考查二元一次方程組的解、解一元一次不等式組、一元一次不等式的整數解等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．【詳解】（1）得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：∵關于x、y的方程組的解滿足，．∴，∴；（2）合并得，∵不等式的解為∴∴又∵∴∵m為整數，∴．19．（2025七年級下·浙江·專題練習）若二元一次方程組有無數組解，求k的條件．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組解的情況與方程系數的關系，解題的關鍵是理解當二元一次方程組有無數組解時，兩個方程所代表的直線重合，即方程對應系數成比例．先將第二個方程變形，使其的系數與第一個方程中的系數相同，再根據方程組有無數組解時兩方程對應系數相等來求解．【詳解】解：∵方程組有無數組解，∴兩個方程應完全一樣，由整理得：，∴，解得：．題型七二元一次方程組與不等式綜合20．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）已知關于的方程組．(1)若方程組的解滿足，求的取值范圍．(2)若x，y是等腰三角形的兩條邊長，且等腰三角形的周長為9，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了已知二元一次方程組的解的情況求參數、一元一次不等式組的求解以及等腰三角形的定義、三角形的三邊關系等知識點，掌握相關結論即可.（1）方程組，得：，進而得，即可求解；（2）解方程組得：，可知x，y不可能是等腰三角形的兩腰；分類討論若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，兩種情況，利用三角形的三邊關系加以驗證即可．【詳解】（1）解：方程組，得：，∴，∵，∴，解得：；（2）解：解方程組得：，可知x，y不可能是等腰三角形的兩腰；若x是等腰三角形的腰，則，解得：；此時等腰三角形的三邊長為：，不能構成三角形；若是等腰三角形的腰，則，解得：；此時等腰三角形的三邊長為：，能構成三角形；綜上所述：21．（2024·浙江·模擬預測）關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求a的取值范圍．【答案】【分析】本題考查的是解二元一次方程組及解一元一次不等式，解二元一次方程組求出x，y的值，再代入中得到關于a的不等式，求出a的取值范圍即可．【詳解】解：，整理得得：，把代入得，，∴，∵，∴，解得．故a的取值范圍為．22．（23-24八年級上·浙江湖州·階段練習）已知關于的方程組，若此方程組的解滿足，求的取值范圍．【答案】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，先求出，再根據即可求出．【詳解】解：，①+②得，，，，，．23．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）已知關于、的二元一次方程組（為常數）.(1)若該方程組的解、滿足，求的取值范圍；(2)若該方程組的解、均為正整數，且，直接寫出該方程組的解.【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）將方程組變為，利用得，代入不等式，解不等式即可求解；（2）根據加減法解二元一次方程組，根據方程組的解均為正整數，且，得的值，進而求得方程組的解．【詳解】（1）解：二元一次方程組可變為：，得：，∵該方程組的解滿足，∴，解得：；（2）解：二元一次方程組可變為：，得：解得，將代入①得：，解得：，∵方程組的解均為正整數，且，∴或或4或3，∴或或或．【點睛】本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式綜合，正確的計算是解題的關鍵．題型八與解二元一次方程組有關的新定義問題24．（22-23八年級上·廣東茂名·期中）關于實數a，b，定義一種關于“※”的運算：，例如：．依據運算定義，若，且，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據運算定義可得：，解方程即可得到，則問題隨之得解．【詳解】∵，，∴根據運算定義可得：，解得方程得：，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及定義新運算等知識，理解新運算的含義以及掌握二元一次方程組的解法是解答本題的關鍵．25．（22-23七年級下·浙江·階段練習）對于任意實數，，定義關于“”的一種運算如下：．例如．若，且，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】利用題中的新定義化簡已知等式列出方程組，求出方程組的解即可求出所求．【詳解】解：根據題中的新定義得：，①②得：．故選A．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．26．（24-25七年級下·浙江嘉興·期中）對于實數，我們定義如下運算：若為非負數，則；若為負數，則．例如；，則方程組的解為．【答案】或【分析】本題主要考查解二元一次方程組以及分類討論的思想，先根據加減消元法解出，，然后再根據分類討論，分別求出合適的a，b值即可．【詳解】解：②，，解得，將代入①得：，解得：，當時，即當時，得，解得：，當時，即當時，得，解得：（舍去）當時，即當時，，解得：，當時，即當時，，解得：，綜上：原方程組的解為：或，故答案為：或．27．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習）對于有理數，，定義新運算：，，其中，是常數．已知，．(1)求，的值；(2)若關于，的方程組的解也滿足方程，求的值；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，根據新定義列出二元一次方程組，利用方程組的解列出二元一次方程組是解題的關鍵．（1）根據定義新運算得出關于a、b的二元一次方程組，再解方程組即可；（2）根據題意得出關于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得：；（2）解：依題意得，解得：，∵，∴，解得：．28．（22-23七年級下·浙江湖州·階段練習）對于實數、，定義關于“”的一種運算：，例如．(1)求的值；(2)若，，求和的值．【答案】(1)5(2)，【分析】本題考查了新定義，解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．（1）根據新定義運算：，直接運算即可；（2）根據新定義列出二元一次方程組，再求解即可．【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：；（2）解：根據題中的新定義得：，，根據題中的新定義化簡得：，解得：．題型九與解二元一次方程組有關的閱讀理解類問題29．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）[閱讀材料]分解因式：．解：把代入，發現此多項式的值為0，由此確定中有因式，可設（為常數），通過展開多項式或代入合適的的值即可求出的值．我們把這種分解因式的方法叫“試根法”．根據以上閱讀材料，完成下列問題：(1)請完成下列因式分解：__________；__________．(2)請你用“試根法”分解因式：；(3)①若多項式（，為常數）分解因式后，有一個因式是，求代數式的值；②若多項式含有因式和，求的值．【答案】(1)，(2)(3)①；②【分析】（1）將展開得到，對應相等即可得到的值，從而得到答案，同理即可求出因式分解的答案；（2）當時，，設，展開等式右邊的括號之后，對應相等，即可得到的值，從而得到答案；（3）①根據題意得，時，，把代入可得，由，進行計算即可得到答案；②根據題意得，和時，把和代入得關于的二元一次方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入，發現此多項式的值為0，由此確定中有因式，可設（為常數），則，，，把代入，發現此多項式的值為0，由此確定中有因式，可設（為常數），則，，，故答案為：，；（2）解：當時，，設，則，，，∴，；（3）解：①根據題意得，時，，把代入，得，∴，∴；②根據題意得，和時，把和代入得，，整理得：，解得：，．【點睛】本題考查了因式分解，解二元一次方程組，解本題的關鍵是理解試根法進行因式分解．30．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習）閱讀感悟：有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數x、y滿足①，②，求和的值．本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請根據上述思想解決下列問題：(1)已知二元一次方程組，分別求和的值；(2)對于實數x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，求的值．【答案】(1)11，5(2)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，三元一次方程組的應用，掌握整體思想解決問題是解題的關鍵．（1）將兩方程相加可求的值，將兩方程相減可求的值；（2）由題意列出方程組，再計算出①②的結果，即可求解．【詳解】（1）解：，①②可得：，①②可得：；（2）解：∵，∴，①②可得：．31．（23-24七年級下·廣東湛江·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后回答并解決有關問題：解方程組時，如果我們直接考慮消元，那會很麻煩，而采用下面的解法求解會更方便．解：得，，所以③，將③，得④，，得，從而可得，所以原方程組的解為．(1)請你用上述方法解方程組．(2)猜想：關于、的方程組（是常數，）的解，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查的是解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法和代入消元法并靈活變通是解答此題的關鍵．（1）利用“加減消元法”解方程組；（2）先假設該方程組的解，利用“加減消元法”解方程組驗證即可．【詳解】（1）解：，，得③，得④，得解得把代入③，得，解得，原方程組的解是；（2）解：猜想關于、的方程組的解為，理由如下：得，③，得④，得解得把代入③，得，解得，原方程組的解是．32．（23-24七年級下·貴州遵義·期末）閱讀與思考【閱讀理解】我們把四個數a，b，c，d排成兩行兩列，記為，稱為二階行列式，規定它的運算法則為．小李同學在學習二元一次方程組的解法時，發現可以利用二階行列式求解．例如：求二元一次方程組的解．解：記，，，則原方程組的解為【類比應用】(1)若二階行列式，求x的值；(2)已知方程組利用二階行列式求得，請求，，并寫出該方程組的解．【答案】(1)(2)，，【分析】本題考查了新定義題型，涉及了一元一次方程、二元一次方程組的求解，注意正確理解題意即可．（1）由題意得：,即可求解；（2）根據定義即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：,解得：（2）解：，，則原方程組的解為題型十二元一次方程組與實際問題33．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）學校舉行運動會，由若干名同學組成一個長方形隊列．如果原隊列中增加54人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少74人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少名同學？【答案】原隊列有1035人或270人或90人【分析】本題考查的是因式分解的應用，二元一次方程組的解法；設原隊列有m人，增加54人后組成的正方形隊列，減少74人后組成的正方形隊列.可得：，再利用因式分解的結果建立方程組解題即可；【詳解】解：設原隊列有m人，增加54人后組成的正方形隊列，減少74人后組成的正方形隊列.根據題意得：：，解得，∴；，解得，∴；，解得，∴；綜上所述，原隊列有1035人或270人或90人；34．（23-24七年級下·浙江湖州·期末）根據以下素材，探索完成任務．如何合理搭配消費券？素材一我市在2024年發放了如圖所示的南太湖消費券．規定每人可領取一套消費券（共4張）：包含型消費券（滿50減20元）1張，型消費券（滿100減30元）2張，型消費券（滿300減100元）1張．

素材二在此次活動中，小明一家4人各領到了一套消費券．某日小明一家在超市使用消費券共減了420元，請完成以下任務．任務一若小明一家用了2張型消費券，2張型消費券，則用了___________張型消費券，此時實際消費最少為____________元．任務二若小明一家用8張、、型的消費券消費，已知型比型的消費券多1張，求、、型的消費券各多少張？任務三若小明一家僅用兩種不同類型的消費券組合消費，請問該如何使用消費券，才能使得實際消費金額最小，并求出此時實際最小消費金額．【答案】任務一：6；880；任務二：型的消費券3張，型的消費券2張，則型的消費券3張；任務三：使用1張型消費券、4張型消費券時實際消費金額最小，最小金額為830元【分析】本題考查了一元一次方程的應用，二元一次方程的應用；任務一：根據消費券規則求解；任務一：根據“小明一家在超市使用消費券共減了元”列方程求解；任務一：先分類討論，列關系式，再根據二元一次方程的整數解即可求解．【詳解】解：任務一：用型的消費券數量為：，滿減前至少消費（元），實際消費最少為（元）．故答案為：6；880；任務二：設型的消費券張，則型的消費券張，型的消費券張，由題意可得，解得．型的消費券3張，型的消費券2張，則型的消費券3張；任務三：設小明一家共使用型的消費券張，型的消費券張，型的消費券張，則，，都是正整數，，，，①、型：．，，都是正整數，，，無解；②、型：，，，都是正整數，，，．實際消費金額：，（元）；③、型：，，，都是正整數，，，．實際消費金額：，（元）；綜上所述，使用1張型消費券、4張型消費券時實際消費金額最小35．（23-24七年級下·浙江金華·期末）根據以下素材，探索完成任務：素材1某校“半畝方塘”勞動基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地，已知圍欄的橫杠長為，豎杠長為，一副圍欄由2個橫杠，5個豎杠制作而成．素材2為了深度參與學校蔬菜基地的建立，勞動實踐小組打算自己購買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄，已知這種規格的圍欄材料每根長為，價格為50元/根．解決問題任務要求解決辦法任務1一根長的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢）方法①：當只裁剪長的用料時，最多可裁剪______根．方法②：當先裁剪下1根長的用料時，余下部分最多能裁剪長的用料______根．方法③：當先裁剪下2根長的用料時，余下部分最多能裁剪長的用料______根．任務2要求搭建蔬菜基地需用到的圍欄長為（即需要制作8副圍欄，需要的用料為：16個橫杠，40個豎杠）．勞動實踐小組打算用“任務1”中的方法②和方法③完成裁剪任務，請計算：分別用“任務1”中的方法②和方法③各裁剪多少根長的圍欄材料，才能恰好得到所需要的相應數量的用料？任務3勞動實踐小組準備優化圍欄：將橫杠材料由每根調整為每根，再將其中兩根豎杠材料由每根調整為每根（其它三根豎杠長度不變）．若要搭建任務2中所需的圍欄長度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（無剩余）或者若干根的用料（可剩余）．問：購買的材料至少需要多少費用？若材料有剩余，請求出剩余材料的長度，（剩余材料不可拼接）【答案】任務1：7；5；2；任務2：方法②方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；任務3：至少需要的費用為元，剩余材料為20dm【分析】本題考查了二元一次方程組與二元一次方程程的應用，解題的關鍵是仔細審題，正確列出方程．任務1：根據圍欄材料不同裁剪方法，分別計算出需要的豎杠或橫杠；任務2：利用方法②與方法③列出方程組求解即可；任務3：根據題意先計算出所需不同尺寸的橫杠，豎杠的數量，再每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（無剩余），計算出a，b的值，最后用裁剪若干根的用料（可剩余）來補全即可．【詳解】解：任務1：（根）方法①：當只裁剪長的豎杠時，最多可裁剪7根．（根），方法②：當先裁剪下1根長的橫杠時，余下部分最多能裁剪長的豎杠5根．（根），方法③：當先裁剪下2根長的橫杠時，余下部分最多能裁剪長的豎杠2根．任務2：設方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依據題意得：，解得：．答：方法②和方法③各裁剪6根與5根長的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應數量的用料；任務3：根據題意：需制作圍欄：（副）即的橫杠：（根）的豎杠：（根）的豎杠：（根）長的圍欄材料無剩余裁剪時：，即，，為正整數，，長的圍欄材料無剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，長的圍欄材料有剩余裁剪時：（根），即可裁剪7根的豎杠，需要長的圍欄材料無剩余裁剪（根）則的豎杠有：（根），的豎杠有：（根）還需要的豎杠（根）（根），則長的圍欄材料有剩余裁剪3根，共需要長的圍欄材料（根）剩余材料為：，至少所需要費用：（元）．36．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）綜合與實踐：素材1：如圖是一架自制天平，支點固定不變，左側托盤固定在點處，右側托盤的支撐點可以在橫梁段滑動，已知，，左側托盤放置一個的砝碼．任務1：若右側托盤放置物體，當天平平衡時，求的長．素材2：若將右側托盤上的物體換成一個空礦泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑動右側托盤，當支撐點到點時，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，當點移動到長為時（點在點的右側），天平恰好平衡．任務2：求這個礦泉水瓶的質量．素材3：繼續在礦泉水瓶中加水，當加水量是第一次加水量的5倍時，移動右側支撐點，使天平平衡．任務3：請描述右側支撐點的移動過程．溫馨提示：根據杠桿原理，天平平衡時：左盤砝碼質量右盤物體質量．（不計托盤和橫梁的質量）【答案】任務1：；任務2：這個礦泉水瓶的質量是10克；任務3：支撐點向左平移【分析】二元一次方程組的應用；任務1：依據題意，由左盤砝碼質量右盤物體質量，進而列式計算可以得解；任務2：依據題意，設礦泉水瓶的質量為克，每次加入等量水的質量為克，根據素材2可列方程組，計算即可得解；任務3：依據題意，由左盤量碼質量右盤物體質量，礦泉水瓶水的質量，可得，進而計算可以得解．【詳解】解：任務1：左盤砝碼質量右盤物體質量，解得．所以的長為．任務2：設礦泉水瓶的質量為克，每次加入等量水的質量為克；根據素材2可列方程組：，解得．答：這個礦泉水瓶的質量是10克．任務3：左盤砝碼質量右盤物體質量；礦泉水瓶水的質量，．解得：．，所以支撐點向左平移．37．（23-24七年級下·浙江金華·期末）某校計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小慧在某文體用品店購買完畢，回到學校后發現發票被弄花了，有幾個數據變得不消楚，如圖所示：請根據發票中現有的信息，幫助小慧復原弄花的數據，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數量及對應的金額．【答案】鋼筆的數量為10支，金額為150元，筆記本的數量為30本，金額為150元【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設鋼筆購買了x支，筆記本購買了y本，根據數量總和為46，金額綜合為900元，列出方程組進行求解即可．【詳解】解：設鋼筆購買了x支，筆記本購買了y本，由題意得，解得，則（元），（元），答：鋼筆的數量為10支，金額為150元，筆記本的數量為30本，金額為150元．38．（23-24七年級下·浙江·期末）已知書店的兩類書籍的進貨價和銷售價如下表所示．種類文學類科技類進貨價（元/本）1624銷售價（元/本）2030(1)若書店銷售兩類書籍共90本，銷售額為2100元，求這兩種書籍各銷售多少本？(2)若書店銷售兩類書籍若干本，銷售額為2400元，求此次書店的總利潤為多少元？(3)為回饋客戶，書店采用促銷方案銷售兩種書籍：買3本文學類書籍送1盒水彩筆，買3本科技類書籍送2盒水彩筆（水彩筆進貨價為每盒6元）．若書店按該方案銷售，購進的兩類書籍和水彩筆數量恰好滿足上述促銷搭配方案且進貨總價為2100元，求此次書店購進兩種書籍各多少本？【答案】(1)文學類書籍銷售60本，科技類書籍銷售30本(2)此次書店的總利潤為480元(3)此次書店購進文學類書籍42本，科技類書籍48本或文學類書籍84本，科技類書籍21本【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，二元一次方程的應用；（1）設文學類書籍銷售x本，科技類書籍銷售y本，根據“共90本，銷售額為2100元”列方程組，求解即可；（2）根據文學類書籍和科技類書籍的利潤率都是，用總銷售額乘以利潤率即可得到總利潤；（3）設此次書店購進文學類書籍本，科技類書籍本，則需購進水彩筆盒，根據進貨總價為2100元列出二元一次方程，求出方程的正整數解，進而可得答案．【詳解】（1）解：設文學類書籍銷售x本，科技類書籍銷售y本，由題意得：，解得：，答：文學類書籍銷售60本，科技類書籍銷售30本；（2）文學類書籍的利潤率為，科技類書籍的利潤率為，（元），答：此次書店的總利潤為480元；（3）設此次書店購進文學類書籍本，科技類書籍本，則需購進水彩筆盒，由題意得：，解得：，∵a，b均為正整數，∴或，∴或，答：此次書店購進文學類書籍42本，科技類書籍48本或文學類書籍84本，科技類書籍21本．39．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）問題：探究什錦糖的混合比例【基本信息】糖的種類甲種糖乙種糖丙種糖售價（元/千克）302012進價（元/千克）24168什錦糖的單價＝【樣品實驗】（1）甲種糖40千克，乙種糖30千克，丙種糖30千克混合成什錦糖樣品1，求樣品1的單價；（2）甲種糖在40千克基礎上減少千克，乙種糖30千克不變，丙種糖在30千克基礎上增加千克（，為正整數），混合成什錦糖樣品2，用含，的代數式表示樣品2的單價；【解決問題】（3）若樣品2比樣品1的單價少0.8元，求滿足條件的什錦糖樣品2中甲乙丙三種糖的質量之比．（4）在（3）的條件下，若該商店銷售什錦糖樣品2的數量為每天420千克，求該商店銷售樣品2的日利潤．【答案】（1）樣品1的單價為21.6元/千克；（2）用含m，n的代數式表示樣品2的單價元/千克；（3）滿足條件的什錦糖樣品2中甲乙丙三種糖的質量之比為38：30：37；（4）商店銷售樣品2的日利潤為1984元【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，（1）根據什錦糖的單價計算公式計算即可；（2）根據什錦糖的單價計算公式計算即可；（3）根據題意列方程求解即可；（4）根據題意列式求解即可【詳解】（1）元/千克．（2）（元/千克）（3）由題意得：∴．∵，都是正整數，∴，，∴什錦糖混合甲乙丙三種糖的質量比例為（4）由題意得：∴商店銷售樣品2的日利潤為1984元．40．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）小滿時節，日照增，氣溫升，降雨多，清熱利濕很重要，中醫記載：取茯苓、陳皮、白扁豆，可制成一包祛濕茶，可以寧神、健脾、化濕、開胃，某中藥店購入一批茯苓、陳皮、白扁豆各若干克，按標準制成100包袪濕茶，茯苓剛好用完，剩余的白扁豆比陳皮多；(1)購入茯苓的質量為______；這100包祛濕茶所用原料陳皮與白扁豆的質量比為_______；(2)若第二批購入茯苓若干克、陳皮、白扁豆，和剩余原料一起按標準制成第二批祛濕茶，所有原料恰好用完，則第二批能制成祛濕茶多少包？(3)藥店將第一批制成的100包祛濕茶全部售出后，獲得900元的利潤（利潤祛濕茶銷售額所用原料的成本），若第二批購入的茯苓價格上漲，陳皮和白扁豆的價格不變，于是藥店將祛濕茶單價上漲，將第二批祛濕茶也全部售出，藥店兩次銷售共獲得2410元的利潤，則兩次購買的陳皮和白扁豆共花費多少元？【答案】(1)1500；(2)第二批能制成祛濕茶151包(3)兩次購買的陳皮和白扁豆共花費251元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，三元一次方程組的實際應用：（1）根據每包祛濕茶需要茯苓進行求解即可；再根據每包祛濕茶需要陳皮、白扁豆求出一共需要陳皮、白扁豆的重量，進而求出對應的比值即可；（2）設第一批剩下的陳