/專題06證明【考點1：】定義與命題【考點2：】證明【考點3：】互逆命題一、定義與命題命題屬于判斷句或陳述句，是對一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒有關系．其中命題的題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．當證明一個命題是假命題時只要舉出一個反例就可以，即只需列出一個具備條件而不具備結論的例子即可.要說明一個真命題，則要從命題的條件出發，根據已學過的基本事實、定義、性質和定理等，進行有理有據的推理,證明它的正確性.二、證明證明過程必須做到言必有據.證明過程通常包含幾個推理，每個推理都應包括因、果和有因得果的依據.其中，“因”是已知事項，“果”是推出的結論；“有因得果的依據”是基本事實、定義、已學過的定理以及等式性質、不等式性質.證明的步驟：1.根據題意，畫出圖形；2.根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證；3.寫出證明過程.推理和證明是有區別的，推理是證明的組成部分，一個證明過程往往包含多個推理.三、三角形的內角和定理及其推論三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和.(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．(2)三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．(3)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（4）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（5）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．四、互逆命題每一個命題都有對應的逆命題，一個真命題的逆命題不一定是真命題，同樣一個假命題的逆命題也不一定仍為假命題.反例就是復合命題的條件，但不符合命題的結論的例子，它可以是數值、圖形，也可以是文字說明.一個命題的反例可以有很多個，解題時只需要舉出其中最易懂的一個即可.考點剖析【考點1：】定義與命題1．下列命題中：①有理數和數軸上的點一一對應；②有公共點的兩個角是對頂角；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④兩個無理數的和一定是無理數；⑤任何一個數都有平方根和立方根．其中真命題的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列命題中，真命題的個數有（

）A．從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段就是這個點到這條直線的距離B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補D．實數與數軸上的點是一一對應的3．命題“在同一平面內，如果，那么”是一個（填“真”或“假”）命題．4．在同一平面內，有三條直線a，b，c，下列說法：①若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；②若，，則；③若，，則．其中正確命題是．（填序號）5．請指出下列命題的條件和結論，并判斷它們的真假．(1)如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；(2)絕對值相等的兩個數相等；(3)兩個鈍角的和一定大于．6．命題：絕對值相等的兩個數相等．(1)請將上述命題改寫成“如果……，那么……”，并指出這個命題的條件與結論；(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．【考點2：】證明1．在第屆全國中學生物理競賽決賽中，華師一物理競賽團隊有位同學獲金牌，并全部進入國家集訓隊．五位同學猜誰是第一名，說：是，說：是，說：是，說：說錯了，說：不是我．教練說：你們中只有一人說對了，那么第一名是（）A．B B．C C．D D．E2．下列選項中，能說明命題“若，則”是假命題的反例是（

）A． B． C． D．3．把命題“等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：．4．用反證法證明“如果，那么．”是真命題時，第一步應先假設．5．命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．6．如圖，有如下四個論斷：①；②；③平分；④平分，請你選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個論斷作為結論，構成一個正確的數學命題并證明它．【考點3：】互逆命題1．下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．若，則 D．若，則2．已知命題“正方形的四條邊均相等”，則下列說法不正確的是（

）A．該命題的題設是正方形 B．該命題是真命題C．其逆命題的題設是四邊形的四條邊相等 D．其逆命題是真命題3．命題“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是，該逆命題是命題．（填“真”或“假”）4．下列命題中，其逆命題成立的是（填序號）①同旁內角互補，兩直線平行；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個三角形是直角三角形．③如果兩個角是直角，那么它們相等；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；5．寫出下列命題“若p，則q”的形式，寫出它的逆命題并判斷它們的真假．(1)全等三角形的對應邊相等；(2)互為相反數的兩個數的和為零．6．已知命題“如果，那么．”(1)寫出此命題的條件和結論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明．過關檢測1．下列命題中，真命題的個數是（

）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；④兩直線平行，同位角相等．A．4 B．3 C．2 D．12．為說明命題“若，則”是假命題，所列舉反例正確的是（

）A． B．C． D．3．下列命題中，說法正確的個數有（

）①等角的補角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③相等的角是對頂角；④兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；⑤過直線外一點作這條直線的垂線段，則這條垂線段叫做這個點到這條直線的距離．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．下列命題中是真命題的有（

）．①如果，，則；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直；④過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條；⑤有理數和數軸上的點一一對應．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．有下列命題：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段；②兩條直線被第三條直線所截，同旁內角相等；③在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直；④對頂角相等；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．其中，真命題有（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．有下列四個命題：一條直線的垂線只有一條；在同一平面內，從一點到某直線的垂線段叫這點到這條直線的距離；如果兩條直線垂直，那么他們相交成的四個角都相等；在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．其中假命題的個數是（

）A．個 B．個 C．個 D．個7．“內錯角相等”是命題．（填“真”、“假”）8．“如果a是無理數，b是無理數，那么a與b之積仍是無理數”是（填“真”或“假”）命題．9．將命題“互補的兩個角是鄰補角”改寫成“如果那么”的形式：，這是一個．10．“如果，則”是（填寫“真命題”或“假命題”）11．已知命題“如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對同位角的平分線互相平行”．(1)如圖為符合該命題的示意圖，請你把該命題用幾何符號語言補充完整：已知：______，、分別平分______和______，則_______．(2)試判斷這個命題的真假，并說明理由．12．如圖，①，②平分，③，④平分．(1)若以②③④為條件，①為結論組成一個命題，則這個命題是_______（“真”或“假”）命題；(2)證明（1）中的結論．13．【閱讀理解】如果把一個命題（記作）的題設和結論交換位置，得到另一個命題（記作），那么這兩個命題叫做互逆命題，其中命題稱為原命題，命題稱為原命題的逆命題．例如：原命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”．【解決問題】給出命題“如果，那么．”(1)寫出命題的題設和結論，及逆命題．(2)判斷命題是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進行說明．

專題06證明【考點1：】定義與命題【考點2：】證明【考點3：】互逆命題一、定義與命題命題屬于判斷句或陳述句，是對一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒有關系．其中命題的題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．當證明一個命題是假命題時只要舉出一個反例就可以，即只需列出一個具備條件而不具備結論的例子即可.要說明一個真命題，則要從命題的條件出發，根據已學過的基本事實、定義、性質和定理等，進行有理有據的推理,證明它的正確性.二、證明證明過程必須做到言必有據.證明過程通常包含幾個推理，每個推理都應包括因、果和有因得果的依據.其中，“因”是已知事項，“果”是推出的結論；“有因得果的依據”是基本事實、定義、已學過的定理以及等式性質、不等式性質.證明的步驟：1.根據題意，畫出圖形；2.根據命題的條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證；3.寫出證明過程.推理和證明是有區別的，推理是證明的組成部分，一個證明過程往往包含多個推理.三、三角形的內角和定理及其推論三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和.(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．(2)三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．(3)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（4）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（5）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．四、互逆命題每一個命題都有對應的逆命題，一個真命題的逆命題不一定是真命題，同樣一個假命題的逆命題也不一定仍為假命題.反例就是復合命題的條件，但不符合命題的結論的例子，它可以是數值、圖形，也可以是文字說明.一個命題的反例可以有很多個，解題時只需要舉出其中最易懂的一個即可.考點剖析【考點1：】定義與命題1．下列命題中：①有理數和數軸上的點一一對應；②有公共點的兩個角是對頂角；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④兩個無理數的和一定是無理數；⑤任何一個數都有平方根和立方根．其中真命題的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據實數與數軸的關系、對頂角的性質平行公理、無理數和平方根的概念判斷即可．【詳解】解∶①實數和數軸上的點一一對應，原命題是假命題；②有公共點的兩個角不一定是對頂角，原命題是假命題；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題；④兩個無理數的和不一定是無理數，原命題是假命題；⑤任何一個數不一定都有平方根和立方根，如，原命題是假命題．故選∶A．2．下列命題中，真命題的個數有（

）A．從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段就是這個點到這條直線的距離B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補D．實數與數軸上的點是一一對應的【答案】D【分析】根據點到直線的距離；過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內角互補；實數與數軸的關系；分析選項即可．【詳解】解：由題意可知：A．從直線外一點向直線引垂線，這條垂線段的長度就是這個點到這條直線的距離，故原命題錯誤，不符合題意；B．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，不符合題意；C．兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內角互補，故原命題錯誤，不符合題意；D．實數與數軸上的點是一一對應的，命題正確，故符合題意．故選：D【點睛】本題考查真假命題的判斷，解題的關鍵是掌握：點到直線的距離；過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內角互補；實數與數軸的關系．3．命題“在同一平面內，如果，那么”是一個（填“真”或“假”）命題．【答案】真【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質，垂線的定義，根據垂直加上平行線的性質即可證明．【詳解】解：∵，∴，∴命題“在同一平面內，如果，那么”是一個真命題，故答案為：真．4．在同一平面內，有三條直線a，b，c，下列說法：①若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；②若，，則；③若，，則．其中正確命題是．（填序號）【答案】②【分析】此題主要考查了平行公理和推論，關鍵是掌握同一平面內兩條直線的位置關系．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進行分析即可．【詳解】解：在同一平面內，有三條直線a，b，c，①若a與b相交，b與c相交，則a與c不一定相交，故原命題不正確；②若，，則，故原命題正確；③若，，則，故原命題不正確．故答案為：②．5．請指出下列命題的條件和結論，并判斷它們的真假．(1)如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；(2)絕對值相等的兩個數相等；(3)兩個鈍角的和一定大于．【答案】(1)條件：兩個角是直角；結論：這兩個角相等；真命題(2)條件：兩個數絕對值相等；結論：這兩個數相等；假命題(3)條件：兩個角是鈍角；結論：這兩個角的和一定大于；真命題【分析】本題考查命題的真假性，熟知相關概念是解題的關鍵．（1）根據題意，寫出條件和結論，再進行判斷真假即可；（2）根據題意，寫出條件和結論，再進行判斷真假即可；（3）根據題意，寫出條件和結論，再進行判斷真假即可．【詳解】（1）解：條件：兩個角是直角；結論：這兩個角相等；直角為，故原命題是真命題；（2）解：條件：兩個數絕對值相等；結論：這兩個數相等；絕對值相等的兩個數，還可以互為相反數，不一定相等，故原命題是假命題；（3）解：條件：兩個角是鈍角；結論：這兩個角的和一定大于；鈍角大于，故兩個鈍角的和一定大于，故原命題是真命題．6．命題：絕對值相等的兩個數相等．(1)請將上述命題改寫成“如果……，那么……”，并指出這個命題的條件與結論；(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．【答案】(1)見解析；(2)假命題．【分析】（）根據命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論解答；（）根據有關性質與定理，對命題的真假進行判斷，如果是假命題，再舉出反例即可；【詳解】（1）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；命題的條件是：兩個數的絕對值相等；結論：這兩個數也相等；（2）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等；是假命題，反例：，但，假命題．【考點2：】證明1．在第屆全國中學生物理競賽決賽中，華師一物理競賽團隊有位同學獲金牌，并全部進入國家集訓隊．五位同學猜誰是第一名，說：是，說：是，說：是，說：說錯了，說：不是我．教練說：你們中只有一人說對了，那么第一名是（）A．B B．C C．D D．E【答案】D【分析】教練說：你們中只有一人說對了，根據，相互矛盾，由此即可求解．【詳解】解：說：是，說：說錯了，教練說：你們中只有一人說對了，∴和的說法只能一真一假，不能同真，也不能同假；∴和，說得都是假話，∴只有說對了，故選：．【點睛】本題主要考查命題的邏輯推理，理解題目中教練，和的說法進行推導是解題的關鍵．2．下列選項中，能說明命題“若，則”是假命題的反例是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】說明一個命題錯誤只要舉反例即可，即滿足命題的條件但不滿足命題的結論的例子便是舉反例，由此即可作出判斷．【詳解】選項A的反例不滿足命題的條件，不符合；選項B、C滿足命題的條件，也滿足命題的結論，不符合；選項D滿足命題的條件，但不滿足命題的結論，故是舉反例；故選：D．【點睛】本題考查了命題的舉反例，了解舉反例的含義是關鍵．3．把命題“等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：．【答案】如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等；【分析】本題考查命題的擴充改寫，先要明確命題中的已知條件和結論，然后將已知和結論的描述語言進行適當擴充．【詳解】命題“等邊對等角”改寫為“如果…，那么…”的形式為：如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等；故答案為：如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等．4．用反證法證明“如果，那么．”是真命題時，第一步應先假設．【答案】a≥0【分析】用反正法證明命題應先假設結論的反面成立，本題結論的反面應是.【詳解】解：“如果，那么．”是真命題時,用反證法證明第一步應假設.故答案為【點睛】本題考查了反證法，熟練掌握反證法的證明步驟是解題的關鍵.5．命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余(2)該命題是真命題，詳見解析【分析】本題考查的是直角三角形的性質，逆命題的概念：（1）根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題；（2）根據三角形內角和定理計算，即可證明．【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余（2）解：該命題是真命題已知：如圖，在中，求證：證明：．6．如圖，有如下四個論斷：①；②；③平分；④平分，請你選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個論斷作為結論，構成一個正確的數學命題并證明它．【答案】見解析【分析】根據平行線的性質和角平分線的定義即可得到結論．【詳解】已知：，，平分，求證：平分．證明：如圖所示，∵，∴，即，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴平分．【點睛】本題考查了命題與定理，平行線的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．【考點3：】互逆命題1．下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】本題主要考查了逆命題、真假命題、平行線的性質和判定、對頂角的定義以及有理數的乘方、等式性質等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．依據平行線的性質和判定、對頂角的定義以及有理數的乘方、等式性質逐項分析判斷即可．【詳解】解：A．“對頂角相等”其逆命題為“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這個命題是假命題，故符合題意；B．“兩直線平行，同位角相等”其逆命題為“同位角相等，兩直線平行”，這個命題是真命題，故不符合題意；C．“若，則”其逆命題為“若，則”，這個命題是真命題，故不符合題意；D．“若，則”其逆命題為“若，則”，這個命題是真命題，故不符合題意．故選：A．2．已知命題“正方形的四條邊均相等”，則下列說法不正確的是（

）A．該命題的題設是正方形 B．該命題是真命題C．其逆命題的題設是四邊形的四條邊相等 D．其逆命題是真命題【答案】D【分析】本題主要考查了命題的概念，“判斷一件事情的語句，叫做命題．命題由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．”理解命題的結構，掌握判斷命題真假，寫出一個命題的逆命題，熟悉正方形的判定是解題的關鍵．【詳解】解：A：原命題中的已知事項是正方形，故該命題的題設是正方形，該選項不符合題意；B：原命題是真命題，該選項不符合題意；C：原命題的逆命題是“四條邊均相等的四邊形是正方形”，已知事項是四邊形的四條邊相等，故該選項不符合題意；D：原命題的逆命題是“四條邊均相等的四邊形是正方形”，四條邊均相等的四邊形不一定是正方形，還可能是菱形，逆命題為假命題，故該選項符合題意；故選：D．3．命題“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是，該逆命題是命題．（填“真”或“假”）【答案】銳角三角形是等邊三角形假【分析】本題考查了逆命題及判斷命題真假，正確理解三角形的分類是解題關鍵．先根據原命題寫出逆命題，再判斷真假即可．【詳解】解：命題“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是“銳角三角形是等邊三角形”，該逆命題是假命題，故答案為：銳角三角形是等邊三角形；假；4．下列命題中，其逆命題成立的是（填序號）①同旁內角互補，兩直線平行；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個三角形是直角三角形．③如果兩個角是直角，那么它們相等；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；【答案】①②/②①【分析】本題考查的是逆命題的概念以及命題的真假判斷，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．根據逆命題的概念得出原命題的逆命題，判斷即可．【詳解】解：①同旁內角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內角互補，是真命題；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個三角形是直角三角形的逆命題是如果這個三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）滿足，是真命題；③如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，是假命題；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實數的平方相等，那么兩個實數相等，是假命題；故答案為：①②．5．寫出下列命題“若p，則q”的形式，寫出它的逆命題并判斷它們的真假．(1)全等三角形的對應邊相等；(2)互為相反數的兩個數的和為零．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查命題書寫及判斷真假：（1）先根據題意找到題設結論，寫出命題，根據是否能得到判斷真假即可得到答案；（2）先根據題意找到題設結論，寫出命題，根據是否能得到判斷真假即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，“若p，則q”的形式：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應邊相等，∵三角形全等對應邊相等，∴該命題是真命題，逆命題：若兩個三角形的對應邊相等，則這兩個三角形全等，是真命題；（2）解：由題意可得，“若p，則q”的形式：若兩個數互為相反數，則它們的和為零，∵兩個互為相反的數和為0，∴是真命題，逆命題：若兩個數的和為零，則它們互為相反數，是真命題．6．已知命題“如果，那么．”(1)寫出此命題的條件和結論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例進行說明．【答案】(1)條件為：；結論為：(2)如果，那么(3)假命題，反例不唯一【分析】（1）“如果”后面的部分為條件，“那么”后面的部分為結論；（2）交換題目中命題的結論和題設的位置即可；（3）舉出反例即可．【詳解】（1）解：此命題的條件為：，結論為：；（2）此命題的逆命題為：如果，那么；（3）此命題的逆命題是假命題，當為相反數時，它們的絕對值相等，但本身不相等，如時，，而．【點睛】本題考查的是命題與定理，用到的知識點是真假命題的定義，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，交換命題的中題設和結論即為原命題的逆命題．過關檢測1．下列命題中，真命題的個數是（

）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；④兩直線平行，同位角相等．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質與判定，垂線的定義，熟知相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是真命題；③同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，原命題是假命題；④兩直線平行，同位角相等，原命題是真命題．∴真命題有2個，故選：C．2．為說明命題“若，則”是假命題，所列舉反例正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的是命題的證明和判斷，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．根據舉反例時需滿足題設，而不滿足結論求解即可．【詳解】解：A、，則，不是反例，不符合題意；B、，則，不是反例，不符合題意；C、，則，是反例，符合題意；D、，，則，不是反例，不符合題意；故選：C．3．下列命題中，說法正確的個數有（

）①等角的補角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③相等的角是對頂角；④兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；⑤過直線外一點作這條直線的垂線段，則這條垂線段叫做這個點到這條直線的距離．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查了命題與定理的知識．利用互補的定義、平行公理、對頂角的定義、平行線的性質及點到直線的距離等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①等角的補角相等，正確，符合題意；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，不符合題意；③相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，不符合題意；④兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原命題錯誤，不符合題意；⑤過直線外一點作這條直線的垂線段，則這條垂線段的長度叫做這個點到這條直線的距離，故原命題錯誤，不符合題意．正確的有1個，故選：A．4．下列命題中是真命題的有（

）．①如果，，則；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直；④過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條；⑤有理數和數軸上的點一一對應．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．根據平行線的判定，平行公理，平行線的性質，角平分線的定義，鄰補角，實數與數軸的關系分別判斷即可．【詳解】解：①同一平面內，如果，，則，故原命題為假命題；②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題為假命題；③同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直，故為真命題；④在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條，故原命題為假命題；⑤實數和數軸上的點一一對應，故原命題為假命題；∴共有1個真命題，故選：A．5．有下列命題：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段；②兩條直線被第三條直線所截，同旁內角相等；③在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直；④對頂角相等；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．其中，真命題有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】此題考查了點到直線的距離、平行線的性質、垂線的性質、對頂角的性質等知識，根據相關知識進行判斷即可．【詳解】解：①點到直線的距離是這一點到直線的垂線段的長度；故選項錯誤，不符合題意；②兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角相等；故選項錯誤，不符合題意；③在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；故選項錯誤，不符合題意；④對頂角相等；故選項正確，符合題意．⑤過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故選項錯誤，不符合題意；故選：A．6．有下列四個命題：一條直線的垂線只有一條；在同一平面內，從一點到某直線的垂線段叫這點到這條直線的距離；如果兩條直線垂直，那么他們相交成的四個角都相等；在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行．其中假命題的個數是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了命題的真假，根據垂線的性質、點到直線距離、垂直的定義、平行線的判定逐項判斷即可求解，掌握有關定義和性質是解題的關鍵．【詳解】解：一條直線的垂線有無數條，故是假命題；在同一平面內，從一點到某直線的垂線段的長度叫這點到這條直線的距離，故是假命題；如果兩條直線垂直，那么他們相交成的四個角都相等，故是真命題；在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故是真命題；∴假命題有，一共個，故選：．7．“內錯角相等”是命題．（填“真”、“假”）【答案】假【分析】本題考查了判定命題的真假，兩直線平行，內錯角相等．熟練掌握兩直線平行，內錯角相等，錯誤的命題是假命題是解題的關鍵．根據兩直線平行，內錯角相等進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，兩直線平行，內錯角相等，∴“內錯角相等”是假命題，故答案為：假．8．“如果a是無理數，b是無理數，那么a與b之積仍是無理數”是（填“真”或“假”）命題．【答案】假【分析】根據無理數的乘法法則計算，判斷即可．本題考查的是命題與定理，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【詳解】解：當，時，，而是有理數，所以如果是無理數，是無理數，那么與b之積仍是無理數是假命題．故答