/1.3探索三角形全等的條件（七~八）【推本溯源】1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規和直尺作角平分線嗎？作法：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。 2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點E，證：PQ⊥CD由此，你能發現用直尺和圓規過已知直線外一點作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點P為圓心，適當的長為半徑作弧，使它與AB交于點C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經過直線AB外一點P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形。看一下自己作的三角形和其他同學完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發現：（簡寫成“”或“”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；后者分別過，作，的垂線，交點為，則射線平分，均可由得知，其依據分別是（）A．； B．； C．； D．；例2：如圖，是的角平分線，于點，點，分別是邊，上的點，且，則______度．例3：下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點P．求作：直線l的垂線，使它經過點P．作法：如圖2，①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點；②連接PA和PB；③作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點Q．④作直線PQ．∴直線PQ就是所求的直線．根據小芳設計的尺規作圖過程，解答下列問題：（1）使用直尺和圓規，補全圖2（保留作圖痕跡）；（2）補全下面證明過程：證明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依據）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依據）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．例4：如圖，在8×6的方格紙中有線段AD，其中A，D在格點上，請分別按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一個即可．）（1）在圖1中，作△ABC，使AD為△ABC的中線，點B，C在格點上．（2）在圖2中，作△ABC，使AD為△ABC的高線，點B，C在格點上．例5：如圖，四邊形中，，，，，與相交于點F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．【摩拳擦掌】1．（2022·四川廣元·統考一模）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°2．（2022秋·天津·八年級天津市第五十五中學校考期末）如圖，下面是利用尺規作∠AOB的平分線OC的作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；（2）分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于點C；（3）畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．（2022秋·湖北宜昌·八年級統考期中）如圖所示，利用尺規作∠AOB的平分線，做法如下：①在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．在用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS4．（2022秋·湖南·八年級期中）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現進行如下操作以點B為圓心，適當長為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E．連結OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．5．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點；②作直線交于點，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．6．（2023秋·八年級課時練習）如圖，中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為____________.

7.（2021秋·北京·八年級北京四中校考期中）如圖，已知．按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交、于M、N兩點；②分別以點M，N為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點C．則射線是的角平分線．根據上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規，作出射線（請保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號里填寫推理的依據）．連接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．8．（2020秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖,在△ABC中,∠BAC是鈍角,按要求完成下列畫圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）①用尺規作∠BAC的角平分線AE．②用三角板作BC邊上的高AD．③用尺規作AB邊上的垂直平分線．【知不足】1．（2021·河北·九年級專題練習）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關于四條弧①、②、③、④有四種說法：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（3）弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；其中正確說法的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·湖南永州·統考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M，N作，OB的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．5．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在中，，，，P，Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，，要使與全等，則_____．6．（2022秋·遼寧大連·八年級統考期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據是________________．7．（2023春·八年級課時練習）如圖，在與中，，，，，則______．8．（2021秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖①，點P是∠AOB的平分線OC上的一點，我們可以分別OA、OB在截取點M、N，使OM=ON，連結PM、PN，就可得到.（1）請你在圖①中,根據題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．（2）請你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系.（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（Ⅰ）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【一覽眾山小】1．（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，于點D，，若cm，則的值為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm2．（2022秋·河南南陽·八年級統考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點，，使，再過點畫的垂線，過點畫的垂線，兩垂線交于點，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS3．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線于點C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線于點B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）在課堂上，老師發給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學們嘗試畫一個，使得.小趙和小劉同學先畫出了之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示老師評價：他倆的做法都正確.請你選擇一位同學的做法，并說出其作圖依據.我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據是______5．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考期末）數學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據)(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由6．（2021·吉林·九年級專題練習）在數學課上，老師提出如下問題老師說：“小華的作法正確”請回答：小華第二步作圖的依據是______．7．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）按要求完成尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．(2)求所作圖形中的度數．8．（2022秋·江蘇徐州·八年級校考階段練習）如圖，，點A、B分別在射線OM、ON上，點C在內部.(1)若，①如圖1，若，求證：.②如圖2，若，求證：OC平分.(2)如圖3，點A、B分別在射線OM、ON上運動，點C隨之運動，且，P為OM上定點，當點C運動到何處時，PC的長度最短？請用尺規作圖作出PC最短時C點的位置（保留作圖痕跡，不要寫作法）9．（2023春·全國·七年級期末）已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數量關系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點B作BE⊥AC于E，交CD于點F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．10．（2020·廣西·九年級統考學業考試）如圖，已知，直線及上兩點，．尺規作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）11．（2019秋·江蘇無錫·七年級校考期末）作圖，思考并回答問題：如圖，已知：ABC（1）按下列要求作圖：取邊AB、AC的中點D、E，連結線段DE；（2）用刻度尺測量線段DE、BC的長度分別為；（3）用量角器得B與ADE的度數分別為；（4）通過（2）、（3）你發現DE與BC什么關系？請寫出你的猜想．12．（2019·浙江金華·校聯考一模）如圖，在4×4方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．請按要求完成下列作圖，僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角．（1）在圖1中，畫出一個與△ABC面積相等的且與△ABC有公共邊的格點三角形；（2）在圖2中，畫出直線CE，使得CE⊥AB，其中E是格點．

1.3探索三角形全等的條件（七~八）【推本溯源】1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規和直尺作角平分線嗎？作法：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。 2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點E，證：PQ⊥CD由此，你能發現用直尺和圓規過已知直線外一點作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點P為圓心，適當的長為半徑作弧，使它與AB交于點C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經過直線AB外一點P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形。看一下自己作的三角形和其他同學完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發現：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；后者分別過，作，的垂線，交點為，則射線平分，均可由得知，其依據分別是（）A．； B．； C．； D．；【答案】C【分析】根據題意可知：王師傅用角尺平分一個角時使得：，，，故王師傅的依據為：；學生小顧用三角尺平分一個角時使得：，，且，故學生小顧的依據為：；即可得到結果【詳解】∵王師傅用角尺平分一個角，在兩邊上分別取，使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；∴，，，∴，故王師傅的依據為：；∵學生小顧用三角尺平分一個角，在兩邊上分別取，分別過，作，的垂線，交點為，∴，，且，∴，故學生小顧的依據為：；故答案為：C【點睛】本題考查了全等三角形的判定和角平分線的概念，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵例2：如圖，是的角平分線，于點，點，分別是邊，上的點，且，則______度．【答案】180【分析】過點作于點，由是的角平分線可得，可證出，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，，，，是的角平分線，，，，

，，故答案為：180．【點睛】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，證出．例3：下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點P．求作：直線l的垂線，使它經過點P．作法：如圖2，①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點；②連接PA和PB；③作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點Q．④作直線PQ．∴直線PQ就是所求的直線．根據小芳設計的尺規作圖過程，解答下列問題：（1）使用直尺和圓規，補全圖2（保留作圖痕跡）；（2）補全下面證明過程：證明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依據）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依據）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．【答案】（1）見詳解；（2）PB，兩邊及其夾角相等的兩三角形全等，全等三角形對應角相等．【分析】（1）根據尺規作圖的步驟先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分線PQ即作出所求圖；（2）根據作圖過程知PA=PB，再根據三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性質．【詳解】（1）如圖：（2）PB；兩邊及其夾角相等的兩三角形全等；全等三角形對應角相等．【點睛】此題考查學生的動手能力——尺規作圖中角平分線和垂直平分線的作法，涉及到三角形全等的判定和性質，難度一般．例4：如圖，在8×6的方格紙中有線段AD，其中A，D在格點上，請分別按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一個即可．）（1）在圖1中，作△ABC，使AD為△ABC的中線，點B，C在格點上．（2）在圖2中，作△ABC，使AD為△ABC的高線，點B，C在格點上．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據要求畫出圖形即可．（2）利用數形結合的思想畫出圖形即可．【詳解】解：（1）如圖1中，△ABC即為所求．（答案不唯一）（2）如圖2中，△ABC即為所求．【點睛】本題考查作圖﹣應用與設計，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．例5：如圖，四邊形中，，，，，與相交于點F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據即可證明．（2）根據得到，結合得到，即可得結論．【詳解】（1）解：在和中，∴．（2）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，常用的判定方法有：、、、、等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1．（2022·四川廣元·統考一模）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質解決問題即可．【詳解】解：連接CN、DN．由作圖可知，CM=DM，CN=DN,在△MCN和△MDN中，，∴△MCN≌△MDN（SSS），∴∠CMN=∠DMN，∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，∴∠CMD=2∠AOB=40°，故選：D【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．2．（2022秋·天津·八年級天津市第五十五中學校考期末）如圖，下面是利用尺規作∠AOB的平分線OC的作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；（2）分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于點C；（3）畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【答案】C【分析】連接EC，DC，根據作圖的過程證明三角形全等即可；，【詳解】【點睛】本題主要考查了角平分線作圖和全等三角形的判定，準確分析證明是解題的關鍵．3．（2022秋·湖北宜昌·八年級統考期中）如圖所示，利用尺規作∠AOB的平分線，做法如下：①在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．在用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【分析】利用基本作圖得到，，加上公共邊線段，則利用“SSS”可證明△EOC≌△DOC，于是有∠EOC＝∠DOC．【詳解】由作法得，，而OC＝OC，所以△EOC≌△DOC(SSS)，所以∠EOC＝∠DOC，即射線OC就是∠AOB的角平分線，故選：A．【點睛】本題屬于角平分線的尺規作圖，熟練掌握三角形的全等判定是解決本題的關鍵.4．（2022秋·湖南·八年級期中）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現進行如下操作以點B為圓心，適當長為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E．連結OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．【答案】28．【分析】由作圖可知BE平分∠ABC，根據平行線的性質求出∠ABC的度數，再利用平行線的性質求出∠AEB的大小即可．【詳解】解：由作圖可知：∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠A＋∠ABC=180°，∵∠A＝124°，∴∠ABC=56°，∴∠AEB＝∠ABC=＝28°，故答案為：28．【點睛】本題考查了角平分線的作法和平行線的性質，解題關鍵是明確角平分線的作法和熟練運用平行線的性質進行推理計算．5．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點；②作直線交于點，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．【答案】=【分析】根據作圖步驟可判定MN為線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質和題中的條件，即可確定線段BD與AC的大小．【詳解】由作圖步驟①可得：直線MN是線段BC的垂直平分線，點D在MN上∴BD=CD又∵CD=AC∴BD=AC故答案為：=【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質定理，根據作圖的過程判定直線MN是線段BC的中點是本題解題的關鍵．6．（2023秋·八年級課時練習）如圖，中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為____________.

【答案】【分析】先證明，然后得到求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．7.（2021秋·北京·八年級北京四中校考期中）如圖，已知．按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交、于M、N兩點；②分別以點M，N為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點C．則射線是的角平分線．根據上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規，作出射線（請保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號里填寫推理的依據）．連接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．【答案】（1）見解析；（2），，全等三角形的對應角相等【分析】（1）根據題目中的作圖步驟畫圖即可；（2）根據全等三角形的判定定理和性質，補充完整即可．【詳解】（1）如圖所示，射線即為所求；（2）連接，．在和中，∵∴（SSS

），∴∠BOC（全等三角形對應角相等），即平分．【點睛】本題考查了角平分線的畫法和全等三角形的判定與性質，解題關鍵是明確角平分線畫法，熟練運用全等三角形的判定與性質進行證明．8．（2020秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖,在△ABC中,∠BAC是鈍角,按要求完成下列畫圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）①用尺規作∠BAC的角平分線AE．②用三角板作BC邊上的高AD．③用尺規作AB邊上的垂直平分線．【答案】見解析.【分析】（1）根據角平分線的做法作圖即可；（2）利用直角三角板，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊過點B，再畫垂線即可；（3）根據線段垂直平分線的作法作圖．【詳解】解：(1)如圖所示：AE即為所求；(2)如圖所示：AD即為所求；(3)如圖所示：MN即為所求．【點睛】此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握角平分線和線段垂直平分線的基本作圖方法．【知不足】1．（2021·河北·九年級專題練習）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關于四條弧①、②、③、④有四種說法：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（3）弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；其中正確說法的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據基本作圖的方法即可得到結論．【詳解】解：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；（2）弧②是以P為圓心，大于點P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；（3）弧③是以A為圓心，大于AB的長為半徑所畫的弧，錯誤；（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．故選C．【點睛】此題主要考查了基本作圖，解決問題的關鍵是掌握基本作圖的方法．2．（2023·湖南永州·統考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】A【分析】根據判定三角形全等的方法分析即可求解．【詳解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，故選：A．【點睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關鍵．3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M，N作，OB的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用判定方法“”證明和全等，進而得出答案．【詳解】解：，，，在和中，，，，是的平分線．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的應用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關鍵．4．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①，此時，可據此求出P的位置；②，此時，點P與點C重合．【詳解】解：①當時，∵，在與中，∴，∴；②當P運動到與C點重合時，，在與中，∴，∴，∴當點P與點C重合時，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解題的關鍵，當題中沒有明確全等三角形的對應邊和對應角時，要分情況討論，以免漏解．5．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在中，，，，P，Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，，要使與全等，則_____．【答案】12或者6/6或12【分析】分、兩種情況討論即可作答．【詳解】∵，∴，∴是直角三角形，分情況討論：∵，，∴當時，結合，利用“”即有；當時，結合，利用“”即有；即的值為12或者6，故答案為：12或者6．【點睛】本題主要考查了全等直角三角形的判定的知識，掌握利用“”證明兩個直角三角形全等是解答本題的關鍵．6．（2022秋·遼寧大連·八年級統考期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據是________________．【答案】【分析】根據判斷出．【詳解】解：∵滑梯、墻、地面正好構成直角三角形，在和中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定及性質，直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題．7．（2023春·八年級課時練習）如圖，在與中，，，，，則______．【答案】40°【分析】根據HL，可以證明，則，再根據余角的性質即可求出的度數．【詳解】解：在中，，∴∴，∵，∴，故答案為：40°【點睛】此題主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形兩銳角互余的性質．8．（2021秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖①，點P是∠AOB的平分線OC上的一點，我們可以分別OA、OB在截取點M、N，使OM=ON，連結PM、PN，就可得到.（1）請你在圖①中,根據題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．（2）請你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系.（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（Ⅰ）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）（Ⅰ）FE=FD，證明見詳解；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由見詳解.【分析】（1）根據題意，畫出圖形，直接根據SAS，即可證明；（2）（Ⅰ）過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，由角平分線性質，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，又∠FDH=FEG=75°，由AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到FE=FD；（Ⅱ）與（Ⅰ）同理，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，由∠ABC=60°，得到∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，又∠FEG=∠BAF+60°，則∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，然后利用AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到結論成立.【詳解】解：（1）如圖，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC，∵OM=ON，OP=OP，∴△POM≌△PON（SAS）；（2）（Ⅰ）如圖，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴點F為內心，則BF平分∠ABC，∵FG⊥AB，FH⊥BC，∴FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠DAC=15°，∠ACE=45°，∴∠FEG=∠BAC+ACE=30°+45°=75°，∠FDH=90°-15°=75°，∴∠FDH=FEG=75°，∴△EFG≌△DFH（AAS），∴FE=FD；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由如下：如圖，與（Ⅰ）同理，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，由（Ⅰ）可知，FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠BCA）=，∵∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，∠FEG=∠BAC+∠FCA=∠BAF+∠FAC+∠FCA=∠BAF+60°，∴∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，∴△EFG≌△DFH（AAS），∴FE=FD.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，角平分線定理，以及三角形外角性質.解題的關鍵是正確作出輔助線，構造出全等三角形的條件，從而證明三角形全等.【一覽眾山小】1．（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，于點D，，若cm，則的值為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】B【分析】由條件可證明，則可求得，可求得答案．【詳解】∵，∴∴，在和中，

∴，∴，∴故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握證全等及邊的轉換．2．（2022秋·河南南陽·八年級統考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點，，使，再過點畫的垂線，過點畫的垂線，兩垂線交于點，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【分析】根據作圖過程可以證明RtRt（HL），進而可得結論．【詳解】∵，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴，∴射線就是的平分線故選：C【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．3．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線于點C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線于點B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法可知，根據即可判定三角形全等．【詳解】解：題干尺規作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據是．故選：A．【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．4．（2023春·全國·八年級專題練習）在課堂上，老師發給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學們嘗試畫一個，使得.小趙和小劉同學先畫出了之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示老師評價：他倆的做法都正確.請你選擇一位同學的做法，并說出其作圖依據.我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據是______【答案】小劉(或小趙)（或）【分析】由圖可知小趙同學確定的是兩條直角邊，根據三角形全等判定定理為．由圖可知小劉同學確定了一個直角邊和斜邊，根據三角形全等判定定理為．【詳解】小趙同學畫了后，再截取兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據是定理；小劉同學畫了后，再截取一直角邊和一個斜邊，所以確定的依據是定理．故答案為：小劉(或小趙)；（或）【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關鍵．5．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考期末）數學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據)(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由【答案】（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．【分析】（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結論成立；（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補全條件即可；（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結論成立．【詳解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；故答案為：等腰三角形三線合一定理；（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案為：CM=CN，邊邊邊；（3）小剛的作法正確，證明如下：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°，∵OM=ON，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；小剛的作法正確．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形的性質進行證明．6．（2021·吉林·九年級專題練習）在數學課上，老師提出如下問題老師說：“小華的作法正確”請回答：小華第二步作圖的依據是______．【答案】等腰三角形的性質【分析】根據等腰三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：小華第二步作圖的依據是等腰三角形的性質，故答案為等腰三角形的性質．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：五種基本作圖一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，逐步操作．7．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）按要求完成尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．(2)求所作圖形中的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用基本作圖，過點作于，再利用基本作圖作的平分線，與相交于點；（2）首先根據直角三角形兩銳角互余計算出，再根據角平分線的性質得出，根據同角的余角相等得，最后根據三角形內角和定理即可得出結果．【詳解】（1）如圖，線段是邊上的高，線段是的角平分線．（2），，，，是的角平分線，，線段是邊上的高，，，，．【點睛】本題主要考查了作圖——基本作圖，也考查了三角形內角和定理，角平分線性質，熟練掌握基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵．8．（2022秋·江蘇徐州·八年級校考階段練習）如圖，，點A、B分別在射線OM、ON上，點C在內部.(1)若，①如圖1，若，求證：.②如圖2，若，求證：OC平分.(2)如圖3，點A、B分別在射線OM、ON上運動，點C隨之運動，且，P為OM上定點，當點C運動到何處時，PC的長度最短？請用尺規作圖作出PC最短時C點的位置（保留作圖痕跡，不要寫作法）【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)當點C運動到PC⊥OC時，PC最短，作圖見解析【分析】（1）①如圖1，連接OC，可證得Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），即可得出CA=CB．②如圖2，過點O作OD⊥CB交CB的延長線于點D，作OE⊥AC于點E，連接OC，可證得△OAE≌△OBD（AAS），Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），即可得出OC平分∠ACB．（2）如圖3，過點C作CD⊥OM于點D，CE⊥ON于點E，作射線OC，可證得△CAD≌△CBE（AAS），Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），得出點C在∠MON的平分線上運動，所以當點C運動到PC⊥OC時，PC最短時C點的位置．【詳解】（1）證明：①如圖1，連接OC，∵CA⊥OM，CB⊥ON，∴∠OAC=∠OBC=90°，在Rt△OAC和Rt△OBC中，，∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），∴CA=CB．②如圖2，過點O作OD⊥CB交CB的延長線于點D，作OE⊥AC于點E，連接OC，則∠OEA=∠ODB=90°，∵∠ACB=∠MON=90°，∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，∴∠OAE+∠OBC=180°，∵∠OBD+∠OBC=180°，∴∠OAE=∠OBD，在△OAE和△OBD中，，∴△OAE≌△OBD（AAS），∴OE=OD，在Rt△OCE和Rt△OCD中，，∴Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），∴∠OCE=∠OCD，∴OC平分∠ACB．（2）如圖3，過點C作CD⊥OM于點D，CE⊥ON于點E，作射線OC，則∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=∠MON=90°，∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，∴∠CAD+∠OBC=180°，∵∠CBE+∠OBC=180°，∴∠CAD=∠CBE，在△CAD和△CBE中，，∴△CAD≌△CBE（AAS），∴CD=CE，在Rt△OCD和Rt△OCE中，

，∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），∴∠COD=∠COE，∴OC平分∠MON．∴點C在∠MON的平分線上運動，∴當點C運動到PC⊥OC時，PC最短，可以過點P作OC的垂線段找到，如圖3所示，點C′即為所求作的點．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，點到直線的距離垂線段最短，作圖-復雜作圖，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．9．（2023春·全國·七年級期末）已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數量關系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點B作BE⊥AC于E，交CD于點F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．【