/專題04因式分解（11大題型）題型一選用合適的方法因式分解題型二探究因式分解錯誤原因題型三利用因式分解解決整除問題題型四利用十字相乘法因式分解題型五利用分組分解法因式分解題型六已知因式分解的結果求參數題型七因式分解在有理數簡算中的應用題型八利用因式分解求代數式的值題型九與因式分解有關的新定義問題題型十與因式分解有關的閱讀理解問題題型一選用合適的方法因式分解1．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）因式分解：(1)；(2)．2．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）因式分解：(1)；(2)．3．（22-23七年級下·浙江杭州·階段練習）因式分解：(1)(2)4．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）分解因式：(1)；(2)；(3)題型二探究因式分解錯誤原因5．（21-22七年級下·河北邯鄲·期末）下面是樂樂同學把多項式分解因式的具體步驟：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)事實上，樂樂的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是________．(2)請給出這個問題的正確解法．6．（2023七年級下·浙江·專題練習）在講提取公因式一課時，張老師出了這樣一道題目：把多項式分解因式，并請甲、乙兩名同學在黑板上演算．甲演算的過程：．乙演算的過程：．他們的計算正確嗎？若錯誤，請你寫出正確答案．7．（2025·寧夏銀川·一模）因式分解：小剛的解題過程如下：第一步……第二步……第三步①請問小剛同學第一步變形用到的乘法公式是（寫出用字母a，b表示的乘法公式）；②小穎說小剛的步驟中有錯誤，小剛第步出現了錯誤；③請用小剛的思路給出這道題的正確解法．8．（2025七年級下·全國·專題練習）某同學對多項式進行因式分解的過程如下：設，原式．(1)該同學因式分解的結果是否正確？若不正確，請直接寫出因式分解的最后結果；(2)請仿照以上方法對多項式進行因式分解．題型三利用因式分解解決整除問題9．（24-25七年級下·全國·課后作業）對于任意自然數是否能被24整除？10．（2023·河北廊坊·一模）發現：比任意一個偶數大3的數與此偶數的平方差能被3整除．驗證：(1)的結果是3的幾倍？(2)設偶數為，試說明比大3的數與的平方差能被3整除．延伸：(3)比任意一個整數大3的數與此整數的平方差被6整除的余數足幾呢？請說明理由．11．（21-22八年級下·甘肅蘭州·期中）通過計算說明能被整除．題型四利用十字相乘法因式分解12．（24-25八年級上·江西上饒·期末）閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數項：，．②交叉相乘，驗中項：．③橫向寫出兩因式：．我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；13．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）【學習材料】十字相乘法對于形如的關于x、y二次三項式進行因式分解時，把項系數a分解成兩個因數，的積，即，把項系數c分解成兩個因數，的積，即，并使正好等于xy項的系數b，那么可以直接寫成結果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而，而對于形如的關于x、y的二元二次式也可以用兩次十字相乘法來分解．如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規則：則原式例：分解因式：解：如圖3，其中，，，而，，，【知識應用】請根據以上材料中的方法，解決下列問題：(1)通過十字相乘法分解因式得，則______，______．(2)分解因式：______；______；(3)若且，求代數式的值．題型五利用分組分解法因式分解14．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）在“因式分解探究性學習”中，甲同學進行了以下因式分解：（分成兩組）（直接提公因式）我們發現，要將多項式分解因式，可以先把它的四項分成兩組，分別進行因式分解得：．這種分解因式的方法稱為分組分解法．根據以上方法回答下列問題：(1)嘗試填空：；(2)解決問題：已知，求的值；(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別為，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．15．（2024七年級下·浙江·專題練習）因式分解：．16．（2023八年級上·全國·專題練習）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．經過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會到，對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．17．（23-24八年級上·福建福州·期中）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．例1：“兩兩分組”：

例2：“三一分組”：；

解：原式

解：原式

．

．歸納總結：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續分解．請同學們在閱讀材料的啟發下，解答下列問題：(1)①填空：解：原式＝____________②因式分解：；(2)已知，且，求的值．題型六已知因式分解的結果求參數18．（20-21七年級下·浙江紹興·期中）在分解因式時，小明看錯了b，分解結果為；小張看錯了a，分解結果為，求a，b的值．19．（21-22七年級上·浙江溫州·期中）仔細閱讀下面倒題．解答問題：例題：已知二次三項式，分解因式后有一個因式是（x+3）．求另一個因式以及m的值．解：方法：設另一個因式為（x+n），得＝（x+3）（x+n），則．∴，解得．∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．仿照以上方法解答：已知二次三項式分解因式后有一個因式是（2x﹣3），求另一個因式以及a的值．20．（21-22九年級下·浙江寧波·期中）因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入此多項式發現能使多項式的值為0．利用上述閱讀材料求解：(1)若是多項式的一個因式，求的值；(2)若和是多項式的兩個因式，試求，的值．(3)在（2）的條件下，把多項式因式分解．題型七因式分解在有理數簡算中的應用21．（21-22八年級上·全國·課后作業）簡便計算：（1）；（2）；（3）．22．（20-21七年級下·浙江·期末）簡便計算（1）

（2）23．（24-25八年級下·江西撫州·期中）利用分解因式計算：．題型八利用因式分解求代數式的值24．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．25．（23-24七年級下·浙江寧波·期中）我們知道：可以通過用不同的方法求解長方形面積，從而得到一些數學等式．如圖1可以表示的數學等式：，請完成下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數學等式：；(2)從圖3可知，因式分解：；(3)結合圖4，已知，，求的值．26．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）已知a、b、x、y滿足，，求：(1)；(2)．題型九與因式分解有關的新定義問題27．（23-24七年級下·浙江金華·期中）我們定義：一個整數能表示成（、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．【解決問題】（1）已知29是“完美數”，請將它寫成（、是整數）的形式__________；（2）若可配方成（、為常數），則__________；【探究問題】（3）已知，則__________；（4）已知（、是整數，是常數），要使為“完美數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．【拓展結論】（5）已知實數、滿足，求的最小值．28．（23-24八年級上·河南南陽·期末）若定義一種運算：，如：．(1)計算：．(2)將（1）計算所得的多項式分解因式；(3)若，求（1）中計算所得的多項式的值．29．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）定義：任意兩個數a，b，按規則運算得到一個新數c，稱所得的新數c為a，b的“和積數”．(1)若，，求a，b的“和積數”c；(2)若，，求a，b的“和積數”c；(3)已知，且a，b的“和積數”，求b（用含x的式子表示）并計算的最小值．30．（22-23七年級下·浙江杭州·期中）定義新運算：．例如：，．(1)計算；計算；(2)已知，，說明：的值與m無關；(3)已知，記，，試比較M，N的大小．題型十與因式分解有關的閱讀理解問題31．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）閱讀下列材料：某校“數學社團”活動中，研究發現常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發下，解決以下問題：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三邊滿足，判斷的形狀并說明理由．32．（23-24七年級下·浙江·階段練習）請閱讀下面材料，并解答問題：閱讀材料：利用多項式乘法法則可知，所以因式分解．例如：．利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．(1)因式分解：①．②．(2)利用因式分解求方程的解．33．（22-23八年級上·山東淄博·期中）閱讀下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法分解，如，細心觀察這個式子會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：分組組內分解因式整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊a、b、c滿足，判斷的形狀并說明理由．34．（2023七年級下·江蘇·專題練習）閱讀與思考：利用多項式的乘法法則可推導得出：因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關系可得：利用這個式子可以將某些二次項系數為的二次三項式分解因式，例如：將式子分解因式．分析：這個式子的常數項，一次項系數這是一個型的式子，∴，∴(1)填空：式子的常數項_______，一次項系數___________，分解因式______．(2)若可分解為兩個一次因式的積，則整數的所有可能值是______．題型十一因式分解的應用35．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）小磊和小軒在課外練習中碰到了一個問題，需要對多項式進行因式分解．小磊認為該整式一定有一個因式，小軒認為必有因式是，兩人找到老師尋求幫助．老師提供了一個方法：因式分解是整式乘法的逆運算．若整式A能被整式B整除，則B必為A的一個因式．老師給出了演算方法：(1)觀察老師的演算后，你認為___________同學的想法是對的；(2)已知多項式的其中一個因式為，請試著根據老師的方法列出演算過程，并將多項式進行因式分解；(3)若多項式能因式分解成與另一個完全平方式，求與的值．36．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m、寬為n的全等小長方形，且．（以上長度單位：）(1)用含m，n的代數式表示所有裁剪線（圖中虛線部分）的長度之和；(2)觀察圖形，可以發現代數式可以因式分解為______(3)若每塊小長方形的面積為，四個正方形的面積和為，試求的值．37．（22-23八年級上·吉林長春·期末）已知，，為的三邊，且滿足，試判定的形狀．38．（23-24九年級下·浙江臺州·開學考試）【問題提出】如何分解因式：？【問題解決】某數學“探究學習”小組對以上問題進行了探究：甲同學：乙同學：【方法總結】將一個多項式適當分組后，利用提公因式法或運用公式法繼續分解的方法叫做分組分解法．【學以致用】嘗試運用分組分解法解答下列問題：（1）分解因式：；（2）已知的三邊長，，滿足，判斷的形狀并說明理由．【拓展提升】（3）如圖是一塊長方形試驗田，已知長為，長為，當時，長方形試驗田的面積為，當時，長方形試驗田的面積為(，均為正整數)，且滿足，請求出和的值．39．（23-24七年級下·浙江湖州·期末）美術課上，每位同學都拿到一張正方形紙片，該紙片可看作由4張正方形，1張正方形，4張長方