/第17講探索三角形相似的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．能利用兩個(gè)角分別相等來(lái)判定相似；2．歸納并運(yùn)用判定2和3；3.理解并掌握三角形的重心。1.如右圖，畫出一個(gè)▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以畫出多少個(gè)？2.已知在△ABC和△A′B′C′中?！螦=∠A′，∠B=∠B′。求證：△ABC∽△A′B′C′證明：3.如圖，已知▲ABC，作▲A′B′C′，使得∠A=∠A′，,這兩個(gè)三角形相似嗎？如果呢？在▲ABC和▲A′B′C′中，∠A=∠A′，證▲ABC~▲A′B′C′。，證▲ABC~▲A′B′C′。在AB上截取一個(gè)點(diǎn)D，使得AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交AC與點(diǎn)E。由定理1，可以證▲ABC~▲ADE，所以，又因?yàn)锳D=A′B′，、所以AE=A′C′，所以▲ADE≌▲A′B′C′，∴▲ABC~▲A′B′C′因此，兩邊成比例且夾角相等得兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC~▲A′B′C′5.已知▲ABC，作▲A′B′C，使得,這兩個(gè)三角形相似嗎?如果呢？6.在▲ABC和▲A′B′C′中，，我們可以證明▲ABC~▲A′B′C′嗎？用上圖相同得方法可證▲ABC~▲ADE，所以，因?yàn)?，AD=A′B′，所以AE=A′C′，DE=B′C′。所以▲ADE≌▲A′B′C′，所以▲ABC~▲A′B′C′。因此，三邊成比例得兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：在▲ABC和▲A′B′C′中，∴▲ABC~▲A′B′C′7.在三角形中，三角形中的角平分線、垂直平分線、高線都交于一點(diǎn)，那三角形的三條中線交于一點(diǎn)嗎？如圖，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，BC上的中線經(jīng)過點(diǎn)F嗎？連接DE，連接DE，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)∴DE∥BC，∴取BC中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AG，EG，同理可得EG∥AB，∴∴A、F、G三點(diǎn)共線∴BC上的中線經(jīng)過點(diǎn)F因此，三角形的三條中線相較于一i但，這點(diǎn)叫做三角形的重心。幾何語(yǔ)言：∵F是▲ABC的重心∴考點(diǎn)一：判定1證明相似例1．如圖所示，在中，，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-1】如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，，那么下列判斷中，不正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】如圖，已知，則圖中相似三角形是．

【變式1-3】如圖，在鈍角中，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上求作一點(diǎn)，使得．(保留作圖痕跡，不寫作法)考點(diǎn)二：判定2證明相似例2．如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【變式2-1】如圖，已知，，，．將沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與不相似的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】在和中，如果，那么這兩個(gè)三角形是否相似？答：，理由是．【變式2-3】如圖，是的邊上的一點(diǎn)，，，，求證：．考點(diǎn)三：判定3證明相似例3.如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與相似的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③C．①和③ D．無(wú)法確定【變式3-2】如圖，在正方形網(wǎng)格中：①；②；③；這3個(gè)斜三角形中，能與相似的是．（點(diǎn)、、、、均在格點(diǎn)上）

【變式3-3】如圖，在中，，，，求證：．

考點(diǎn)四：相似綜合運(yùn)用例4．如圖，為的直徑，C為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，切點(diǎn)為E，作于點(diǎn)D，連結(jié)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B是中點(diǎn) B．C． D．平分【變式4-1】如圖，把邊長(zhǎng)為3的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，與交于點(diǎn)P，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．若，則（）A． B． C． D．【變式4-2】如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)．若，，則．【變式4-3】（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．1．如圖，中，，，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．6 C．3 D．42．如圖，已知，直線m分別交直線a，b，c于點(diǎn)A，C，E，直線n分別交直線a，b，c于點(diǎn)B，D，F(xiàn)，若，則等于（）A． B． C． D．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接上軸正半軸交于點(diǎn)．若，的面積為3，則的值為（

）

A．12 B．8 C．4 D．4．如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過程沒有問題 B．往琛的做法證明過程沒有問題C．天翼的做法添加的條件沒有問題 D．往琛的做法添加的條件有問題5．如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，交于，交于，若，則的值為（

）A．4 B． C． D．66．如圖1，在矩形中，點(diǎn)P從A出發(fā)沿對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連接，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段與的差為y，圖2是y隨x變化的圖象，則矩形的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．7 C．12 D．147．如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B及的中點(diǎn)M，軸，與y軸交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．8．已知正方形的邊長(zhǎng)為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，取的中點(diǎn)，連接、，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．9．如圖，與相交于點(diǎn)，連接，，添加一個(gè)條件，使．你添加的條件是．10．如圖，在中，，分別與相交于點(diǎn)D、E，若，，則的值為．11．如圖，與相切于點(diǎn)．點(diǎn)分別在，上，四邊形為正方形，若，則．12．如圖，在中，分別交于點(diǎn)D，E．交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為．

13．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，過作軸，連接交于點(diǎn)，若，且的面積為5，則的值為.

14．如圖，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，的面積為8，則的值為．15．如圖，是以等腰的腰為直徑所作的圓，點(diǎn)是與底邊的交點(diǎn)，自點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求此時(shí)的長(zhǎng)．16．在的正方形網(wǎng)格中，四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，按要求完成下列作圖．(1)在圖1中作的平分線；(2)在圖2中，連接交于點(diǎn)O，在上確定點(diǎn)M，使．17．下圖是由邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按如下要求利用無(wú)刻度的直尺作圖（保留痕跡，不寫作法）．(1)圖①中，畫出的中線；(2)圖②中，在的邊上找一點(diǎn)，使得；(3)圖③中，在的邊上找一點(diǎn)，連接，使的面積為1．18．如圖1，等腰直角和等腰直角的直角頂點(diǎn)C重合，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，過A作，且（點(diǎn)B，點(diǎn)F在同側(cè)），連接，求的值；(3)如圖3，M是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)N，求證：．

第17講探索三角形相似的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．能利用兩個(gè)角分別相等來(lái)判定相似；2．歸納并運(yùn)用判定2和3；3.理解并掌握三角形的重心。1.如右圖，畫出一個(gè)▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以畫出多少個(gè)？無(wú)數(shù)個(gè)2.已知在△ABC和△A′B′C′中。∠A=∠A′，∠B=∠B′。求證：△ABC∽△A′B′C′證明：在△ABC的邊AB（或延長(zhǎng)線）上截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC.交AC于點(diǎn)E.則有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B∠B=∠B′∴∠ADE=∠B′又∵∠A=∠A′AD=A′B′∴△ADE≌△A′B′C′（ASA）∴△A′B′C′∽△ABC3.如圖，已知▲ABC，作▲A′B′C′，使得∠A=∠A′，,這兩個(gè)三角形相似嗎？如果呢？在▲ABC和▲A′B′C′中，∠A=∠A′，證▲ABC~▲A′B′C′。，證▲ABC~▲A′B′C′。在AB上截取一個(gè)點(diǎn)D，使得AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交AC與點(diǎn)E。由定理1，可以證▲ABC~▲ADE，所以，又因?yàn)锳D=A′B′，、所以AE=A′C′，所以▲ADE≌▲A′B′C′，∴▲ABC~▲A′B′C′因此，兩邊成比例且夾角相等得兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC~▲A′B′C′5.已知▲ABC，作▲A′B′C，使得,這兩個(gè)三角形相似嗎?如果呢？6.在▲ABC和▲A′B′C′中，，我們可以證明▲ABC~▲A′B′C′嗎？用上圖相同得方法可證▲ABC~▲ADE，所以，因?yàn)?，AD=A′B′，所以AE=A′C′，DE=B′C′。所以▲ADE≌▲A′B′C′，所以▲ABC~▲A′B′C′。因此，三邊成比例得兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：在▲ABC和▲A′B′C′中，∴▲ABC~▲A′B′C′7.在三角形中，三角形中的角平分線、垂直平分線、高線都交于一點(diǎn)，那三角形的三條中線交于一點(diǎn)嗎？如圖，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，BC上的中線經(jīng)過點(diǎn)F嗎？連接DE，連接DE，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)∴DE∥BC，∴取BC中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AG，EG，同理可得EG∥AB，∴∴A、F、G三點(diǎn)共線∴BC上的中線經(jīng)過點(diǎn)F因此，三角形的三條中線相較于一i但，這點(diǎn)叫做三角形的重心。幾何語(yǔ)言：∵F是▲ABC的重心∴考點(diǎn)一：判定1證明相似例1．如圖所示，在中，，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定作答即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴，∵，，∴同理可得，，，，∴共有四個(gè)三角形與相似．故選：A．【變式1-1】如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，，那么下列判斷中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵；若是兩個(gè)三角形中兩組角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，根據(jù)此判定作判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別在邊、上，，∴，故A正確；∵，∴，∵，∴，故B正確；∵，，∴，∴，故C正確；與不一定相似，故D不正確；故選：D．【變式1-2】如圖，已知，則圖中相似三角形是．

【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定，掌握兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，故答案為：．【變式1-3】如圖，在鈍角中，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上求作一點(diǎn)，使得．(保留作圖痕跡，不寫作法)【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握作線段垂直平分線的方法．作的垂直平分線交于點(diǎn)即可．【詳解】解∶如圖，點(diǎn)即為所作．如圖，作的是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴．考點(diǎn)二：判定2證明相似例2．如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由于點(diǎn)D，得，則，而，即可證明，可判斷A不符合題意；由，得，則，可證明，可判斷B不符合題意；由，得，而，可證明，可判斷C不符合題意；由，得，，則，而，所以與不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖1，∵于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∵，∴，故A不符合題意；如圖2，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故B不符合題意；如圖3，∵，∴，，∴，∵，∴，故C不符合題意；如圖4，∵，∴，，∴，假設(shè)，∵，∴，與已知條件不符，∴與不相似，故D符合題意，故選：D．【變式2-1】如圖，已知，，，．將沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與不相似的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、，，，故A不符合題意；B、，，，故B不符合題意；C、由圖形可知，，，，，，又，，故C不符合題意；D、由已知條件無(wú)法證明與相似，故D符合題意，故選：D．【變式2-2】在和中，如果，那么這兩個(gè)三角形是否相似？答：，理由是．【答案】?jī)蛇叧杀壤見A角相等的兩個(gè)三角形相似【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，判定即可．【詳解】解：∵，∴，理由為：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似故答案為：，兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【變式2-3】如圖，是的邊上的一點(diǎn)，，，，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的證明，根據(jù)相似三角形的判定方法，兩邊對(duì)應(yīng)成比例和夾角相等即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，，，，為公共角，．考點(diǎn)三：判定3證明相似例3.如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與相似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了相似三角形的判定，根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出的長(zhǎng)，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，∴，A、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與相似；B、三邊之比，圖中的三角形（陰影部分）與不相似；C、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似；D、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．故選：A．【變式3-1】如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③C．①和③ D．無(wú)法確定【答案】C【分析】此題考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)兩三角形相似的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，即可解答．【詳解】解：設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，①中的三角形的各邊長(zhǎng)分別為2，，，③中的三角形的各邊長(zhǎng)分別為，2，，，這兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例①中的三角形和③中的三角形相似，故選C.【變式3-2】如圖，在正方形網(wǎng)格中：①；②；③；這3個(gè)斜三角形中，能與相似的是．（點(diǎn)、、、、均在格點(diǎn)上）

【答案】【分析】分別求出三個(gè)三角形的三邊的比（按邊長(zhǎng)的大小順序），所求三邊之比等于的三邊之比就是與相似的三角形．【詳解】解：∵的三邊之比是，的三邊之比是的三邊之比是，的三邊之比是．∴與相似，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，勾股定理與網(wǎng)格，掌握“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】如圖，在中，，，，求證：．

【答案】證明見詳解；【分析】本題考查三角形相似的判定，根據(jù)得到，從而得到，結(jié)合，得到，即可得到證明；【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，，∴，∴．考點(diǎn)四：相似綜合運(yùn)用例4．如圖，為的直徑，C為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，切點(diǎn)為E，作于點(diǎn)D，連結(jié)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B是中點(diǎn) B．C． D．平分【答案】D【分析】證明是等腰三角形，可判斷A；運(yùn)用反證法可證明可判斷B；無(wú)法證明和相似，故可判斷C；證明即可判斷D．【詳解】解：連接如圖，∴∴∵，∴是等腰三角形，，不一定等于，∴不一定成立，即點(diǎn)不一定是中點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；假設(shè)，則有∵∴，∴∵∴，即∴而∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；在和中，是直角三角形，是鈍角三角形，故和不相似，則，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴∴∵∴，∴，∴平分，故選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)相似三角形的判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式4-1】如圖，把邊長(zhǎng)為3的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，與交于點(diǎn)P，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，可證明，得到，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理列方程，并求解方程，即得答案．【詳解】，，把邊長(zhǎng)為3的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，，，，又，，，設(shè)，則，在中，，即，解得或0（舍去），，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定及根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)．若，，則．【答案】【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證，進(jìn)而得，，再證明，得，從而即可得解．【詳解】解：∵，過點(diǎn)作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3【分析】（1）證明，結(jié)合，利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”證明結(jié)論即可；（2）首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，易得，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，結(jié)合菱形的性質(zhì)可證明，易得，，進(jìn)而證明是等邊三角形，然后計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．1．如圖，中，，，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．6 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：，,又，，，，，∴，故選：B．2．如圖，已知，直線m分別交直線a，b，c于點(diǎn)A，C，E，直線n分別交直線a，b，c于點(diǎn)B，D，F(xiàn)，若，則等于（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接上軸正半軸交于點(diǎn)．若，的面積為3，則的值為（

）

A．12 B．8 C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)三角形面積公式和反比例系數(shù)k列式可得結(jié)論．設(shè)，則，由的面積為3即可求解．【詳解】解：作軸于點(diǎn)D，

∵軸，，，，，∴，設(shè)，則，∴，∴，故選：A．4．如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說(shuō)法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過程沒有問題 B．往琛的做法證明過程沒有問題C．天翼的做法添加的條件沒有問題 D．往琛的做法添加的條件有問題【答案】B【分析】根據(jù)題意已知，故添加兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角為或者添加一組對(duì)應(yīng)角相等，即可求解．本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，添加一組對(duì)應(yīng)角相等，可以使得，故天翼的做法以及過程沒有問題，往琛的做法添加的條件有問題，應(yīng)為，證明過程中用到兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等，故B選項(xiàng)符合題意，故選：B．5．如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，交于，交于，若，則的值為（

）A．4 B． C． D．6【答案】B【分析】由三角形中位線定理可得，，可得，由矩形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，，，∴，，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，在矩形中，點(diǎn)P從A出發(fā)沿對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連接，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段與的差為y，圖2是y隨x變化的圖象，則矩形的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．7 C．12 D．14【答案】D【分析】本題考查了矩形性質(zhì)及函數(shù)圖象、平行線分線段成比例定理及勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵，首先得出，和當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出即可求出周長(zhǎng)．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，，此時(shí)，，，在矩形中，，由圖2可知，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，，，，，，，，，，，矩形的周長(zhǎng)為14，故選：D．7．如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B及的中點(diǎn)M，軸，與y軸交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，利用函數(shù)表達(dá)式設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，是中點(diǎn)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作過作的垂線垂足為，與軸交于點(diǎn)，如圖，在等腰三角形ABC中，，是中點(diǎn)，設(shè)，，由中點(diǎn)為，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中點(diǎn)為M，∴，即，由在反比例函數(shù)上得，∴，解得：，由題可知，，∴．故選：B．8．已知正方形的邊長(zhǎng)為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，取的中點(diǎn)，連接、，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)平行線等分線段定理的推論證得，在中，根據(jù)勾股定理可求出，，再在中根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵正方形的邊長(zhǎng)為，，∴，，∴，，，∴，，∴．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，中點(diǎn)的定義等知識(shí)．通過作輔助線并根據(jù)平行線等分線段定理證明是解題關(guān)鍵．9．如圖，與相交于點(diǎn)，連接，，添加一個(gè)條件，使．你添加的條件是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，由圖可知，所以要使，只需再添加一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等或其對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解，熟練掌握相似三角形的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵（對(duì)頂角相等），∴要使，只需再添加一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等或其對(duì)應(yīng)邊成比例即可，∴可以添加，故答案為：（答案不唯一）．10．如圖，在中，，分別與相交于點(diǎn)D、E，若，，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握該定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)，由平行線分線段成比例定理可得，將已知條件代入即可求解．【詳解】解：∵，，，∴．故答案為．11．如圖，與相切于點(diǎn)．點(diǎn)分別在，上，四邊形為正方形，若，則．【答案】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證得，，，進(jìn)而得到，由勾股定理求出由平行線等分線段定理得到是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可求出．【詳解】解：如圖：四邊形為正方形，，，，，與相切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，，∴，，，是的中位線，，在中，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，平行線等分線段定理，三角形中位線定理等知識(shí)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，分別交于點(diǎn)D，E．交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．先證得四邊形是平行四邊形，得到，再利用平行線截線段成比例列式求出即可．【詳解】∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，過作軸，連接交于點(diǎn)，若，且的面積為5，則的值為.

【答案】20【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，設(shè)，分析可知，結(jié)合的面積為5，可得，進(jìn)而得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，

∵軸，軸，∴，∵，∴，則，∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，∴設(shè)，∴，則，將代入得：，解得：，∴，∵的面積為5，∴，整理得，，解得．故答案為：20．14．如圖，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，的面積為8，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的的幾何意義，平行線分線段成比例，如圖，連接，過作軸于，而軸于，證明，設(shè)，則，再利用面積列方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過作軸于，而軸于，∴，而，的面積為8，∴，，設(shè)，∴，∴∴，解得：，故答案為：15．如圖，是以等腰的腰為直徑所作的圓，點(diǎn)是與底邊的交點(diǎn)，自點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)“同角的余角相等”得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即可得，進(jìn)而得出答案；（2）作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，接下來(lái)根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得出，，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)