/第23講銳角三角函數的應用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．能根據直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題；2．通過把實際問題轉化成有關直角三角形的數學模型，進一步了解數學建模的思想、培養分析問題、解決問題的能力。1.銳角三角函數揭示了直角三角形的邊與角的關系，在許多實際問題中，我們可以根據其中的數量關系或位置關系找出（或構造出）一個直角三角形，利用銳角三角函數的相關知識解決問題。2.在上一章做題過程中，其實我們已經接觸了一點應用，這邊再總結一下幾個經典的應用類型：坡度：；坡角:.

小試牛刀：如圖，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，則河堤底的寬度的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據坡比是，即可求解．【詳解】解：在中，∵，，∴，

（2）方位角：

小試牛刀：數學興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點處測得河的北岸點在其北偏東方向，然后向西走80米到達點，測得點在點的北偏東方向，求河寬．（結果精確到，參考數據，，，，，）

【答案】米【詳解】解：過作于，設米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河寬大約為72.6米．

（3）仰角與俯角：

小試牛刀：如圖，熱氣球在A處測得一棟樓的樓頂端B的仰角，樓底部C的俯角，若點A到這棟樓的距離米，則這棟樓的高度為（

）（結果精確到米；參考數據：）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：如圖，

由題意可知：，，，，3.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：（1）把實際問題抽象成數學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯系轉化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關系．

（2）借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數學問題．

（3）當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當地作高，化斜三角形為直角三角形再求解。考點一：仰角、俯角問題例1．無人機在實際生活中的應用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量某大樓的高度，無人機在空中點P處，測得地面點A處的俯角為，且點P到點A的距離為米，同時測得樓頂點C處的俯角為．已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內），則大樓的高度為（

）A．51米 B．米 C．米 D．米【變式1-1】某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．【變式1-2】智能測量是一款非常有創意且使用性很高的手機測距軟件，它可以利用手機上的攝像頭和距離傳感器來測量目標的距離、高度、寬度、角度和面積，測量過程非常簡單．如圖①，打開手機軟件后將手機攝像頭的屏幕準星對準雕像底部按鍵，再對準頂部按鍵即可測量出雕像的高度，其數學原理如圖②所示，測量者與雕像垂直于底面，若手機顯示，，，則雕像的高度為；（結果保留1位小數，參考數據，，，）【變式1-3】在鄭州之林公園內有一座如意雕塑(圖1)，它挺拔矗立在前端，展現出了鄭東新區的美好藍圖與如意和諧的愿望．綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上確定測量點A，當測量器高度為時，測得如意雕塑最高點E的仰角；②保持測量器位置不變，調整測量器高度為時，測得點E的仰角，已知點A，B，C，D，E，F，G在同一豎直平面內，請根據該小組的測量數據計算如意雕塑的高度．(結果精確到1m．參考數據：考點二：方位角問題例2．如圖，東西方向上有A，C兩點，點B在點A的北偏東方向上，在點C的北偏西方向上，則下列說法正確的是（

）

A． B．C． D．【變式2-1】如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則，兩港之間的距離為（

）．A． B．C． D．【變式2-2】如圖，一艘輪船位于燈塔Р的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔Р的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔Р的距離約為海里．（參考數據：，，，結果保留整數）【變式2-3】如圖，早上一漁船以海里/時的速度從海港出發沿正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，航行個小時到達處，此時測得燈塔在北偏東方向，同時測得燈塔正東方向的避風港在的北偏東方向上．(1)填空：______；(2)求海港與燈塔之間的距離；（結果保留根號）(3)天氣預報顯示臺風將登陸漁船所在海域，漁船立即沿方向加速駛向避風港．出于安全考慮，漁船至少需要比臺風到達所在海域的時刻提前個小時抵達避風港，求漁船加速后的最小速度．（結果精確到，參考數據：，，）考點三：坡角、坡比問題例3.如圖是某商店營業大廳自動扶梯的示意圖，已知扶梯的長度為m米，坡度，則大廳兩層之間的距離為（）．A．米 B．米 C．米 D．米【變式3-1】如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長度為（

）A． B． C． D．【變式3-2】如圖，有一個小山坡，坡比為．已知小山坡的垂直高度，則小山坡斜面的長是m．【變式3-3】如圖，某路段路旁有一盞路燈，燈桿的正前方有一斜坡，已知斜坡的長為4m，坡度，坡角為，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角為28°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端處，且與地面的夾角為60°，，點，，，，，在同一平面上．(1)求燈桿的高度；（結果保留根號）(2)求的長．（結果精確到0.1m，參考數據：，，，）考點四：與圓結合問題例4．如圖，簡車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中描繪了簡車的工作原理，簡車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓．已知圓心在水面上方，且圓的半徑長為6米，．則簡車盛水桶到達的最高點C到水面的距離是（

）A． B． C． D．【變式4-1】如圖，某城市公園的雕塑是由3個直徑為的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點到地面的距離為（

）A． B． C． D．【變式4-2】我國魏晉時期的數學家劉徽年左右）首創“割圓術”，所謂“割圓術”就是利用圓內接正多邊形無限逼近圓來確定圓周率，劉徽計算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，圓內接正二十四邊形，，割得越細，正多邊形就越接近圓．設圓的半徑為，圓內接正六邊形的周長，計算；圓內接正十二邊形的周長，計算；那么分割到圓內接正二十四邊形后，通過計算可以得到圓周率．（參考數據：，【變式4-3】如圖是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點、分別是、的中點，如圖，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發現并證明了點在上．請你繼續跟著小明的思路，完成下列問題嗎：(1)請求出所在的圓的半徑；(2)計算的長．參考數據：，，，，，．考點五：解非直角三角形例5．如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A．+1 B．2 C． D．-【變式5-1】如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．【變式5-2】如圖，在中，，，是中線，將沿直線翻折后，點落在點，那么的長為．【變式5-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．動點P從點B出發以1cm/s的速度沿線段BD向終點D勻速運動，1秒后動點Q從點D出發以2cm/s的速度沿線段DA向終點A勻速運動，設點P運動的時間為t（s）．(1)直接寫出當t＝時，△PQD與△ABD相似；(2)點Q出發后，設四邊形ACPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數表達式；(3)當PQ⊥AB時，求t的值；(4)若以QD、QP為邊作□DQPE，在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使點E在∠DAB的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．1．如圖，天窗打開后，天窗邊緣與窗框夾角為，若長為米，則窗角到窗框的距離的大小為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．如圖，一根3m長的木頭斜靠在垂直于地面的墻上，當端點A離地面的高度為1m時，木頭的傾斜角的余弦的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，將一扇車門側開，車門和車身的夾角為，車門的底邊長為0.95米，則車門底邊上點N到車身的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．0.95米4．如圖，某市準備修建一座高的過街天橋，已知天橋的坡面與地面的夾角的余弦值為，則坡面的長度為（

）

A． B． C． D．5．某景區為提供更好的游覽體驗，在景區內修建了觀光索道，設計如圖所示，以山腳A為起點，沿途修建長度分別為，的兩段索道和及觀景平臺，已知索道與的夾角是，與的延長線的夾角是，則點D到的距離是（

）（米）A． B．C． D．6．如圖，水庫邊有一段長300米，高8米的大壩，大壩的橫截面為梯形，其中，背水坡坡角．現要對大壩進行維修，維修方案是：將大壩上底加寬2米，并使背水坡坡角為，則維修此大壩需要土石（

）立方米．A． B． C． D．7．利用投影燈測量計算坡比．如圖，投影燈的下邊緣光線落在坡腳點B處，上邊緣光線落在斜坡點C處，此時投影燈O離地面距離為1.5m，離坡角B點水平距離為5m．將投影燈往上平移，上下邊緣的光線，，恰好落在斜坡D，C處，此時投影燈向上平移了0.9米，現測得，則斜坡的坡比為（

）A． B． C． D．8．某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度，她在平臺的點處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動，當移動到點時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據題中提供的相關信息，古塔的高度約為（參考數據：）（）A． B． C． D．9．為了給山頂供水，決定在山腳A處開始沿山坡鋪設水管．現測得斜坡與水平面所成角為，為使出水口高度為35m，那么需要準備長的水管．（結果保留整數）（）10．如圖，已知傳送帶與地面所成斜面坡度為，如果它把物體送到離地面米高的地方，那么物體所經過的路程為米．11．某中學開展綜合與實踐活動，小宇所在的小組負責測量該校附近的山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，如圖，他們的測量方法如下：小宇將一根長5米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處米）距離地面的高度米，小組其他同學測得石壩與地面的傾斜角．請你根據以上信息，求出石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結果保留一位小數；參考數據：，，12．某型號飛機的機翼形狀如圖所示，，根據圖中數據計算得到的長度是．（精確到米，參考數據：，）13．如圖，兩座建筑物的水平距離為，從點測得點的俯角為，測得點的俯角為則較低建筑物的高度是．（結果保留小數點后一位，參考數據：）14．如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為，再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為，則教學樓的高度約為m．（精確到，參考數據：，，）

15．據調查，超速行駛是引發交通事故的主要原因之一，所以規定以下情境中的速度不得超過．在一條筆直公路的上方A處有一探測儀，如圖所示的平面幾何圖，，，第一次探測到一輛轎車從點B勻速向點D行駛，測得，2秒后到達C點，測得（，，結果精確到）．(1)求點B，C之間的距離；(2)通過計算，判斷此轎車是否超速．16．如圖，在A，B兩地之間有一座小山，計劃在A，B兩地之間修一條隧道，為了測量A，B兩地的距離，首先讓一無人機從地面的C點出發，豎直向上飛行，當無人機在D點處測得此時離地面垂直高度為，此時C點在直線上，并且測得A點的俯角為，B點的俯角為．請根據測得的數據求A，B兩地的距離．（結果精確到，參考數據：，）17．五一期間，劉老師帶領數學興趣小組的同學們對其中一棵桑樹的高度進行了相關測量．如圖，他們先在地面上的A處測得桑樹樹頂C點的仰角為，然后向桑樹的正下方前進6米后到達B處，測得桑樹樹頂C點的仰角為，已知測角儀和的高度為1米，請你根據相關數據計算出桑樹的高度．（用非特殊角的三角函數及根式表示即可）18．【實踐課題】測量湖邊觀測點和湖心島上鳥類棲息點之間的距離【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點．測量，兩點間的距離以及和，測量三次取平均值，得到數據：米，，．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計算，兩點間的距離．（參考數據：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點，，，使得，，在同一條直線上，且，，當，，在同一條直線上時，只需測量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形

②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案．

第23講銳角三角函數的應用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．能根據直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題；2．通過把實際問題轉化成有關直角三角形的數學模型，進一步了解數學建模的思想、培養分析問題、解決問題的能力。1.銳角三角函數揭示了直角三角形的邊與角的關系，在許多實際問題中，我們可以根據其中的數量關系或位置關系找出（或構造出）一個直角三角形，利用銳角三角函數的相關知識解決問題。2.在上一章做題過程中，其實我們已經接觸了一點應用，這邊再總結一下幾個經典的應用類型：坡度：；坡角:.

小試牛刀：如圖，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，則河堤底的寬度的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據坡比是，即可求解．【詳解】解：在中，∵，，∴，

（2）方位角：

小試牛刀：數學興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點處測得河的北岸點在其北偏東方向，然后向西走80米到達點，測得點在點的北偏東方向，求河寬．（結果精確到，參考數據，，，，，）

【答案】米【詳解】解：過作于，設米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河寬大約為72.6米．

（3）仰角與俯角：

小試牛刀：如圖，熱氣球在A處測得一棟樓的樓頂端B的仰角，樓底部C的俯角，若點A到這棟樓的距離米，則這棟樓的高度為（

）（結果精確到米；參考數據：）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：如圖，

由題意可知：，，，，3.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：（1）把實際問題抽象成數學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯系轉化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關系．

（2）借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數學問題．

（3）當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當地作高，化斜三角形為直角三角形再求解。考點一：仰角、俯角問題例1．無人機在實際生活中的應用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量某大樓的高度，無人機在空中點P處，測得地面點A處的俯角為，且點P到點A的距離為米，同時測得樓頂點C處的俯角為．已知點A與大樓的距離為70米（點A，B，C，P在同一平面內），則大樓的高度為（

）A．51米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過作，延長交的延長線于，由三角函數得，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過作，延長交的延長線于，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，(米)，故選：C．【變式1-1】某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過作于，則四邊形為矩形，設，而，可得，，結合，再解方程即可．【詳解】解：如圖，過作于，依題意，∴四邊形為矩形，∴，，設，而，∴，∵，∴，解得：，經檢驗是原方程的解，且符合題意；∴，故選B【變式1-2】智能測量是一款非常有創意且使用性很高的手機測距軟件，它可以利用手機上的攝像頭和距離傳感器來測量目標的距離、高度、寬度、角度和面積，測量過程非常簡單．如圖①，打開手機軟件后將手機攝像頭的屏幕準星對準雕像底部按鍵，再對準頂部按鍵即可測量出雕像的高度，其數學原理如圖②所示，測量者與雕像垂直于底面，若手機顯示，，，則雕像的高度為；（結果保留1位小數，參考數據，，，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，將解直角三角形與實際問題結合，需要構造的直角三角形．過點作與，在中，求出的長，在中，求出的長即可．【詳解】解：如圖，過點作與，在中，，∴，∴，，在中，．故答案為：4.2．【變式1-3】在鄭州之林公園內有一座如意雕塑(圖1)，它挺拔矗立在前端，展現出了鄭東新區的美好藍圖與如意和諧的愿望．綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上確定測量點A，當測量器高度為時，測得如意雕塑最高點E的仰角；②保持測量器位置不變，調整測量器高度為時，測得點E的仰角，已知點A，B，C，D，E，F，G在同一豎直平面內，請根據該小組的測量數據計算如意雕塑的高度．(結果精確到1m．參考數據：【答案】如意雕塑的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.延長交于，延長交于，根據矩形的性質得到米，米，，米，解直角三角形即可得到結論.【詳解】延長交于，延長交于，則米，米，，∴米，設米，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴(米)，∴(米)，答：如意雕塑的高度約為米.考點二：方位角問題例2．如圖，東西方向上有A，C兩點，點B在點A的北偏東方向上，在點C的北偏西方向上，則下列說法正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】題目主要考查特殊角的三角函數的計算，結合圖象，得出相應的角度，然后依次判斷即可【詳解】解：A、根據圖象得，∴，選項錯誤，不符合題意；B、根據圖象得，∴，選項正確，符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；D、，選項錯誤，不符合題意；故選：B【變式2-1】如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則，兩港之間的距離為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應用，方向角問題．過點作于點，依題意，得，，設，根據三角函數得，，再列方程求出的值即可．【詳解】解：如圖過點作于點，由題意，得，，，，，，，在中，在中，，，設，，，，解得：，，故選：A．【變式2-2】如圖，一艘輪船位于燈塔Р的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔Р的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔Р的距離約為海里．（參考數據：，，，結果保留整數）【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，理解題意，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．由題意可得海里，則，在中，利用正弦函數求解即可．【詳解】如圖所示標注字母，根據題意得，海里，，，在中，，∴(海里)，即：此時與燈塔的距離約為海里.故答案為：.【變式2-3】如圖，早上一漁船以海里/時的速度從海港出發沿正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，航行個小時到達處，此時測得燈塔在北偏東方向，同時測得燈塔正東方向的避風港在的北偏東方向上．(1)填空：______；(2)求海港與燈塔之間的距離；（結果保留根號）(3)天氣預報顯示臺風將登陸漁船所在海域，漁船立即沿方向加速駛向避風港．出于安全考慮，漁船至少需要比臺風到達所在海域的時刻提前個小時抵達避風港，求漁船加速后的最小速度．（結果精確到，參考數據：，，）【答案】(1)(2)海里(3)海里/時【分析】（1）根據在處測得燈塔在北偏東求解；（2）過點、分別作的垂線，交的延長線于點、，先證明，算出的值后，通過三角函數可求的值；（3）根據速度路程時間即可求．【詳解】（1）在處測得燈塔在北偏東方向上故答案為：30（2）如圖，過點、分別作的垂線，交的延長線于點、，．在中

，．在中

（海里）．答：海港與燈塔之間的距離是海里；（3）是等腰直角三角形．加速后的最小速度為：（海里/時）答：漁船加速后的最小速度海里/時．【點睛】本題考查特殊角的三角函數、方位角、等腰三角形的性質以及三角形外角的定義與性質等，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，構造直角三角形是解決問題的關鍵．考點三：坡角、坡比問題例3.如圖是某商店營業大廳自動扶梯的示意圖，已知扶梯的長度為m米，坡度，則大廳兩層之間的距離為（）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距離的比成為解題的關鍵．先根據題意畫出圖形，再根據的坡度即為，然后根據勾股定理列方程即可求出的長．【詳解】解：如圖：由題意可知,∵坡度，∴,設，則，∵,∴，解得：．∴．故選A．【變式3-1】如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力，在中，已知坡面的坡比以及鉛直高度的值，通過解直角三角形即可求出斜面的長．正確理解坡比的意義是解題的關鍵．【詳解】解：在中，，，∴，∴，∴坡面的長度為．故選：B．【變式3-2】如圖，有一個小山坡，坡比為．已知小山坡的垂直高度，則小山坡斜面的長是m．【答案】160【分析】本題考查了坡度角的知識，勾股定理，根據坡度角求出的長，再利用勾股定理即可求出結果．【詳解】解：小山坡的坡比為，，，，，故答案為：．【變式3-3】如圖，某路段路旁有一盞路燈，燈桿的正前方有一斜坡，已知斜坡的長為4m，坡度，坡角為，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角為28°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端處，且與地面的夾角為60°，，點，，，，，在同一平面上．(1)求燈桿的高度；（結果保留根號）(2)求的長．（結果精確到0.1m，參考數據：，，，）【答案】(1)的高度為(2)的長約為10.1m【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比．（1）延長交于點，過點作于點，根據坡度的概念得到，根據含的直角三角形的性質、勾股定理分別求出、，進而求出，根據正切的定義求出，進而求出；（2）根據正切的定義求出，進而求出．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點，過點作于點．∵，坡角為，∴，∴．在中，，∴，．由題意可知，四邊形是矩形，∴，，∴．在中，，，∴，∴，即燈桿的高度為．（2）解：在中，，，∵，∴．∵，∴，即的長約為10.1m．考點四：與圓結合問題例4．如圖，簡車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中描繪了簡車的工作原理，簡車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓．已知圓心在水面上方，且圓的半徑長為6米，．則簡車盛水桶到達的最高點C到水面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、解直角三角形的應用，理解題意，構造直角三角形是解題的關鍵．由題意和垂徑定理得，利用銳角三角函數求得，再由求解即可．【詳解】解：連接并延長交于點E，由題意得，，在中，，即，∴，∴簡車盛水桶到達的最高點C到水面的距離是，故選：B．【變式4-1】如圖，某城市公園的雕塑是由3個直徑為的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點到地面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、解直角三角形，三個等圓的圓心分別為，連接、、，作于，交地面于，交上面圓于點，得出，從而得出，再根據，得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，三個等圓的圓心分別為，連接、、，作于，交地面于，交上面圓于點，，，，，，，，，，故選：A．【變式4-2】我國魏晉時期的數學家劉徽年左右）首創“割圓術”，所謂“割圓術”就是利用圓內接正多邊形無限逼近圓來確定圓周率，劉徽計算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，圓內接正二十四邊形，，割得越細，正多邊形就越接近圓．設圓的半徑為，圓內接正六邊形的周長，計算；圓內接正十二邊形的周長，計算；那么分割到圓內接正二十四邊形后，通過計算可以得到圓周率．（參考數據：，【答案】3.12【分析】求出正24邊形的周長，再根據計算即可解決問題．【詳解】解：圓內接正二十四邊形的周長，則，故答案為3.12【點睛】本題考查解直角三角形的應用，正多邊形與圓等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式4-3】如圖是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點、分別是、的中點，如圖，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發現并證明了點在上．請你繼續跟著小明的思路，完成下列問題嗎：(1)請求出所在的圓的半徑；(2)計算的長．參考數據：，，，，，．【答案】(1)所在的圓的半徑為(2)的長為【分析】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、軸對稱的性質、解直角三角形的應用等知識，熟練掌握解直角三角形的應用是解題的關鍵．（1）連接，交于點，設直線交于點，根據圓周角定理可得，解，根據，得出，進而求得的長即可；（2）解，根據，得出，進而求得、，根據該圖形為軸對稱圖形，圓凳的上、下底面圓的直徑都是，求出，根據、，得出答案即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，交于點，設直線交于點，∵是的中點，點在上，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵直線是對稱軸，∴，，，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，即所在的圓的半徑為；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵該圖形為軸對稱圖形，直線為對稱軸，圓凳的上、下底面圓的直徑都是，∴，∴，∴．考點五：解非直角三角形例5．如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A．+1 B．2 C． D．-【答案】B【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設，在直角三角形中表示出，進而根據列出方程求得，進而求得結果．【詳解】如圖，作于，作于，在Rt中，，在Rt中，，，，在Rt中，設，在Rt中，，，由得，，，，故答案為：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．【變式5-1】如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取格點E，連接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可證得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性質可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，從而結論可得．【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，如圖：設網格中的小正方形的邊長為1，則BE＝，AE＝，AB=．∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由題意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，本題是網格問題，巧妙的構造直角三角形是解題的關鍵．【變式5-2】如圖，在中，，，是中線，將沿直線翻折后，點落在點，那么的長為．【答案】【分析】本題考查三角形的翻折綜合計算，涉及三角函數，等腰三角形，平行四邊形及勾股定理，能正確進行線段的轉換及作輔助線解非直角三角形是解題關鍵．本題先過點作于點，計算得出，再證明四邊形是平行四邊形，得，再在中求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，∵，∴，∵，∴，∴，∵是中線，∴，由翻折知，∴，∴，設，∴，∴，由翻折知，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式5-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．動點P從點B出發以1cm/s的速度沿線段BD向終點D勻速運動，1秒后動點Q從點D出發以2cm/s的速度沿線段DA向終點A勻速運動，設點P運動的時間為t（s）．(1)直接寫出當t＝時，△PQD與△ABD相似；(2)點Q出發后，設四邊形ACPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數表達式；(3)當PQ⊥AB時，求t的值；(4)若以QD、QP為邊作□DQPE，在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使點E在∠DAB的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)(3)(4)存在，【分析】（1）求出，，過點作于，則四邊形是矩形，得出，，證明是等腰三角形，得出，，分兩種情況：①當時，，得出，即可得出結果；②當時，，得出，即可得出結果；（2）連接，過點作于，于，過點作于，則四邊形、四邊形都是矩形，得出，，，，則，求出，，，，由題意得，且，則，由，即可得出結果；（3）時，求出，代入、的值即可得出結果；（4）延長交于，過點作于，證明，，，得出，即可得出結果．【詳解】（1）解：，，，設，，則，由勾股定理得：，即，解得：，，，，，，過點作于，如圖1所示：則四邊形是矩形，，，，，是等腰三角形，，，分兩種情況：①當時，，，，，，，解得：；②當時，，，，即，解得：；故答案為：或；（2）解：連接，過點作于，于，過點作于，如圖2所示：則四邊形、四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，，由題意得：，且，，；（3）解：若，則，，，，，，，解得：；（4）解：存在，延長交于，過點作于，如圖3所示：平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，解得：．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、勾股定理、三角函數定義、三角形面積的計算、分類討論等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質以及三角函數定義是解題的關鍵．1．如圖，天窗打開后，天窗邊緣與窗框夾角為，若長為米，則窗角到窗框的距離的大小為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題主要考查了三角函數關系在直角三角形中的應用．熟練掌握直角三角形中得邊角關系是解題得關鍵，在中，由三角函數關系即可得解．【詳解】解：由題意，在中，，由三角函數關系可知，（米）．故選．2．如圖，一根3m長的木頭斜靠在垂直于地面的墻上，當端點A離地面的高度為1m時，木頭的傾斜角的余弦的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是將題目中的條件進行轉化，得到所求問題需要的條件即的長．根據題意可以求得的長度，從而可得的值．【詳解】解：由題意可知，在中，，，，故答案為：A．3．如圖，將一扇車門側開，車門和車身的夾角為，車門的底邊長為0.95米，則車門底邊上點N到車身的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．0.95米【答案】A【分析】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義．過點N作于點H，則的長為車門底邊上點N到車身的距離，根據三角函數作答即可．【詳解】解：過點N作于點H，則的長為車門底邊上點N到車身的距離，在中，米，，∴米，故選：A．4．如圖，某市準備修建一座高的過街天橋，已知天橋的坡面與地面的夾角的余弦值為，則坡面的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查的是解直角三角形的應用，熟練掌握直角三角形中邊角之間的關系是解答此類題目的關鍵．在中，通過已知邊和已知角的余弦值，即可計算出未知邊的長度．【詳解】解：在中，，設，，則，又∵，∴，解得：，∴；故選C．5．某景區為提供更好的游覽體驗，在景區內修建了觀光索道，設計如圖所示，以山腳A為起點，沿途修建長度分別為，的兩段索道和及觀景平臺，已知索道與的夾角是，與的延長線的夾角是，則點D到的距離是（

）（米）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，延長交于H，先解得到，再證明四邊形是矩形，米，再解，得到米，則．【詳解】解；如圖所示，延長交于H，在中，，∴米，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴米，在中，，∴米，∴，故選：A．6．如圖，水庫邊有一段長300米，高8米的大壩，大壩的橫截面為梯形，其中，背水坡坡角．現要對大壩進行維修，維修方案是：將大壩上底加寬2米，并使背水坡坡角為，則維修此大壩需要土石（

）立方米．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，矩形的判定與性質，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點作于點，過點作于點，根據等腰直角三角形的性質求出，根據正切的定義求出，進而求出，根據梯形的面積公式求出梯形的面積，進而求出需要土石的立方數．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，∵，，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，米，米，在中，，米，則米，在中，，米，，（米），米，維修此大壩需要土石：（立方米），故選：D．7．利用投影燈測量計算坡比．如圖，投影燈的下邊緣光線落在坡腳點B處，上邊緣光線落在斜坡點C處，此時投影燈O離地面距離為1.5m，離坡角B點水平距離為5m．將投影燈往上平移，上下邊緣的光線，，恰好落在斜坡D，C處，此時投影燈向上平移了0.9米，現測得，則斜坡的坡比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】勾股定理求出的長，利用平移的性質，推出，得到，求出的長，延長交的延長線于點，作于點，證明，得到，求出的長，進而得到的長，證明，得到，求出的長，再利用坡度等于，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴，，，∴，∴，∴，延長交的延長線于點，作于點，則：，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，，即：斜坡的坡比為；故選B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形的應用，勾股定理以及平移的性質，本題的難度較大，屬于壓軸題，解題的關鍵是構造相似三角形．8．某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度，她在平臺的點處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動，當移動到點時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據題中提供的相關信息，古塔的高度約為（參考數據：）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切定義求出CE，延長GD交AB于點H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），證明△AHG∽△MNG，求出AH的長，則可求出答案．【詳解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，∴0.9，∴CE＝2，延長GD交AB于點H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴，即，∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB為21.3米．故選：C．【點睛】此題考查了解直角三角形應用﹣坡度坡角問題，相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．9．為了給山頂供水，決定在山腳A處開始沿山坡鋪設水管．現測得斜坡與水平面所成角為，為使出水口高度為35m，那么需要準備長的水管．（結果保留整數）（）【答案】113【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，解直角三角形進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：113．10．如圖，已知傳送帶與地面所成斜面坡度為，如果它把物體送到離地面米高的地方，那么物體所經過的路程為米．【答案】【分析】此題考查了坡度坡角問題，注意掌握數形結合思想的應用，注意理解坡度的定義．根據坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．【詳解】解：由題意得：斜坡的坡度：，米，，，，中，米，故物體所經過的路程為米．故答案為：．11．某中學開展綜合與實踐活動，小宇所在的小組負責測量該校附近的山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，如圖，他們的測量方法如下：小宇將一根長5米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處米）距離地面的高度米，小組其他同學測得石壩與地面的傾斜角．請你根據以上信息，求出石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結果保留一位小數；參考數據：，，【答案】4.2米【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點作于，根據平行線分線段成比例定理定理求出，再根據正弦的定義求出．【詳解】解：如圖，過點作于，則，∴，米，米，米，，解得：，在中，，，（米），答：石壩壩頂與壩腳之間的距離約為4.2米．12．某型號飛機的機翼形狀如圖所示，，根據圖中數據計算得到的長度是．（精確到米，參考數據：，）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，以及等腰直角三角形的性質，過點C作交的延長線于點E，過點B作交的延長線于點F．由等腰三角形的性質可得出，由勾股定理求出，解求出，根據即可求出答案．【詳解】如圖所示，過點C作交的延長線于點E，過點B作交的延長線于點F．在中，，，∴．在中，，，∴故答案為：．13．如圖，兩座建筑物的水平距離為，從點測得點的俯角為，測得點的俯角為則較低建筑物的高度是．（結果保留小數點后一位，參考數據：）【答案】