/2.7-2.8弧長及扇形的面積與圓錐的側面積【推本溯源】1.填寫下列扇形的面積與周長圓心角半徑周長面積圖形360r180r90r30rnr弧長：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)。

注：（1）對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

扇形面積：（1）定義：叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對的扇形面積公式：

注：（1）對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（3）扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；（4）扇形兩個面積公式之間的聯系：。

2.回顧小學時候學習的圓錐（1）圓錐的概念：。。圓錐的母線：；圓錐的高：。我們通常令圓錐的母線長為，底面半徑為r，側面展開圖中的扇形圓心角為n°，所以圓錐的側面積；圓錐的全面積。【解惑】例1：如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（

）

A． B． C． D．例2：已知扇形的半徑為6，面積為，則扇形圓心角的度數為_________度．例3：如圖，扇形紙片的半徑為，沿折疊扇形紙片，點恰好落在上的點處，圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．例4：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面展開圖的面積是________．例5：要制造一個如圖所示的糧倉，其上部是圓錐，下部是圓柱，如果每平方米需用鐵皮（底部不用鐵皮，接頭忽略不計），根據圖中數據，求制作該糧倉大約需要多少鐵皮？（，精確到）【摩拳擦掌】1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，，，，為上的點，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（）

A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．3．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

）

A． B． C． D．4．（2023·山東東營·統考中考真題）如果圓錐側面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）某款“不倒翁”（如圖）的主視圖是圖，分別與所在圓相切于點A，B，若該圓半徑是，則主視圖的面積為______．

6．（2023·河南周口·河南省淮陽中學校考三模）如圖，將扇形翻折，使點與圓心重合，展開后折痕所在直線與交于點，連接．若，，則圖中陰影部分的面積是______．7．（2023·甘肅武威·統考中考真題）如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續的第一架水車創制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點處離開水面，逆時針旋轉上升至輪子上方處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉動到處（倒水）所經過的路程是________米．（結果保留）

8．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，是的直徑，將弦繞點A順時針旋轉得到，此時點C的對應點D落在上，延長，交于點E，若，則圖中陰影部分的面積為__________．

9．（2023·廣東廣州·統考二模）已知：(1)化簡；(2)若某圓錐的底面半徑為，線母長為，且側面積為，求的值.10．（2022春·九年級單元測試）如圖，已知每個小正方形的邊長為，都在小正方形頂點上，扇形是某個圓錐的側面展開圖．

(1)計算這個圓錐側面展開圖的面積；(2)求這個圓錐的底面半徑．11．（2023春·福建福州·九年級校考期中）如圖，四邊形內接于，且的半徑為r，．

(1)若，求的長．(2)若，求證：．【知不足】1．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北保定·統考模擬預測）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”譯文：屋內墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一（如圖），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，那么這個米堆遮擋的墻面面積為（）

A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺3．（2023·河北保定·統考二模）某圓錐形遮陽傘主視圖如圖所示，若，則遮陽傘傘面的面積（圓錐的側面積）為（

）A． B． C． D．4．（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，正方形的邊長為2，對角線相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為________．5．（2023·浙江·九年級假期作業）一個扇形的圓心角為，弧長為，則此扇形的半徑為______．6．（2023·浙江舟山·統考模擬預測）如圖，點為外一點，、分別與相切于點、．若的半徑為，，則弧的長為________．（結果保留π）．

7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若圓錐的底面半徑長2cm，母線長3cm，則該圓錐的側面積為______（結果保留）．8．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，在中，弦與交于點，點為的中點，現有以下信息：①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結論，組成一個真命題．你選擇的條件是___________，結論是___________（填寫序號），請說明理由．(2)在（1）的條件下，若的長為，求半徑．9．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）如圖，在正方形網格圖中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B、C，請在網格中進行下列操作：(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標為______；(2)連接，則的半徑為______；扇形的圓心角度數為______；(3)若扇形是某一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑．10．（2023·安徽安慶·統考一模）如圖，圓錐側面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.【一覽眾山小】1.（2023·江蘇南通·統考二模）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（

）

A． B． C． D．2．（2022·江蘇無錫·校考二模）若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則這個圓錐的側面積為（

）A．15 B．12π C．15π D．30π3．（2023·湖南永州·統考三模）如圖，圓錐的底面半徑是1，則圓錐側面展開圖中扇形的弧長為（

）

A． B． C． D．4．（2023·云南玉溪·統考三模）如圖，如果從半徑為的圓形紙片上剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），則這個圓錐的底面半徑為（

）

A．3 B．6 C．9 D．125．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學校考模擬預測）解決問題：

冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形的材料，其中，，將扇形圍成圓錐時，、恰好重合，其中弧與相切，求圓錐底面的直徑．下面給出求解問題的解題步驟，和一些相應的數據：Ⅰ．求扇形的半徑；Ⅱ．求弧DE的長；Ⅲ．求冰激凌外殼的圓錐底面的直徑．①；②；③；④；⑤．則配對正確的是（

）A．Ⅰ→③，Ⅱ→①，Ⅲ→⑤ B．Ⅰ→②，Ⅱ→①．Ⅲ→③C．Ⅰ→②，Ⅱ→④，Ⅲ→③ D．Ⅰ→③，Ⅱ→④，Ⅲ→⑤6．（2023·湖南衡陽·校聯考一模）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖的面積為_____7．（2023·全國·統考中考真題）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為，點A，B是圓上的兩點，圓心角，則的長為_________．（結果保留）

8.（2023·海南海口·海師附中校考三模）如圖，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是______．9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學校校考模擬預測）一個扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是______．10．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學校考三模）孫尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品，現從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為________．（結果保留π）

11．（2023秋·河南周口·九年級校考期末）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，，將扇形EAF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑，母線長．(1)求這種加工材料的頂角的大小．(2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結果保留）12．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）如圖，在正方形網格中建立平面直角坐標系，一條圓弧經過網格點、、，請在網格圖中進行如下操作：(1)若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標為______；(2)連接、，則的半徑長為______（結果保留根號），的度數為______；(3)若扇形是一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面圓的半徑長．（結果保留根號）13．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．14．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學校考階段練習）如圖，為的直徑，在的延長線上，為圓上一點，且．

(1)求證：與相切；(2)若，，求扇形的面積．

2.7-2.8弧長及扇形的面積與圓錐的側面積【推本溯源】1.填寫下列扇形的面積與周長圓心角半徑周長面積圖形360r180r90r30rnr弧長：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：l=(弧是圓的一部分)。

注：（1）對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

扇形面積：（1）定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對的扇形面積公式：

注：（1）對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（3）扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；（4）扇形兩個面積公式之間的聯系：.

2.回顧小學時候學習的圓錐（1）圓錐的概念：由一個底面和一個側面圍成的幾何體，圓錐可以看作是一個直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周所形成的幾何體。（2）圓錐的母線：連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段；（3）圓錐的高：連接圓錐頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高。我們通常令圓錐的母線長為，底面半徑為r，側面展開圖中的扇形圓心角為n°，所以圓錐的側面積；圓錐的全面積.

【解惑】例1：如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據弧長公式求解即可．【詳解】解：弧的半徑，圓心角，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查弧長公式，熟練掌握運用弧長公式是解題關鍵．例2：已知扇形的半徑為6，面積為，則扇形圓心角的度數為_________度．【答案】60【分析】根據扇形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：設扇形圓心角的度數為，，扇形的半徑為6，．故答案為：60．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵在于熟練掌握扇形的面積公式：．例3：如圖，扇形紙片的半徑為，沿折疊扇形紙片，點恰好落在上的點處，圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據折疊，，進一步得到四邊形是菱形；進一步由得到是等邊三角形；最后陰影部分面積扇形面積菱形的面積，即可求解．【詳解】依題意：，∴∴四邊形是菱形∴連接與交于D點

∵∴∴是等邊三角形同理：是等邊三角形故由三線合一，在中：∵，∴，，∴，∴，∴．故選：A【點睛】本題考查菱形的判定，菱形面積公式，扇形面積公式；解題關鍵是發現是等邊三角形．例4：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面展開圖的面積是________．

【答案】【分析】由幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，可以判斷這個幾何體是圓錐，結合圖形可得出圓錐的高及底面半徑，繼而可求出圓錐側面展開圖的半徑，進而即可求解．【詳解】解：依題意知高，底面半徑，由勾股定理求得母線長為：，∴該幾何體的側面展開圖的面積是，故答案為：．【點睛】本題主要考查三視圖的知識和勾股定理的應用，根據三視圖判斷出圓錐的高和底面圓的半徑是解題的關鍵．例5：要制造一個如圖所示的糧倉，其上部是圓錐，下部是圓柱，如果每平方米需用鐵皮（底部不用鐵皮，接頭忽略不計），根據圖中數據，求制作該糧倉大約需要多少鐵皮？（，精確到）【答案】【分析】根據扇形面積公式求出圓錐的側面積，再根據圓柱的側面展開圖為長方形，求出圓柱的側面積，即可求解．【詳解】解：由題意，得圓錐的側面積為：，圓柱的側面積為：．∴．答：制作該糧倉大約需要鐵皮．【點睛】本題主要考查了求圓錐和圓柱的側面積，解題的關鍵是掌握扇形面積公式為，圓柱的側面展開圖為長方形．【摩拳擦掌】1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，，，，為上的點，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】延長，與直線交于，連接，設弧長為所對的圓周角為，根據題意得出，，利用三角形內角和定理求得，即可求得弧長為所對的圓心角為，代入弧長公式即可求得的半徑．【詳解】解：延長，與直線交于，連接，的半徑為，∵，，的長分別為，和，∴的長為，的長為，∴設弧長為所對的圓周角為，則，，∵，，∴，∴，∴弧長為所對的圓心角為，∴，∴，故選：A．

【點睛】本題考查弧長的計算，圓周角定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，三角形內角和定理，求得弧長為所對的圓心角是解題的關鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，由圓內接四邊形性質可得的度數，再由及三角形內角和定理可求得的度數，由圓周角定理可得的度數，最后由弧長公式即可求得結果．【詳解】解：如圖，連接、，∵四邊形是圓內接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵的半徑為，∴，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，圓內接四邊形性質，等腰三角形性質，弧長公式等知識，綜合運用這些知識是解題的關鍵．3．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

）v

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓錐的底面圓周長求得半徑為，根據母線長求得展開后的扇形的圓心角為，進而即可求解．【詳解】解：∵這個圓錐的底面圓周長為，∴解得：∵解得：∴側面展開圖的圓心角為如圖所示，即為所求，過點作，∵，，則∵，則∴，，

故選：B．【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角的度數，勾股定理解直角三角形，求得側面展開圖的圓心角為解題的關鍵．4．（2023·山東東營·統考中考真題）如果圓錐側面展開圖的面積是，母線長是，則這個圓錐的底面半徑是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據圓錐側面積公式，進行計算即可求解．【詳解】解：設這個圓錐的底面半徑是，依題意，∴故選：A．【點睛】本題考查了求圓錐底面半徑，熟練掌握圓錐側面積公式是解題的關鍵．5．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）某款“不倒翁”（如圖）的主視圖是圖，分別與所在圓相切于點A，B，若該圓半徑是，則主視圖的面積為______．

【答案】【分析】根據題意，先找到圓心，然后根據，分別與所在圓相切于點A，B．可以得到的度數，然后即可得到優弧對應的圓心角，再根據主視圖的面積為計算即可．【詳解】解：設圓心為O，過O作，，和相交于點，連接，如圖，

∵，分別與所在圓相切于點A，B．∴，∵，∴，，∴優弧對應的圓心角為，，∵該圓半徑是，∴，∴主視圖的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質，含30度角的直角三角形的性質，求扇形面積，牢記扇形面積公式是解題的關鍵．6．（2023·河南周口·河南省淮陽中學校考三模）如圖，將扇形翻折，使點與圓心重合，展開后折痕所在直線與交于點，連接．若，，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】由翻折的性質得到，而，得到是等邊三角形，求出扇形的面積等于的面積．【詳解】解：連接，直線交于點，如圖所示，扇形中，，，將扇形翻折，使點與圓心重合，，，，，是等邊三角形，，，，，，弓形的面積等于弓形的面積，，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、翻折變換、等邊三角形的判定與性質，解答本題的關鍵7．（2023·甘肅武威·統考中考真題）如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續的第一架水車創制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點處離開水面，逆時針旋轉上升至輪子上方處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉動到處（倒水）所經過的路程是________米．（結果保留）

【答案】【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可；【詳解】故填：．【點睛】本題考查弧長公式的應用，準確記憶公式，并正確代入公式是解題的關鍵．8．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，是的直徑，將弦繞點A順時針旋轉得到，此時點C的對應點D落在上，延長，交于點E，若，則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】/【分析】連接，得到，求出，證得，得到，求出，再根據公式即可得面積．【詳解】解：連接，

由旋轉知，∴，∴，∴，∴，即為等腰直角三角形，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了圓周角定理，扇形面積計算公式，等腰三角形的性質，熟記圓周角定理是解題的關鍵．9．（2023·廣東廣州·統考二模）已知：(1)化簡；(2)若某圓錐的底面半徑為，線母長為，且側面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據完全平方公式、平方差公式展開合并即可；（2）根據圓錐側面積公式即可求出，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：依題意可得：，則，所以；【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式化簡以及圓錐的側面積公式，熟記運算法則是關鍵．10．（2022春·九年級單元測試）如圖，已知每個小正方形的邊長為，都在小正方形頂點上，扇形是某個圓錐的側面展開圖．

(1)計算這個圓錐側面展開圖的面積；(2)求這個圓錐的底面半徑．【答案】(1)(2)這個圓錐的底面半徑為．【分析】（1）利用圖形可以得到扇形的圓心角，和半徑，利用扇形面積公式計算扇形的面積即可；（2）根據（1）的結果可求得圓錐底面半徑．【詳解】（1）解：由圖可知，；則弧的長為，∴面積為：；（2）解：設底面半徑為r，則，．這個圓錐的底面半徑為．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解答本題需要準確掌握扇形的弧長公式，并且要善于讀圖．11．（2023春·福建福州·九年級校考期中）如圖，四邊形內接于，且的半徑為r，．

(1)若，求的長．(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）連接，，根據圓內接四邊形的性質得到，由圓周角定理得到，根據弧長的公式即可得到結論；（2）根據，得，根據，得，所以，，可得為等邊三角形，即可得出結論．【詳解】（1）解：連接，，，

四邊形內接于，，，，的長為；（2）證明：，，，，，，，為等邊三角形，．【點睛】本題考查的是圓周角定理、弧長的計算、圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【知不足】1．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據底面周長等于，即可求解．【詳解】解：依題意，，故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的側面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于是解題的關鍵．2．（2023·河北保定·統考模擬預測）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”譯文：屋內墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一（如圖），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，那么這個米堆遮擋的墻面面積為（）

A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺【答案】A【分析】設米堆底部的扇形半徑為，則由米堆底部的弧長為8尺，先根據圓的弧長公式列出方程，求出該米堆的底面半徑，再根據三角形的面積公式，即可求出這個米堆遮擋的墻面面積．【詳解】解：設米堆底部的扇形半徑為，則由米堆底部的弧長為8尺，，解得，∴這個米堆遮擋的墻面面積為（平方尺），故選：A．【點睛】本題主要考查了求圓錐的底面半徑，解題的關鍵是正確理解題意，得出該米堆底面為圓的，遮擋的墻面為兩個三角形．3．（2023·河北保定·統考二模）某圓錐形遮陽傘主視圖如圖所示，若，則遮陽傘傘面的面積（圓錐的側面積）為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圓錐的側面展開圖是扇形可知，求得圓錐的底面周長就是圓錐的弧長，利用圓錐的面積計算方法求得圓錐的側面積即可．【詳解】解：如圖，過點O作于點D，∵∴∵∴∴∴圓錐的底面半徑為，∴圓錐的底面周長，∵圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開扇形的弧長，∴圓錐的側面積，故選：A．【點睛】本題考查了圓錐的側面積的計算，解題的關鍵是正確的理解圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開扇形的面積．4．（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，正方形的邊長為2，對角線相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為________．

【答案】【分析】根據正方形的性質得出陰影部分的面積為扇形的面積，然后由勾股定理得出，再由扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的邊長為2，∴∴陰影部分的面積為扇形的面積，即，故答案為：．【點睛】題目主要考查正方形的性質及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進行轉化是解題關鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業）一個扇形的圓心角為，弧長為，則此扇形的半徑為______．【答案】9【分析】根據弧長公式求解即可．【詳解】解：個扇形的圓心角為，弧長為，設此扇形的半徑為r，則，解得，，故答案為：9．【點睛】本題考查了弧長公式，解題關鍵是熟記弧長公式，準確計算．6．（2023·浙江舟山·統考模擬預測）如圖，點為外一點，、分別與相切于點、．若的半徑為，，則弧的長為________．（結果保留π）．

【答案】/【分析】連接、，如圖，先根據切線的性質得到，則利用四邊形的內角和計算出，然后根據弧長公式計算．【詳解】解∶連接、，如圖，

∵、分別與相切于點、，∴，，∴，∴，∵弧的長為．故答案為∶．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了弧長公式．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若圓錐的底面半徑長2cm，母線長3cm，則該圓錐的側面積為______（結果保留）．【答案】【分析】根據圓錐的側面積公式，把相應數值代入即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐側面積的計算，解題的關鍵是牢記圓錐的側面積的計算公式．8．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，在中，弦與交于點，點為的中點，現有以下信息：

①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結論，組成一個真命題．你選擇的條件是___________，結論是___________（填寫序號），請說明理由．(2)在（1）的條件下，若的長為，求半徑．【答案】(1)①②；③；理由見解析（答案不唯一）(2)【分析】（1）任選其中兩條作為已知條件，剩余一條作為結論，均為真命題，結合圓當中的基本性質和定理進行證明即可；（2）結合條件可推出，從而結合弧長計算公式直接求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵點為的中點，∴，，情況一：選擇條件是①②，結論是③，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①②，結論是③，該命題為真命題；情況二：選擇條件是①③，結論是②，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①③，結論是②，該命題為真命題；情況三：選擇條件是②③，結論是①，是真命題；理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∵是圓上的弦，∴為直徑，∴條件是②③，結論是①，該命題為真命題；故答案為：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，，如圖所示，連接，∴，∵的長為，設的半徑為，∴，解得：，∴的半徑為．

【點睛】本題考查圓的基本性質，圓周角定理，弧長計算，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質等，理解直徑所對的圓周角為直角及其推論，掌握弧長計算公式是解題關鍵．9．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）如圖，在正方形網格圖中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B、C，請在網格中進行下列操作：(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標為______；(2)連接，則的半徑為______；扇形的圓心角度數為______；(3)若扇形是某一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【答案】(1)畫圖見解析，(2)，(3)【分析】（1）找到的垂直平分線的交點D，設，由，利用兩點間距離公式解方程即可求出y的值，即可得到圓心坐標；（2）利用勾股定理求出得長，即可得到圓的半徑長，再根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，則扇形的圓心角度數為；（3）先求得扇形弧長，除以即為圓錐的底面半徑．【詳解】（1）解：作的垂直平分線相交于點D．設．∵，∴，解得：，∴．（2）解：如圖所示，連接，由（1）得，∴的半徑為；∵，∴，∴是直角三角形，即，∴扇形的圓心角度數為，故答案為：，；（3）解：由題意得，該圓錐的底面半徑為；【點睛】本題考查了垂徑定理的推論以及圓錐的有關計算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知識點為：非直徑的弦的垂直平分線經過圓心；圓錐的側面展開圖的弧長等于底面圓周長．10．（2023·安徽安慶·統考一模）如圖，圓錐側面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.【答案】【分析】設圓錐底面圓的半徑為，根據圓錐側面展開圖的扇形的弧長=底面圓的周長求出底面圓的半徑，再根據勾股定理即可求出結果.【詳解】解：設圓錐底面圓的半徑為，∵，∴的長，∴，即：，在中，，根據勾股定理得，.【點睛】本題考查了圓錐的相關知識，正確理解圓錐的側面展開圖的弧長與其底面圓的半徑的關系是解題的關鍵.【一覽眾山小】1.（2023·江蘇南通·統考二模）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三視圖有圓，有三角形，由此可判斷該幾何體是圓錐；從圖可看出該圓錐的底面圓的直徑為12，圓錐的高為8，然后問題可求解．【詳解】解：由圖可知：該幾何體為圓錐，且該圓錐的底面圓的直徑為12，圓錐的高為8，則該圓錐的母線長為，所以該幾何體的側面積為；故選C．【點睛】本題主要考查三視圖及圓錐的側面積，熟練掌握三視圖及圓錐的側面積公式是解題的關鍵．2．（2022·江蘇無錫·校考二模）若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則這個圓錐的側面積為（

）A．15 B．12π C．15π D．30π【答案】C【分析】求出底面周長，即為側面展開圖的弧長，利用扇形面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐側面積為，故選：C．【點睛】本題考查求圓錐側面積，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．3．（2023·湖南永州·統考三模）如圖，圓錐的底面半徑是1，則圓錐側面展開圖中扇形的弧長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓錐底面圓的周長等于它側面展開圖扇形的弧長，所以只要求出圓錐底面圓的周長即可．【詳解】解：∵圓錐底面圓的半徑為1，∴圓錐底面圓的周長為：，∴圓錐側面展開圖扇形的弧長為：．故選：B．【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖中扇形的弧長，熟練掌握圓錐底面圓的周長等于它側面展開圖扇形的弧長是解題的關鍵．4．（2023·云南玉溪·統考三模）如圖，如果從半徑為的圓形紙片上剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），則這個圓錐的底面半徑為（

）

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】求得扇形的弧長，進而求出圓錐的底面周長，即可求出圓錐的底面半徑．【詳解】解：∵圓形紙片的半徑為，∴圓形紙片的周長，∴剩下扇形的周長，即，解得：，∴圓錐底面半徑為，故選：B．【點睛】本題考查了圓的周長公式，用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長，熟練掌握相關知識點及圓的周長公式是解決本題的關鍵．5．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學校考模擬預測）解決問題：

冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形的材料，其中，，將扇形圍成圓錐時，、恰好重合，其中弧與相切，求圓錐底面的直徑．下面給出求解問題的解題步驟，和一些相應的數據：Ⅰ．求扇形的半徑；Ⅱ．求弧DE的長；Ⅲ．求冰激凌外殼的圓錐底面的直徑．①；②；③；④；⑤．則配對正確的是（

）A．Ⅰ→③，Ⅱ→①，Ⅲ→⑤ B．Ⅰ→②，Ⅱ→①．Ⅲ→③C．Ⅰ→②，Ⅱ→④，Ⅲ→③ D．Ⅰ→③，Ⅱ→④，Ⅲ→⑤【答案】A【分析】設弧與的切點為F，連接，根據勾股定理求出，從而得到，即可求出扇形的半徑，從而求出弧DE的長和底面直徑．【詳解】解：設弧與的切點為F，連接，如圖所示，

∵弧與相切，∴，∵，，∴，∴，∴扇形的半徑為；∴，∴弧DE的長為，∴，解得：，∴冰激凌外殼的圓錐底面的直徑為；故選：A．【點睛】本題考查了圓錐的有關計算，涉及到弧長公式、等腰直角三角形的性質等，熟記公式和作出輔助線是解題關鍵．6．（2023·湖南衡陽·校聯考一模）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖的面積為_____【答案】【分析】根據圓錐的側面積等于計算即可．【詳解】∵圓錐的底面半徑為，母線長為，∴側面展開圖的面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的側面積計算，熟練掌握錐的側面積等于計算公式是解題的關鍵．7．（2023·全國·統考中考真題）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為，點A，B是圓上的兩點，圓心角，則的長為_________．（結果保留）

【答案】【分析】利用弧長公式直接計算即可．【詳解】∵半徑，圓心角，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了弧長計算，熟練掌握弧長公式，并規范計算是解題的關鍵．8.（2023·海南海口·海師附中校考三模）如圖，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】首先確定扇形的圓心角的度數，然后利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的外角和為，每一個外角的度數為，正五邊形的每個內角為，正五邊形的邊長為4，，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算的知識，解題的關鍵是求得正五邊形的內角的度數并牢記扇形的面積計算公式，難度不大．9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學校校考模擬預測）一個扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是______．【答案】【分析】設該扇形的半徑為，然后根據弧長公式計算半徑，然后根據扇形面積公式計算即可．【詳解】解：設該扇形的半徑為，由題意得：，解得：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查弧長計算公式及扇形面積計算公式，熟練掌握弧長計算公式和扇形面積計算公式是解題的關鍵．10．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學校考三模）孫尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉珮丁冬．”玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品，現從一塊直徑為的圓形玉料上刻出一個如圖所示圓周角為的最大扇形玉佩，則陰影部分的面積為________．（結果保留π）

【答案】/平方厘米【分析】根據圓周角定理由得為的直徑，即，根據等腰直角三角形的性質得，然后用圓的面積減去扇形的面積即可求解．【詳解】∵，∴為的直徑，即，∴，∴（平方厘米），∴故答案為：．

【點睛】本題考查了扇形的面積計算以及圓周角定理，解答本題的關鍵是掌握扇形的面積公式．11．（2023秋·河南周口·九年級校考期末）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包